Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

5.3. Причинные векторные поля							279
Теперь поля уничтожения и рождения принимают вид
	ås	X	d3p
ϕ+m (x) = ϕ-m† (x) = (2π)-3/2		Y				em (p, σ)a(p, σ)eip×x .	(5.3.26)
		Z		2p0

Конечно, поля ϕ+μ(x) è ϕ+ν(y) коммутируют (или антикоммутируют) для всех x и y. Но это не относится к полям ϕ+μ(x) è ϕ−ν(y).

Коммутатор (для бозонов) или антикоммутатор (для фермионов) этих полей равен

	ϕ+m (x), ϕ-n(y)			X	d3p	eip×(x-y)Πmn
				= Y			(p) ,	(5.3.27)
			m		(2π)3 2p0
ãäå				Z
	Πμν (p) ≡ åeμ (p, σ)eν* (p, σ) .
								(5.3.28)
				s

Непосредственное вычисление с помощью (5.3.25) показывает, что Πμν(0) является проекционной матрицей на пространство, ортого-

нальное направлению временной оси. Тогда из (5.3.24) следует, что

Πμν(p) есть проекционная матрица на пространство, ортогональное 4-вектору pμ:

Πμν (p) = ημν + pμ pν / m2 .

(5.3.29)

Коммутатор (или антикоммутатор) (5.3.27) можно выразить через функцию +, которую мы определили в предыдущем разделе:

ϕ+m (x), ϕ-n (y)			L	ηmn −	∂m∂n O
		m	= M		m2	P
			N			Q

+ (x − y).

(5.3.30)

Важное свойство этого выражения заключается в том, что оно не обращается в нуль при пространственноподобных x − y и четно относительно x − y. Поэтому можно повторить рассуждения преды-

дущего раздела для построения причинного поля. Образуем линейную комбинацию полей уничтожения и рождения

vμ (x) ≡ κϕ+μ (x) + λϕ−μ (x),

	280			Глава 5.	Квантовые поля и античастицы
	для которой при пространственноподобных x − y
	[vm (x), vn (y)]			L	ηmn −	∂m∂n O			(x − y) ,
			m	= κλ[1 m 1]M			P	+
				M		m2 P
				N			Q
					L		∂m∂n O
	[vm (x), vn† (y)]	m		= (| κ|2 m| λ|2 )Mηmn		−		P	+	(x − y).
							m2
					M			P
					N			Q

Для обращения в нуль обоих выражений при пространственноподобных x − y необходимо и достаточно, чтобы частицы со спином единица были бозонами, и |κ| = |λ|. Подходящим выбором фазы одночастич- ных состояний можно добиться, чтобы κ è λ имели одинаковую фазу, так что κ = λ, а затем устранить общий множитель κ,

переопределив общую нормировку поля. В результате причинное векторное поле массивной частицы со спином единица имеет вид:

vμ (x) = ϕ+μ (x) + ϕ+μ† (x).

(5.3.31)

Заметим, что поле действительно:

vμ (x) = vμ† (x).

(5.3.32)

Однако если частицы, которые описываются этим полем, обладают ненулевым значением какого-то сохраняющегося квантового числа Q, то невозможно построить из такого поля сохраняющее Q взаимодействие. Следует предположить, что существует другой бозон той же массы и спина, обладающий противоположным значением Q, и построить причинное поле как

	vμ (x) = ϕ+μ (x) + ϕ+cμ† (x) ,							(5.3.33)
или, подробнее,
vm (x) = (2π)	-3/2	ås	X	d3p
			Y
					2p0
			Z					(5.3.34)

× [em (p, σ)a(p, σ)eip×x + em* (p, σ)ac† (p, σ)e-ip×x ],

5.3. Причинные векторные поля	281

где верхний индекс «с» отмечает операторы, рождающие античастицу, которая зарядово сопряжена к частице, уничтожаемой полем ϕ+μ(x). Полученное поле причинно, но более не действительно.

Эта же формула применима и в случае полностью нейтральной частицы со спином единица, совпадающей со своей античастицей, если положить ac(p) = a(p). В любом случае коммутатор векторного поля и сопряженного ему поля равен

vμ	(x), vν† (y)		L	ημν −	∂μ ∂ν O
			= M		m2	P
			N			Q

(x − y),	(5.3.35)

ãäå (x − y) — функция (5.2.13).

