Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

5.2. Причинные скалярные поля	269

или, используя стандартную функцию Ганкеля,

+ (x) =	m
				K1(m x2 ).			(5.2.9)
	4π2
		x2

Это выражение не равно нулю. Что же с ним делать? Заметим, что хотя +(x) и не равна нулю, но при x2 > 0 эта функция четна по xμ. Попробуем построить H (x) не из одних полей ϕ+(x), à

из линейной комбинации полей

ϕ(x) ≡ κϕ+ (x) + λϕ− (x) .

Используя (5.2.6), имеем при пространственноподобных x − y

ϕ(x), ϕ† (y) m = | κ|2 ϕ+ (x), ϕ− (y) m +| λ|2 ϕ− (x), ϕ+ (y) m = (| κ|2 m | λ|2 ) + (x − y),

ϕ(x), ϕ(y) m = κλe ϕ+ (x), ϕ− (y) m + ϕ− (x), ϕ+ (y) m j = κλ(1 m 1) + (x − y).

Оба эти выражения будут обращаться в нуль тогда и только тогда, когда частица является бозоном (т. е. когда берется верхний знак),

а величины κ è λ равны:

|κ| = |λ| .

Относительную фазу κ è λ можно изменить путем переопределения

фаз состояний, так что a(p) → eiαa(p), a†(p) → e–iαa†(p), откуда κ → κeiα, λ → λe–iα. Выбирая α = Arg(λ/κ)/2, можно таким образом

сделать равными фазы κ è λ, а следовательно, и сами эти величины.

Переопределяя ϕ(x),	чтобы поглотить общий	множитель
κ = λ, имеем окончательно
ϕ(x) = ϕ+ (x) + ϕ+† (x) = ϕ† (x).		(5.2.10)

Итак, гамильтониан взаимодействия H (x) будет коммутировать с H (y) на пространственноподобных расстояниях x – y, если он будет построен как нормально упорядоченный полином по самосопряженному скалярному полю ϕ(x).

270	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

Хотя выбор относительной фазы двух слагаемых в (5.2.10) есть вопрос соглашения, но приняв его, мы должны использовать это соглашение везде, где бы не появилось скалярное поле данной частицы в плотности гамильтониана взаимодействия. Например, предположим, что плотность гамильтониана взаимодействия вклю- чает не только поле (5.2.10), но и другое скалярное поле такой же частицы

ϕ~(x) = eiαϕ+ (x) + e−iαϕ+†(x) ,

ãäå α — произвольная фаза. Поле ϕ~ , êàê è ϕ, будет причинным в том смысле, что ϕ~(x) коммутирует с ϕ~(y) на пространственноподобных растояниях x − y, íî ϕ~(x) не будет при этом коммутировать с ϕ(y).

Поэтому в одной теории не могут появиться оба таких поля.

Если частицы, уничтожающиеся и рождающиеся полем ϕ(x),

обладают некоторым сохраняющимся квантовым числом типа электрического заряда, то H (x) будет сохранять это число только в том случае, если каждое слагаемое в H (x) содержит равное число операторов a(p) и a(p)†. Но это невозможно, если H (x) построен как полином по полю ϕ(x) = ϕ+(x) + ϕ+†(x). Иными словами, для того,

чтобы H (x) коммутировал с оператором заряда Q (или каким-то другим генератором симметрии), необходимо, чтобы оператор взаимодействия был построен из полей, имеющих простые перестановочные соотношения с Q. Это верно для ϕ+(x) и сопряженного ему

поля, для которых

[Q, ϕ+ (x)]− = −qϕ+ (x), [Q, ϕ+† (x)]− = +qϕ+† (x).

Но это не выполняется для самосопряженного поля (5.2.10).

Выход из положения заключается в том, чтобы предположить существование двух бесспиновых бозонов одинаковой массой m, но зарядами +q и –q, соответственно. Пусть ϕ+(x) è ϕ+c(x) — ïîëÿ

уничтожения для этих двух частиц, так что *

* Индекс «с» означает «зарядовое сопряжение». Следует помнить, что частица, не несущая никакого сохраняющегося квантового числа, может как быть, так и не быть своей собственной античастицей с ac(p) = a(p)

5.2. Причинные скалярные поля	271

[Q, ϕ+ (x)]− = −qϕ+ (x), [Q, ϕ+c(x)]− = +qϕ+c(x).

Определим ϕ(x) как линейную комбинацию

ϕ(x) = κϕ+ (x) + λϕ+c† (x) ,

имеющую явно тот же коммутатор с Q, как и отдельное поле ϕ+(x):

[Q, ϕ(x)]− = −qϕ(x).

