Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

5.1. Свободные поля	259

u	l	(x; p, σ, n) = (2π)-3/2 eip×x u		(p, σ, n),		(5.1.15)
			l
v	(x; p, σ, n) =		(2π)-3/2 e-ip×xv		(p, σ, n),	(5.1.16)
l			l
так что поля являются преобразованиями Фурье:
ψl+ (x) = å(2π)-3/2 z d3p ul (p, σ, n) eip×xa(p, σ, n),						(5.1.17)
		s,n
ψl- (x) = å(2π)-3/2 z d3p vl (p, σ, n) e-ip×xa† (p, σ, n).						(5.1.18)
	s,n

(Множители (2π)–3/2 можно было бы включить в определение ul è vl,

но принято выписывать их явно перед интегралами.) С учетом (5.1.15) и (5.1.16) получаем, что условия (5.1.13) и (5.1.14) удовлетворяются, если и только если для произвольного преобразования Лоренца Λ

å ul (pL , σ, n)Ds(jsn ) aW(Λ, p)f =		å Dll aΛful (p, σ, n) , (5.1.19)
	p0 (Λp)0
s		l

åvl (pL , σ, n)Ds(jsn )* aW(Λ, p)f = p0 (Λp)0 å Dll aΛfvl (p, σ, n) . (5.1.20)

s

l

Бусты

Положим теперь p = 0 в (5.1.19) и (5.1.20). Пусть Λ — стандарт-

ный буст L(q), переводящий частицу массой m из состояния покоя в состояние с некоторым 4-импульсом qμ. Тогда L(p) = 1 и

W(Λ, p) ≡ L-1(Λp)ΛL(p) = L-1(q)L(q) = 1 .

Отсюда в этом частном случае из формул (5.1.19) и (5.1.20) получаем

ul (q, σ, n) = (m / q0 )1/2 å Dll (L(q))ul (0, σ, n),	(5.1.21)
l

260 Глава 5. Квантовые поля и античастицы

vl (q, σ, n) = (m / q0 )1/2 å Dll (L(q))vl (0, σ, n).	(5.1.22)
l

Иными словами, если нам известны величины ul(0,σ,n) è vl(0,σ,n) для нулевого импульса, то для заданного представления D(Λ) однородной группы Лоренца мы знаем и функции ul(p,σ,n) è vl(p,σ,n) для всех p. (Явные выражения матриц Dll (L(q)) для произвольных

представлений однородной группы Лоренца будут выписаны в разделе 5.7.)

Вращения

Далее, положим p = 0, но будем теперь считать, что Λ — преобразование Лоренца с pΛ = 0. Иными словами, будем рассматривать Λ как чистое вращение R. Очевидно, что W(Λ,p) = R, òàê ÷òî

формулы (5.1.19) и (5.1.20) принимают вид

å ul (0, σ, n)Dσ(jσn ) (R) = å Dll (R)ul (0, σ, n) ,		(5.1.23)
σ	l
åvl (0, σ, n)Dσ(jσn )* (R) = å Dll (R)vl (0, σ, n),		(5.1.24)
σ	l
или эквивалентно
å ul (0, σ, n)J(σjσn ) = å Jll ul (0, σ, n) ,		(5.1.25)
σ	l
åvl (0, σ, n)J(σjσn )* = −å Jllvl (0, σ, n) ,		(5.1.26)
σ	l

ãäå J(j) и J — матрицы углового момента в представлениях D(j)(R) и D(R), соответственно. Если Λ ограничены вращениями R, то любое представление D(Λ) однородной группы Лоренца очевидно стано-

вится и представлением группы вращений. Тогда из формул (5.1.25) и (5.1.26) следует, что если поле ψl± (x) должно описывать частицы

5.1. Свободные поля	261

определенного спина j, то это представление D(R) должно содержать среди своих неприводимых компонент отвечающее спину j представление D(j)(R), причем коэффициенты ul(0,σ,n) è vl(0,σ,n)

описывают то, каким образом представление группы вращений со спином j погружено в D(R).