Построенные нами для массивной частицы со спином единица действительные и комплексные поля удовлетворяют интересным полевым уравнениям. Во-первых, так как pμ в экспоненте в формуле (5.3.26) удовлетворяет условию p2 = −m2, поле удовле-

творяет такому же, как и для скалярного поля, уравнению Клей- на–Гордона

(9 − m2 )vμ (x) = 0,	(5.3.36)
Кроме того, поскольку из (5.3.24) следует, что
eμ (p, σ)pμ = 0,	(5.3.37)
имеем еще одно уравнение:
∂μvμ (x) = 0.	(5.3.38)

В пределе малой массы уравнения (5.3.36) и (5.3.38) превращаются в уравнения электродинамики для 4-вектора потенциала в так называемой калибровке Лоренца.

Однако никакая теория массивных частиц со спином единица при устремлении массы к нулю не превращается в электродинамику. Причину этого можно увидеть, рассмотрев вероятность образования частицы со спином единица за счет взаимодействия с плотностью гамильтониана H = Jμvμ, ãäå Jμ — произвольный 4-вектор тока.

Возводя матричный элемент в квадрат и суммируя по проекциям

282	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

спина частицы на ось z, получаем, что вероятность пропорциональна величине

å| < Jμ > eμ (p, σ)* |2 = < Jμ >< Jν >* Πμν (p),

σ

где p — импульс испускаемой частицы со спином единица, а <Jμ> —

матричный элемент тока (взятый, скажем, при x = 0) между начальным и конечным состояниями всех других частиц. Слагаемое pμpν/m2 â Πμν(p) приводит в общем случае к бесконечному возрастанию вероятности процесса при m → 0. Единственный способ предот-

вратить катастрофу — предположить обращение в нуль произведения <Jμ>pμ. В координатном пространстве это сводится к сохранению тока Jμ в том смысле, что ∂μJμ = 0. На самом деле, необходимость

сохранения тока можно увидеть после простого подсчета числа состояний. У массивной частицы со спином единица имеется три спиновых состояния, которые можно считать состояниями со спиральностью +1, 0 и −1. В то же время любая безмассовая частица со

спином единица типа фотона может иметь только две спиральности +1 и −1. Условие сохранения тока как раз и гарантирует, что в

пределе нулевой массы частицы со спином 1 в состояниях с нулевой спиральностью не будут излучаться.

Преобразования инверсий можно рассмотреть во многом аналогично случаю скалярного поля. Чтобы вычислить результат действия преобразования пространственной инверсии, нужна формула

μ	−	p,s). Используя равенство	Lμ	ν (−p) = P μ	νLρτ (p)P	τ ν	и формулу
äëÿ e (
(5.3.24),		находим
		eμ (−p, σ) = −P μ νeν (p, σ) .					(5.3.39)

Далее, чтобы вычислить результат действия операции обращения времени, нужна формула для (−1)1+ σ eμ* (−p,−σ). Используя равенство eμ*(–σ) = –eμ(σ) и предыдущую формулу для Λμν(–p), получаем

(−1)1+ σ eμ* (−p,−σ) = P μ νeν (p, σ) .

(5.3.40)

С помощью этих формул и свойств преобразования операторов уничтожения и рождения, выписанных в разделе 4.2, можно непосредственными вычислениями найти законы преобразования полей

5.4. Дираковский формализм	283

уничтожения и рождения под действием преобразований инверсии. Мы вновь обнаруживаем, что для того, чтобы причинные поля преобразовывались бы в другие поля, с которыми они коммутируют на пространственноподобных расстояниях, необходимо, чтобы внутренние фазовые множители, отвечающие пространственной инверсии, зарядовому сопряжению и обращению времени для частиц со спином единица и их античастиц, были связаны соотношениями:

ηc = η* ,		(5.3.41)
ξc	= ξ* ,	(5.3.42)
ζc	= ζ* .	(5.3.43)

(В частности, в случае, когда частицы со спином 1 совпадает со своей античастицей, все фазы должны быть действительны.) С учетом этих условий на фазы находим, что причинное векторное поле (5.3.34) обладает следующими трансформационными свойствами относительно инверсий:

Pvμ (x)P−1 = −η* P μ νvν (Px),	(5.3.44)
Cvμ (x)C−1 = ξ*vμ† (x),	(5.3.45)
Tvμ (x)T−1 = ζ* P μ νvν (−Px).	(5.3.46)

В частности, знак «минус» в (5.3.44) означает, что векторное поле, преобразующееся как полярный вектор без дополнительных фаз или знаков, связанных с матрицей P μν, описывает частицу со спином 1 и внутренней четностью η = –1.

5.4. Дираковский формализм

Среди всех представлений однородной группы Лоренца существует одно, играющее особую роль в физике. Как мы видели

âразделе 1.1, это представление было впервые рассмотрено Дираком

âтеории электрона 3. Но, как часто случается, оно было уже известно математикам 4, так как при любом числе измерений это

284	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

представление лежит в основе одного из двух больших классов представлений группы вращений или группы Лоренца (точнее, их накрывающих групп; см. раздел 2.7). Согласно рассматриваемому здесь подходу, структура и свойства любого квантового поля диктуется тем представлением однородной группы Лоренца, по которому это поле преобразуется. Поэтому для нас более естественно сначала описать дираковский формализм в том виде, как он возник в математике, а не так, как его ввел Дирак.