Тогда на пространственных расстояниях коммутатор или антикоммутатор ϕ(x) с сопряженным ему полем равен

ϕ(x), ϕ† (y)		= | κ|2	ϕ+ (x), ϕ+† (y)	m	+| λ|2	ϕ+c† (x), ϕ+c (y)	m
	m

= (| κ|2 m | λ|2 ) + (x − y),

в то время как ϕ(x) è ϕ(y) автоматически коммутируют или антикоммутируют друг с другом для всех x и y, так как ϕ+ è ϕ+c†

уничтожают и рождают разные частицы. При получении этого результата мы молчаливо предполагали, что массы частиц и анти- частиц одинаковы, так что коммутаторы или антикоммутаторы

содержат одну и ту же функцию +(x – y). Случай статистики Ферми снова исключается, так как ϕ(x) может антикоммутировать с ϕ†(y) на пространственноподобных расстояниях только при κ = λ =

= 0, а при этом поля обращаются в нуль. Таким образом бесспиновая частица должна быть бозоном.

В случае бозе−статистики, для того, чтобы комплексное поле ϕ(x) коммутировало с ϕ†(y) на пространственноподобных расстояниях, необходимо и достаточно, чтобы |κ|2 = |λ|2 и массы частиц

и античастиц были бы одинаковы. Переопределяя относительную фазу состояний этих двух частиц, снова можно сделать равными фазы κ è λ, и тогда κ = λ. Этот общий множитель можно исключить переопределением поля ϕ, òàê ÷òî

ϕ(x) = ϕ+ (x) + ϕ+c† (x),

272	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

или, подробнее,

X

j(x) = Y

Z

	d3p				a(p)eip×x + ac† (p)e-ip×x		.	(5.2.11)
(2p)	3/2		0 1/2
		(2p	)

Мы построили единственно возможное причинное скалярное поле. Эта формула годится как в случае полностью нейтральных бесспиновых частиц, совпадающих со своими античастицами (тогда ac(p) = a(p)), так и в случае, когда частица и античастица не совпадают (тогда ac(p) ¹ a(p)).

Для будущих применений заметим, что коммутатор комплексного скалярного поля со своим сопряженным равен

	[ϕ(x), ϕ† (y)] = (x − y),		(5.2.12)
	ãäå
	X	d3p	[eip×(x- y) - e-ip×(x- y) ] .
	D(x - y) º D+ (x - y) - D+ (y - x) = Y
		(2p)3 2p0
	Z

(5.2.13)

Рассмотрим теперь действие на это поле разных преобразований инверсии. Во-первых, из результатов раздела 4.2 можно сразу получить, что действие оператора пространственной инверсии на операторы уничтожения и рождения имеет вид *:

Pa(p)P−1 = η*a(−p),	(5.2.14)
Pac† (p)P−1 = ηcac† (−p),	(5.2.15)

ãäå h è hc — внутренние четности частиц и античастиц, соответст-

венно. Применяя эти формулы к полю уничтожения (5.2.3) и к полю, зарядовосопряженному к полю рождения (5.2.4), а также меняя переменную интегрирования p на –p, находим, что

* Мы опускаем здесь индекс 0 у операторов инверсии Р, С и Т, так как практически во всех случаях, когда эти инверсии являются хорошими симметриями, одни и те же операторы индуцируют преобразования инверсии как ин- и аут-состояний, так и состояний свободных частиц.

5.2. Причинные скалярные поля	273
Pϕ+ (x)P−1 = η*ϕ+ (P x),	(5.2.16)
Pϕ+c† (x)P−1 = ηcϕ+c† (P x),	(5.2.17)

где, как и ранее, P x = (–x, x0). Таким образом, действие пространственной инверсии в общем случае переводит скалярное поле ϕ(x) =

ϕ+(x) + ϕ+c†(x) в другое поле ϕP = η*ϕ+ + ηcϕ+c†. Оба поля по отдельности являются причинными, но если допустить, что ϕ è ϕP†

входят в одно взаимодействие, то возникают трудности, так как эти поля в общем случае не коммутируют на пространственноподобных расстояниях. Единственный способ не нарушить лоренц– инвариантность, сохранение четности и эрмитовость взаимодействия заключается в требовании, чтобы ϕP было пропорциональным ϕ, откуда

ηc = η*.

(5.2.18)

Итак, внутренняя четность ηηc системы, состоящей из бесспи-

новой частицы и ее античастицуы, равна +1 (другими словами, такая система является четной). Теперь

Pϕ(x)P−1 = η*ϕ(P x).

