Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

5.4. Дираковский формализм	289

(Здесь εijk — полностью антисимметричный тензор в трех измерениях, причем ε123 ≡ +1.) Заметим, что они блочно-диагональны,

так что матрицы Дирака реализуют приводимое представление собственной ортохронной группы Лоренца, являющееся прямой суммой двух неприводимых представлений с J ij = ±εijkJ k0.

Удобно записать полностью антисимметричные тензоры (5.4.11) и (5.4.12) в несколько более простом виде. Матрица (5.4.12) полностью антисимметрична, следовательно, пропорциональна псевдотензору ερστη, определенному как полностью антисимметричная величина с ε0123 = +1. Полагая индексы ρ, σ, τ, η последо-

вательно равными 0, 1, 2, 3, видим, что

P ρστη = 4 ! iερστηγ						5	,	(5.4.21)
ãäå
γ 5 ≡ −iγ 0γ 1γ 2γ 3 .								(5.4.22)
Матрица γ5 является псевдоскаляром в том смысле, что
[ J ρσ , γ 5 ] = 0,								(5.4.23)
βγ	5	β−1	= −γ	5	.			(5.4.24)

Аналогично, А ρστ должна быть пропорциональна тензору ερστη, свернутому с некоторой матрицей А η. Полагая индексы ρ, σ, τ по очереди

равными 0, 1, 2, или 0, 1, 3, или 0, 2, 3, или 1, 2, 3, находим:

À ρστ = 3! iερστηγ 5γ η .

(5.4.25)

Шестнадцать независимых 4 × 4 матриц могут быть поэтому выбраны как компоненты скаляра 1, вектора γρ, антисимметричного тензора J ρσ, «аксиального» вектора γ5γη и псевдоскаляра γ5. Легко видеть, что квадрат матрицы γ5 равен единице:

γ 52 = 1,	(5.4.26)
а сама эта матрица антикоммутирует со всеми γμ:
{γ 5 , γ μ } = 0.	(5.4.27)

290	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

Обозначение γ5 особенно удобно, т. к. соотношения антикоммутации (5.4.26) и (5.4.27) вместе с формулой (5.4.5) показывают, что γ0, γ1, γ2, γ3, γ5 реализуют алгебру Клиффорда в пяти пространственно– временных измерениях. В конкретном 4 × 4 представлении γ- матриц (5.4.17) матрица γ5 имеет вид

γ 5	F 1		0 I
	= G		J .	(5.4.28)
	H	0	−1K

Удобство такого представления состоит в том, что в нем J ρσ è γ5

имеют блочно–диагональный вид. Мы увидим далее, что это свойство окажется особенно полезным при рассмотрении частиц в ультрарелятивистском пределе, когда v → c. (Однако, это пред-

ставление не совпадает с тем, которое описано в разделе 1.1 и которое ввел Дирак, поскольку он интересовался, главным образом, поведением атомных электронов, для которых v n c. В этом случае удобнее использовать представление, в котором диагональна не матрица γ5, а матрица γ0.)

Построенное здесь представление однородной группы Лоренца не унитарно, т. к. не все генераторы J ρσ являются эрмитовыми

матрицами. В частности, в представлении (5.4.17) матрицы J ij эрмитовы, но J i0 антиэрмитовы. Условия действительности удобно записать в явно лоренц–инвариантной форме, введя матрицу β ≡ iγ0

(5.4.13), которая в представлении (5.4.17) принимает вид

F0		1I
β = G		J .
H	1	0K

Из (5.4.17) следует, что

βγ μ†β = −γ μ ,

откуда

βJ ρσ†β = J ρσ .

(5.4.29)

(5.4.30)

(5.4.31)

Следовательно, хотя матрицы D(Λ) не унитарны, они удовлетворя-

ют соотношению псевдоунитарности:

βD(Λ)† β = D(Λ)−1 .