Представлением однородной группы Лоренца мы называем множество матриц D(Λ), удовлетворяющих закону группового ум-

ножения

D(Λ)D(Λ) = D(ΛΛ).

Как и для унитарных операторов U(Λ), можно изучать свойства

этих матриц, рассматривая бесконечно малые преобразования

Λμ ν = δμ ν + ωμ ν ,				(5.4.1)
ωμν = −ω νμ ,				(5.4.2)
для которых
D(Λ) = 1 +	i	ωμν J μν	,	(5.4.3)
2

ãäå J μν = –J νμ — множество матриц, удовлетворяющих коммута-

ционным соотношениям (2.4.12):

i[ J μν, J ρσ ] = ηνρ J μσ − ημρ J νσ − ησμ J ρν + ησν J ρμ .

(5.4.4)

Чтобы найти эти матрицы, предположим, что сначала мы построили матрицы γμ, удовлетворяющие соотношениям антикоммутации,

	{γμ,γν} = 2ημν ,				(5.4.5)
и попробуем определить
J	μν = −	i	[γ μ , γ ν	].	(5.4.6)
	4

С помощью (5.4.5) нетрудно показать, что

5.4. Дираковский формализм	285
[ J μν , γ ρ ] = −iγ μ ηνρ + iγ νημρ .	(5.4.7)

Отсюда вытекает, что (5.4.6) действительно удовлетворяет требуемому коммутационному соотношению (5.4.4). Предположим далее, что матрицы γμ неприводимы. Это означает, что не существует

собственного подпространства, остающегося инвариантным под действием всех этих матриц. В противном случае можно было бы выбрать меньшее количество компонент поля, которые преобразовывались бы по формулам (5.4.3) и (5.4.6) с неприводимым набором

матриц γμ.

Всякий набор матриц, удовлетворяющих соотношению вида (5.4.5) (или его евклидовому аналогу, в котором ημν заменено на

кронекеровский дельта-символ), называется алгеброй Клиффорда. Важность этого представления однородной группы Лоренца (точ- нее, ее накрывающей группы) связана с тем, что наиболее общее неприводимое представление группы Лоренца является тензором либо спинором, преобразующимися по формулам (5.4.3), (5.4.6), или прямым произведением спинора и тензора (доказательство приведено в разделе 5.6).

Смысл перестановочного соотношения (5.4.7) заключается в том, что γ ρ является вектором, т. е. с учетом формулы (5.4.3)

выполнено равенство

D(Λ)γ ρD−1(Λ) = Λσργ σ .

(5.4.8)

Точно так же единичная матрица тривиально является скаляром:

D(Λ)1D−1(Λ) = 1,

(5.4.9)

и из (5.4.4) следует, что J ρσ есть антисимметричный тензор:

D(Λ) J ρσ D−1(Λ) = ΛμρΛ νσ J μν .

(5.4.10)

С помощью матриц γμ можно построить другие полностью антисим-

метричные тензоры

Àρστ ≡ γ [ργ σ γ τ] ,	(5.4.11)
P ρστη = γ [ργ σ γ τ γ η] .	(5.4.12)

286	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

Квадратные скобки в этих выражениях являются стандартным обозначением того, что производится суммирование по всем перестановкам индексов внутри скобок, а знаки «плюс» или «минус» определяются четностью перестановки. Например, формула (5.4.11) есть сокращенная запись выражения

À ρστ ≡ γ ργ σ γ τ − γ ργ τ γ σ − γ σ γ ργ τ + γ τ γ ργ σ + γ σ γ τ γ ρ − γ τ γ σ γ ρ .

Многократно используя формулу (5.4.5). можно записать любое произведение γ-матриц как сумму антисимметризованных произведений γ-матриц, умноженных на произведение метрических тензо-

ров, так что полностью антисимметричные тензоры образуют полный базис множества всех матриц, которые можно построить из матриц Дирака.

Этот формализм автоматически содержит преобразование четности, которое принято выбирать в виде

β ≡ iγ 0 .

(5.4.13)

В применении к матрицам Дирака имеем:

βγ iβ−1 = −γ i , βγ 0β−1 = +γ 0 .