(5.2.19)

Эти результаты применимы и в случае, когда бесспиновая частица совпадает со своей античастицей. В этом случае ηc = η, откуда

следует, что внутренняя четность такой частицы действительна, η = ±1.

Рассмотрение зарядового сопряжения во многом аналогично. Из результатов раздела 4.2 имеем

Ca(p)C−1 = ξ*ac (p),	(5.2.20)
Cac† (p)C−1 = ξca† (p),	(5.2.21)

ãäå ξ è ξc — фазы, связанные с зарядовым сопряжением одночас-

тичных состояний. Отсюда следует, что

Cϕ+ (x)C−1 = ξ*ϕ+c (x),	(5.2.22)
Cϕ+c† (x)C−1 = ξcϕ+† (x).	(5.2.23)

274	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

Ïîëå Cϕ(x)C–1 должно быть пропорционально полю ϕ(x), с которым

оно коммутирует на пространственноподобных расстояниях. Оче- видно, для этого необходимо, чтобы

ξc = ξ* .

(5.2.24)

Как и в случае обычной четности, внутренняя зарядовая четность ξξc состояния, содержащего бесспиновую частицу и ее античастицу,

является четной. Теперь

Cϕ(x)C−1 = ξ*ϕ† (x).

(5.2.25)

Как и выше, эти результаты применимы в случае, когда частица совпадает со своей античастицей, и ξc = ξ. Зарядовая четность должна быть при этом действительна, ξ = ±1.

Обратимся, наконец, к обращению времени. Из результатов раздела 4.2 находим:

Ta(p)T−1 = ζ*a(−p),	(5.2.26)
Tac† (p)T−1 = ζcac† (−p).	(5.2.27)

Вспоминая, что оператор Т антиунитарен, и вновь меняя переменную интегрирования р на −р, находим:

Tϕ+ (x)T−1 = ζ*ϕ+ (−P x),	(5.2.28)
Tϕ+c† (x)T−1 = ζcϕ+c† (−P x).	(5.2.29)

Чтобы Tϕ(x)T–1 было простым образом связано с полем ϕ â îáðà-

щенной по времени точке –P x, должно выполняться равенство

ζc = ζ* ,	(5. 2.30)
и поэтому
Tϕ(x)T−1 = ζ*ϕ(−P x).	(5.2.31)

5.3. Причинные векторные поля	275

5.3 Причинные векторные поля

Рассмотрим следующее по простоте поле, преобразующееся как четырехмерный вектор, т. е. по простейшему нетривиальному представлению однородной группы Лоренца. В современной физике элементарных частиц все большую роль играют массивные частицы W± è Z0, которые при низких энергиях описываются

такими полями. Поэтому наше рассмотрение представляет не только педагогический интерес. (Кроме того, хотя мы и рассматриваем массивные частицы, в квантовой электродинамике возможен подход, при котором фотон описывается как массивное векторное поле в пределе очень малой массы.) Сначала будем считать, что векторное поле описывает только один тип частиц (опуская при этом индекс n). Затем мы учтем возможность того, что поле описывает как частицу, так и соответствующую античастицу.

В 4-векторном представлении группы Лоренца строки и столбцы матриц представления D(Λ) помечены индексами μ, ν è ò. ä.,

принимающими четыре значения, причем

D(Λ)μ n ≡ Λμ n .

(5.3.1)

Части векторного поля, отвечающие уничтожению и рождению частиц, записываются в виде:

ϕ+m (x) = å(2π)-3/2 z d3p um (p, σ)a(p, σ)eip×x ,	(5.3.2)
s
ϕ-m (x) = å(2π)-3/2 z d3p vm (p, σ)a(p, σ)e-ip×x .	(5.3.3)
s

Коэффициентные функции uμ(p,σ) è vμ(p,σ) при произвольном им-

пульсе с помощью формул (5.1.21) и (5.1.22) выражаются через эти же функции при нулевом импульсе:

uμ (p, σ) = (m/ p0)1/2 L(p)μ n uν (0, σ),	(5.3.4)
vμ (p, σ) = (m/ p0)1/2 L(p)μ n vν (0, σ)	(5.3.5)

276	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

(здесь используется стандартное соглашение о суммировании по повторяющимся пространственно-временным индексам μ, ν è ò. ä.).