(5.4.32)

5.4. Дираковский формализм	291
Далее, γ5 эрмитова и антикоммутирует с β, òàê ÷òî
βγ 5†β = −γ 5 ,	(5.4.33)
откуда следует, что
β(γ 5γ μ )† β = −γ 5γ μ .	(5.4.34)

Матрицы Дирака и связанные с ними матрицы обладают рядом важных свойств симметрии. Из формул (5.4.17) и (5.4.18) вытекает, что γμ симметричны при μ = 0, 2 и антисимметричны при μ = 1, 3,

òàê ÷òî

γ Tμ = −Cγ μC −1,	(5.4.35)
где Т означает транспонирование, и

	F σ2			0 I	(5.4.36)
C ≡ γ 2β = −iG				J .
	H 0			σ2 K
Отсюда сразу же следует, что
JμνT	= −C JμνC −1,				(5.4.37)
γ T	= +Cγ	5	C −1	,	(5.4.38)
5
(γ 5γ μ )T = +Cγ 5γ μC −1 .					(5.4.39)

Полученные знаки окажутся важными, когда мы в следующем разделе будем рассматривать свойства разных токов по отношению к зарядовому сопряжению. Конечно, можно объединить полученные результаты для сопряжения и транспонирования, и получить правила комплексного сопряжения дираковских и связанных с ними матриц:

γ *μ	= βCγ μC −1β,	(5.4.40)
Jμν*	= −βC JμνC −1β,	(5.4.41)

292	Глава 5. Квантовые поля и античастицы
	γ 5* = −βCγ 5C −1β,	(5.4.42)
	(γ 5γ m )* = −βCγ 5γ mC −1β.	(5.4.43)

5.5. Причинные дираковские поля

Мы хотим теперь построить поля уничтожения и рождения частиц, преобразующиеся по обсуждавшемуся в предыдущем разделе дираковскому представлению группы Лоренца. Эти поля имеют общий вид, задаваемый формулами (5.1.17) и (5.1.18):

ψl+ (x) = (2π)-3/2 å z d3p ul (p, σ)eip×xa(p, σ),	(5.5.1)
s
ψl-c (x) = (2π)-3/2 å z d3p vl (p, σ)e-ip×xac† (p, σ).	(5.5.2)
s

(метка сорта частиц опущена). Чтобы вычислить входящие в эти формулы коэффициентные функции ul(p,σ) è vl(p,σ), необходимо

сначала использовать (5.1.25) и (5.1.26) и найти ul è vl для нулевого импульса, а затем с помощью (5.1.21) и (5.1.22) вычислить их для произвольных импульсов. В обоих случаях Dll (Λ) следует брать как 4 × 4 дираковское представление однородной группы Лоренца.

С помощью (5.4.19) условия при нулевом импульсе (5.1.25) и (5.1.26) принимают вид *

å u		± (0, σ)J(sjs)	= å	1	σ	mmum± (0, σ),
	m			2
s			m

* Мы опустили индекс сорта частиц n и заменили 4-компонентный индекс l на пару индексов: принимающий два значения индекс m, нумерующий строки и столбцы подматриц в (5.4.19) и (5.4.20), и второй индекс, принимающий значения ± и отмечающий строки и столбцы суперматрицы в (5.4.19)

è (5.4.20).

5.5. Причинные дираковские поля	293

−åvm ± (0, σ)J(σjσ)* = å 21 σmmvm± (0, σ).
σ	m

Иными словами, если рассматривать um± (0, σ) è vm± (0, σ) êàê m,σ элементы матриц U± è V±, то в матричных обозначениях

U±J( j) = σU± ,	(5.5.3)
−V±J( j)* = σV± .	(5.5.4)

Далее, (2j + 1)−мерные матрицы J(j) è –J(j)*, а также 2 × 2 матрицы σ/2 реализуют неприводимые представления алгебры Ли

группы вращений. Общая теорема теории групп, известная как лемма Шура6, утверждает, что если матрица вида U± èëè V±

связывает два таких представления, как в (5.5.3) и (5.5.4), эта матрица должна либо равняться нулевой матрице (случай, не представляющий интереса), либо быть квадратной и несингулярной. Поэтому1 дираковское поле может описывать только частицы со спином j = (так что 2j + 1 = 2), а матрицы J(1/2) è –J(1/2)* должны совпадать с σ/2 с точностью до преобразования подобия. На самом

деле, в стандартном представлении1 генераторов1 вращений (2.5.1) и (2.5.2) матрицы J(1/2) = σ è –J(1/2)* = σ2σσ2. Тогда получаем, что U± è V±σ2 должны коммутировать с σ, следовательно, они должны

быть пропорциональны единичной матрице:

um,± (0, σ) = c±δmσ , vm,± (0, σ) = id± (σ2 )mσ .

(5.5.5)

Иначе говоря,

u(0, 21)

v(0, 21 )

M + OP

=M 0 P , MMc− PP MN 0 PQLc

L 0 O

M P

=Md+ P , MM 0 PP Md P N − Q

L 0 O

M P

u(0,− 1) = Mc+ P ,

2 MM 0 PP Mc P N − Q

LMd+ OP

v(0,− 1 ) = −M 0 P .