В разделе 5.5 мы увидим, что каждое неприводимое представление собственной ортохронной группы Лоренца содержит любое заданное неприводимое представление группы вращений не более одного раза, так что если поля ψl+ (x) è ψl− (x) преобразуются по

неприводимому представлению, то они единственны с точностью до общего масштабного множителя. В более общей форме утверждается, что число свободных параметров в полях уничтожения или рождения (включая их общие масштабные множители) равно числу неприводимых представлений, входящих в поле.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что коэффициентные функции ul(p,σ,n) è vl(p,σ,n), определяемые формулами (5.1.21) и (5.1.22), причем ul(0,σ,n) è vl(0,σ,n) удовлетворяют соотно-

шениям (5.1.23) и (5.1.24), автоматически удовлетворяют и более общим требованиям (5.1.19) и (5.1.20). Мы оставляем проверку этого утверждения читателю.

Вернемся к принципу кластерного разложения. Подставляя (5.1.17) и (5.1.18) в (5.1.9) и интегрируя по x, находим, что гамильтониан взаимодействия равен

3

′

3

′

3

3

å å å å

V = å z d p1 . . .

d pNd

p1 . . .

d pM

NM

σ′ ...σ′

σ

...σ

M

n′ ...n′

n

...n

M

1

N

1

1

N

1

× a† (p′

, σ′

, n′ ). . . a† (p′

, σ′

, n′ )a(p

M

, σ

M

, n

M

). . . a(p

, σ

, n )

1 1 1

N

N N

1 1

1

× V

NM

(p′ ,

σ′ , n′ . . . p′ , σ′

, n′

, p

, σ

, n

. . . p

M

,

σ

M

, n

M

),

1

1 1

N N N

1 1

1

(5.1.27)

причем коэффициентные функции даются выражением

V

NM

(p′

, σ′

, n′ . . . , p

, σ

, n

. . . )

1

1

1

1

1

1

,

(5.1.28)

= δ3 (p′

+. . .−p

−. . . )V~

(p′

, σ′

, n′

. . . , p

, σ

, n

1

. . . )

1

1

NM

1

1

1

1

1

ãäå

262 Глава 5. Квантовые поля и античастицы

V~

(p′ , σ′ , n′

. . . p′

, σ′ , n′ , p , σ

, n . . . p

M

, σ

M

, n

M

)

NM

1 1 1

N N N

1 1

1

=

(2π)3−3N/2−3M/2

g ′

′

v ′ (p′ , σ′

, n′). . . v ′

(p′

, σ′

, n′ )

å å l1

...lN ,l1 ...lM l1

1

1

1

lN

N

N

N

l′

...l′ l

...l

M

1

N 1

× ul

(p1, σ1, n1). . . ul

(pM , σM , nM ).

(5.1.29)

1

M

Это взаимодействие имеет точно такую форму, которая гарантирует, что S-матрица удовлетворяет принципу кластерного разложения: V NM содержит единственную дельта-функцию, а коэффициентV~NMимеет (по крайней мере в случае конечного числа

сортов частиц) не более чем точки ветвления при нулевых импульсах частиц.

На самом деле, утверждение можно обратить. Всякий оператор можно представить в виде (5.1.27), и из принципа кластерного разложения вытекает, что коэффициент V NM можно записать в виде (5.1.28) как произведение единственной дельта-функции на гладкую коэффициентную функцию. Любая достаточно гладкая коэффициентная функция (не содержащая дополнительных дель- та-функций) может быть записана в виде (5.1.29) *. Итак, из принципа кластерного разложения совместно с лоренц-инвариантно- стью естественно вытекает, что плотность гамильтониана взаимодействия должна быть построена из полей рождения и уничтожения.

Если бы все, что нам требуется, сводилось к построению скалярного гамильтониана взаимодействия, удовлетворяющего принципу кластерного разложения, то мы могли бы скомбинировать операторы уничтожения и рождения в произвольные полиномы

(5.1.9), коэффициенты которых	gl′	...l′	,l	...l	подчинялись бы только
	1	N	1		M

условию инвариантности (5.1.10) (и подходящему условию действительности). Однако для лоренц-инвариантности S-матрицы необходимо также, чтобы гамильтониан взаимодействия удовлетворял коммутационному соотношению (5.1.3). Для произвольных функций от полей рождения и уничтожения это условие не выполняется, поскольку

*В общем случае индексы l и l′ могут изменяться в бесконечных пределах. Ограничение конечным интервалом изменения l и l′ связано с обсуждаемым в

гл. 12 принципом перенормируемости.