Кроме того, коэффициентные функции при нулевом значении импульса подчиняются условиям (5.1.25) и (5.1.26):

å uμ (0, σ)J(σjσ) = J μ ν uν (0, σ) ,	(5.3.6)
σ
−åvμ (0, σ)J(σjσ)* = J μ νvν (0, σ).	(5.3.7)
σ

В 4-векторном представлении генераторы вращения определяются с помощью (5.3.1) в виде

( Jk )00 = ( Jk )0i = ( Jk )i0 = 0,	(5.3.8)
( Jk )i j = −εijk ,	(5.3.9)

где индексы i, j, k принимают значения 1, 2, 3. Отметим в частности, что J 2 принимает вид:

( J 2 )00 = ( J 2 )0i = ( J 2 )i0 = 0,

( J 2 )i j = 2δi j .

Из формул (5.3.6) и (5.3.7) следует тогда, что

å u0 (0, σ)(J(j) )2σσ = 0,

σ

å u i (0, σ)(J(j) )2σσ = 2u i (0, σ),

σ

åv0 (0, σ)(J(j)* )2σσ = 0,

σ

åvi (0, σ)(J(j)* )2σσ = 2vi (0, σ).

(5.3.10)

(5.3.11)

(5.3.12)

(5.3.13)

(5.3.14)

(5.3.15)

σ

5.3. Причинные векторные поля								277
Напомним к тому же известную формулу:	(	J(j) 2	=	j(j	+	δ	σσ .	Èç
		)σσ				1)

формул (5.3.12)–(5.3.15) вытекает, что существуют две возможности для значений спина частицы, которая описывается векторным полем: либо j = 0, и тогда при p = 0 только u0 è v0 отличны от нуля, либо j = 1 (и j (j + 1) = 2), и при этом при p = 0 отличны от нуля только пространственные компоненты ui è vi.

Рассмотрим эти возможности детальнее.

Ñïèí íóëü

Подходящим выбором нормировки полей можно записать единственные ненулевые компоненты 4-векторов uμ(0) è vμ(0) â îáùå-

принятом виде:

u0 (0) = i(m / 2)1/2 , v0 (0) = −i(m / 2)1/2 .

(Индекс s принимает в этом случае единственное значение нуль и поэтому опущен.) В случае произвольного импульса из формул (5.3.4) и (5.3.5) следует:

uμ (p) = ipμ (2p0 )−1/2 ,	(5.3.16)
vμ (p) = −ipμ (2p0 )−1/2 .	(5.3.17)

Векторные поля уничтожения и рождения в данном случае являются не чем иным, как производными от скалярных полей уничтожения и рождения для рассмотренных выше бесспиновых частиц:

ϕ+μ (x) = ∂μϕ+ (x),

ϕ−μ (x) = ∂μ ϕ− (x).

(5.3.18)

Очевидно, что причинное векторное поле для скалярной частицы есть производная причинного скалярного поля:

ϕμ (x) = ϕ+μ (x) + ϕ−μ (x) = ∂μϕ(x).

(5.3.19)

Таким образом, этот случай можно далее не рассматривать.

278	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

Спин единица

Из формул (5.3.6) и (5.3.7) сразу же следует, что при s = 0

векторы ui(0,0) è vi(0,0) направлены вдоль третьей оси. При подходящей нормировке полей можно выбрать эти векторы в виде

		L0O
	(0,0) = vμ	M P
uμ		(0,0) = (2m)−1/2 M0P	,	(5.3.20)
		M1P

M P

N0Q

где 4-компоненты перечислены в порядке 1, 2, 3, 0. Чтобы найти другие компоненты, используем формулы (5.3.6), (5.3.7) и (5.3.9) и вычислим результат действия повышающих и понижающих опера-

торов J1(1) ± iJ2(1) на u и v. Получим:

uμ (0,+1) = -vμ (0,-1) = -

uμ (0,-1) = -vμ (0,+1) = -

				é 1		ù
1			−1/2	ê+ iú
		(2m)		ê	0	ú,
2				ê		ú
				ê	0	ú
				ë		û

				L 1 O
1				M−iP
			(2m)	−1/2 M	P .
2				M 0	P
				M	P
				N 0	Q

С помощью формул (5.3.4) и (5.3.5) находим:

uμ (p, σ) = vμ* (p, σ) = (2p0 )−1/2 eμ (p, σ),

ãäå

eμ (p, σ) ≡ Lμ ν (p)eν (0, σ) ,

é0 ù

é

1

ù

é

1

ù

eμ (0,0) = êê0 úú

, eμ (0,+1) = -

1

êê+ i

úú, eμ (0,-1) =

1

êê− i

úú.

ê1ú

2 ê 0

ú

2 ê 0

ú

ê ú

ê

ú

ê

ú

ë û

ë

0

û

ë

0

û

0

(5.3.21)

(5.3.22)

(5 3.23)

(5.3.24)

(5.3.25)