2 MMd− PP MN 0 PQ

294	Глава 5. Квантовые поля и античастицы
и спиноры при конечном импульсе равны
u(p, σ) =		m p0 D(L(p))u(0, σ),		(5.5.6)
v(p, σ) =		m p0 D(L(p))v(0, σ).		(5.5.7)

Остается выяснить, чему равны константы c± è d±. Вообще говоря,

они совершенно произвольны — можно даже выбрать с– è d– èëè ñ+ è d+ равными нулю, так что дираковское поле будет иметь лишь две отличные от нуля компоненты. Единственное физическое условие, которое может как-то определить относительные значения c± è d±, это сохранение четности. Напомним, что в результате про-

странственной инверсии операторы уничтожения частиц и рождения античастиц подвергаются преобразованию

Pa(p, σ)P−1 = η*a(−p, σ),			(5.5.8)
Pac† (p, σ)P−1 = ηcac† (−p, σ),			(5.5.9)
òàê ÷òî
Pψl+ (x)P-1 = η* (2π)-3/2 å z d3p ul (−p, σ)eip×Pxa(p, σ),			(5.5.10)
	s
Pψl-c (x)P-1 = ηc (2π)-3/2 å z d3p vl (−p, σ)e-ip×Pxac† (p, σ).			(5.5.11)
	s
Кроме того, из формул (5.4.16), (5.1.21) и (5.1.22) следует, что
u(−p, σ) =	m p0 βD(L(p))βu(0, σ),		(5.5.12)
v(−p, σ) =	m p0 βD(L(p))βv(0, σ).		(5.5.13)

(Поскольку β2 = 1, мы более не делаем различия между β è β–1.) Äëÿ

того, чтобы оператор четности переводил поля уничтожения и рождения в точке x в нечто, пропорциональное этим полям в точке Px, необходимо, чтобы βu(0,σ) è βv(0,σ) были бы пропорциональны u(0,σ) è v(0,σ), соответственно:

5.5. Причинные дираковские поля	295
βu(0, σ) = buu(0, σ), βv(0, σ) = bvv(0, σ),	(5.5.14)

ãäå bu è bv — знаковые множители, квадраты которых равны единице, bu2 = bv2 = 1. В таком случае поля будут простым образом преобразовываться при пространственной инверсии:

Pψ + (x)P−1 = η*buβψ + (Px),	(5.5.15)
Pψ −c (x)P−1 = ηcbvβψ −c (Px).	(5.5.16)

Подбором общего масштаба полей можно добиться, чтобы коэффициентные функции при нулевом импульсе имели вид

u(0, 1) = 2

v(0, 21 ) =

				L 1		O
				M	0	P
	1 M					P	,
				M	bu	P
	2
				M		P
				M	0	P
				N		Q

				L 0		O
				M	1	P
	1			M		P	,
				M	0	P
	2
				M		P
				Mb		P
				N	v Q

u(0,− 1) = 2

v(0,− 21 ) =

1

2

−1

2

L 0 O

MP

M1 P

MM 0 PP ,

Mb P

N u Q

L 1 O

MP

M0 P .

MMbv PP MN 0 PQ

(5.5.17)

(5.5.18)

Попробуем теперь объединить поля уничтожения и рождения в линейную комбинацию

ψ(x) = κψ + (x) + λψ −c (x),

(5.5.19)

которая коммутирует или антикоммутирует сама с собой и с сопряженной величиной в точках, разделенных пространственноподобным интервалом. Прямое вычисление дает:

[ψl (x), ψ†l (y)]m = z d3p| κ|2 Nll (p)eip×(x-y) m| λ|2 Mll (p)e-ip×(x-y) , (5.5.20)

296 Глава 5. Квантовые поля и античастицы

ãäå

Nll (p) ≡ å ul (p, σ)ul* (p, σ) ,	(5.5.21)
σ
Mll (p) ≡ åvl (p, σ)vl* (p, σ) .	(5.5.22)
σ

Используя либо условия на собственные значения (5.5.14), либо явные формулы (5.5.17) и (5.5.18), находим, что при нулевом импульсе

N(0)	=		1 + buβ			,	M(0) =	1 + bvβ	.	(5.5.23)
			2(2π)3					2(2π)3
Тогда из (5.5.6) и (5.5.7) получаем:
N(p) =		m			DaL(p)f[1 + buβ]D† aL(p)f ,					(5.5.24)
	0
	2p
M(p) =		m			DaL(p)f[1 + bvβ]D† aL(p)f .					(5.5.25)
		0
		2p

Из условия псевдоунитарности (5.4.32) следует:

DaL(p)fβD† aL(p)f = β ,

DaL(p)fD† aL(p)f = DaL(p)fβD−1aL(p)fβ.