(5.4.14)

(Индексы выбраны так, что μ пробегает значения 0, 1, 2, ...) Такое

же преобразование подобия, примененное к любому произведению γ-матриц, приведет к появлению дополнительного знака «плюс» или

«минус» в зависимости от того, содержит ли произведение четное или нечетное число γ-матриц с пространственными индексами. В частности,

βJ ijβ−1 = J ij ,	(5.4.15)
βJ i0β−1 = − J i0 .	(5.4.16)

Все, что до сих пор говорилось в этом разделе, применимо для любого числа пространственно-временных измерений и для любой «метрики» ημν. Однако в четырехмерном пространстве–времени суще-

ствует дополнительное ограничение, что ни один полностью антисимметричный тензор не может иметь более четырех индексов, так что последовательность тензоров 1, γρ, J ρσ, À ρστ,... обрывается на тензоре

5.4. Дираковский формализм	287

(5.4.12). Далее, каждый из этих тензоров преобразуется по-разному под действием преобразований Лоренца и/или четности, так что все они линейно независимы *. Число линейно независимых компонент этих тензоров равно единице для 1, четырем для γ ρ, шести для J ρσ, четырем для А ρστ, и единице для P μνρσ, т. е. всего шестнадцать

компонент. (По общему правилу полностью антисимметричный тензор с n индексами в пространстве d измерений имеет число компонент, равное биномиальному коэффициенту d!/n!(d–n)!) Существуют не более чем ν2 независимых ν × ν матриц, так что наши матрицы должны иметь не меньше, чем 16 = 4 строк и столбцов. Матрицы Дирака

минимальной размерности с необходимостью неприводимы; если бы это было не так, то подпространство, оставляемое инвариантным этими матрицами, реализовало бы представление меньшей размерности. Поэтому примем, что γμ есть матрицы 4 × 4.

(В более общем случае, при любом четном числе d простран- ственно-временных измерений, можно построить антисимметрич- ные тензоры с 0, 1, ... , d индексами и с общим числом независимых компонент, равным

	d	d!
	å		= 2d .
		n!(d − n) !
	n=0

Тогда γ-матрицы должны иметь как минимум 2d/2 строк и столбцов. Для пространства или пространства−времени нечетной размер-

ности полностью антисимметричные тензоры ранга n и d – n могут быть связаны линейными условиями

γ [μ1 γ μ2 . . . γ μr ] εμ1μ2 ...μd γ [μr +1 γ μr +2 . . . γ μd ] ,

ïðè r = 1, 2, ..., d–1, ãäå εμ1μ2 ...μd — полностью антисимметричный

тензор, а при r = 0 левая часть равна единичной матрице. При

* То, что эти матрицы линейно независимы, можно показать другим способом, заметив, что они образуют ортогональное множество со скалярным произведением двух матриц, определенным, как след от их произведения. Заметим, что ни одна из матриц не может равняться нулю, т. к. каждая компонента каждого тензора пропорциональна произведению разных γ-ìàò-

риц, а квадрат такого произведения равен с точностью до знака произведению соответствующих квадратов, т. е. равен ±1.

288	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

таких условиях * есть только 2d–1 независимых тензоров, откуда минимальная размерность γ-матриц равна 2(d–1)/2).

Возвращаясь к четырехмерному пространству-времени, выберем явно набор 4 × 4 γ-матриц. Удобным является следующий

выбор:

L0	1O		L 0		σO
γ 0 = −iM	0	P ,	γ = −iM	−σ	0	P ,	(5.4.17)
1		Q	N			Q
N

где 1 — единичная 2 × 2 матрица, а компоненты вектор-матри- цы σ — обычные матрицы Паули

σ1	F0	1I	σ2	F0 −iI		σ3	F 1	0 I
	= G	J ,		= G	J ,		= G	J .	(5.4.18)
	H 1	0K		H i	0 K		H0	−1K

(Матрицы σi как раз являются 2 × 2 γ-матрицами в трех измерени-

ях.) Можно показать 5, что любой другой неприводимый набор γ-матриц связан с этими матрицами преобразованием подобия.

С помощью формул (5.4.17) без труда вычисляются генераторы группы Лоренца:

	J ij	=	1	εijk			Lσk
							M
			2
							N 0
	J i0	= +			i	Lσi
						M
					2
						N 0

0 O

P ,	(5.4.19)
σk Q
0 O
P .	(5.4.20)
−σi Q

* Это ограничение не мешает включению пространственной инверсии в дираковское представление группы Лоренца в нечетномерном пространстве– времени, т. к. тензор εμ1μ2 ...μd четен по отношению к инверсии пространствен-

ных координат. Если нас не заботит пространственная инверсия, можно построить 2(d–2)/2-мерные неприводимые представления собственной ортохронной группы Лоренца в пространстве-времени четного числа измерений, наложив упомянутые выше ограничения, связывающие антисимметризованные произведения r и d – r матриц Дирака. Примером могут служить подматрицы в нижеприведенных формулах (5.4.19) и (5.4.20)