Напомним также, что β = –iγ0, так что с помощью закона лоренцов-

ского преобразования (5.4.8) находим:

DaL(p)fβD−1aL(p)f = −iLμ0 (p)γ μ = −ipμ γ μ / m. (5. 5. 26)

Собирая результаты, получаем *:

* Иногда в дираковcкие спиноры включают дополнительный множитель (р0/m)1/2, так что в знаменателях формул суммирования по спинам (5.5.27) и (5.5.28) появляется m вместо р0. Используемое здесь условие нормировки имеет то преимущество, что оно выдерживает плавный переход к случаю m = 0.

5.5. Причинные дираковские поля											297
N(p) =	1					[−ipm γ		+ b		m] β ,	(5.5.27)
	2p		0				m		u
M(p) =	1					[−ipm γ		+ b m] β .			(5.5.28)
				0			m
		2p							v
Подставляя в формулу (5.5.20), находим окончательно:
[ψl (x), ψl† (y)]m = e| κ|2 [−γ m∂m + bum] βΔ + (x − y)
m | λ|2 [−γ m∂m								+ bvm] βΔ + (y − x)j ,			(5.5.29)
										ll

ãäå + — введенная в разделе 5.2 функция

+ (x) ≡ z d3p eip×x . 2p0 (2π)3

В разделе 5.2 было показано, что при пространственноподобных x − y функция +(x − y) является четной, поэтому, конечно, ее первые производные − нечетные функции x − y. Отсюда, для того,

чтобы и обе производные, и слагаемые, не содержащие производных, в коммутаторе или антикоммутаторе обратились бы в нуль на пространственноподобных расстояниях, необходимо и достаточно, чтобы

		| κ|2 = m|			λ|2 ,		(5.5.30)
|	κ	2 b		= ± λ		2 b	(5.5.31)
	|		u	|	|	v .

Ясно, что условие (5.5.30) будет выполнено только, если выбрать нижний знак «плюс». Иными словами, частицы, описываемые дираковским полем, должны быть фермионами. Отсюда с необходимостью следует, что |κ|2 = |λ|2 è bu = –bv. Как и в случае скалярного

поля, можно переопределить относительную фазу операторов унич- тожения и рождения так, чтобы отношение κ/λ стало действительным. В этом случае κ = λ и подбором общего масштабного множителя и фазы поля ψ можно выбрать

κ = λ = 1.

(5.5.32)

298	Глава 5. Квантовые поля и античастицы
	Наконец, при желании можно заменить ψ íà γ5ψ, ÷òî îäíî-

временно меняет знаки у bu è bv, так что можно всегда выбрать

bu = –bv = +1.

(5.5.33)

Для будущих применений выпишем окончательный вид дираковского поля:

ψl (x) = (2π)-3/2 ås z d3p[ul (p, σ)eip×xa(p, σ) + vl (p, σ)e-ip×xac† (p, σ)],

(5.5.34) где коэффициентные функции при нулевом импульсе равны:

u(0, 21)

v(0, 21)

L1O

M P

= 1 M0P

2 MM1PP ,

M0P

N Q

					L 0			O
					M	1		P
	=	1			M			P	,
					M	0		P
		2
					M			P
					M−			P
					N		1Q

						L0O
						M	P
u(0,−	1	) =	1			M1P		,
						M	P
	2
			2			M0P
						M	P
						N1Q

						L−1O
			−1			M	0	P
v(0,−	1	) =				M		P	.
						M		P
2			2				1
						M		P
						M	0	P
						N		Q

Суммирование по спинам осуществляется по формулам

	N(p) =	1			[−ipm γ		+ m] β,
		2p	0			m
	M(p) =	1			[−ipm γ		− m] β,
		2p	0			m

так что антикоммутатор (5.5.20) имеет вид:

[ψ	(x), ψ† (y)]	+	= {[−γ μ ∂	m	+ m]β} (x − y).
l	l				ll

(5.5.35)

(5.5.36)

(5.5.37)

(5.5.38)

(5.5.39)