5.1. Свободные поля	263

ψl+ (x), ψl- (y)		m	= (2π)-3 å z d3pul (p, σ, n)vl (p, σ, n)eip×(x- y) (5.1.30)
			sn

(çíàê å соответствует выбору коммутатора или антикоммутатора, если частицы, уничтожаемые или рождаемые компонентами ψl+ è ψl− , являются бозонами или фермионами, соответственно), и в

общем случае это выражение не обращается в нуль даже для пространственноподобных x − y. Очевидно, эту проблему не удает-

ся разрешить, если построить плотность гамильтониана взаимодействия только из полей рождения или уничтожения по отдельности, так как в этом случае взаимодействие не будет эрмитовым. Единственный путь преодоления трудности — в том, чтобы образовать линейные комбинации полей рождения и уничтожения

ψl (x) ≡ κl ψl+ (x) + λl ψl− (x) ,

(5.1.31)

подобрав константы κ è λ и любые другие произвольные константы в полях так, чтобы при пространственноподобных интервалах x − y

ψ	(x), ψ	l¢	(y)		=	ψ	(x), ψ†	(y)	= 0.	(5.1.32)
l				m		l	l¢		m

Ниже в этой главе мы покажем, как это можно сделать для разных полей, преобразующихся по неприводимым представлениям. (Вклю- чив в явном виде константы κ è λ в (5.1.31), мы сохраняем свободу

выбора общего масштабного множителя для полей рождения и уничтожения в любой удобной нам форме.) Плотность гамильтониана H (x) будет удовлетворять перестановочным соотношениям (5.1.3), если она будет построена из таких полей и им сопряженных, причем будет входить четное число любых компонент полей, унич- тожающих и рождающих фермионы.

Условие (5.1.32) часто называют условием причинности, т. к. если x − y является пространственноподобным интервалом, ни один сигнал из x не может попасть в y, и измерение ψl в точке x не может интерферировать с измерениями ψl′ èëè ψ†l′ в точке y.

Подобные соображения приемлемы для электромагнитного поля, поскольку, как показано в классической работе Бора и Розенфельда2, в данной пространственно-временной точке может быть измерена любая его компонента. Однако нам предстоит иметь дело с полями типа дираковского поля электрона, которые не кажутся

264	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

измеримыми ни в каком смысле. Точка зрения, принимаемая в этой книге, заключается в том, что соотношение (5.1.32) необходимо для лоренц-инвариантности S-матрицы без дополнительных предположений об измеримости или причинности.

Есть еще одно обстоятельство, связанное с построением полей (5.1.31), удовлетворяющих условию (5.1.32). Может оказаться так, что частицы, уничтожаемые и рождаемые полями, обладают ненулевыми значениями одного или болеее сохраняющихся квантовых чисел типа электрического заряда. Например, если частицы типа n обладают значением q(n) электрического заряда Q, то

[Q, a(p, σ, n)] = −q(n)a(p, σ, n),

[Q, a† (p, σ, n)] = +q(n)a† (p, σ, n).

Для того, чтобы H (x) коммутировал с оператором заряда Q (или другими генераторами симметрии), необходимо, чтобы он был построен из полей, имеющих простые коммутационные соотношения с оператором Q:

[Q, ψl (x)] = −qlψl (x).

(5.1.33)

Тогда можно построить H (x), который будет коммутировать с Q,

взяв его как сумму произведений полей ψl1 ψl2 . . . и сопряженных

полей ψ† ψ† . . . , причем

m1 m2

ql1 + ql2 +. . .− qm1 − qm2 −. . . = 0 .

Однако соотношение (5.1.33) выполняется для некоторой конкретной компоненты ψl+ поля уничтожения, если и только если все

типы частиц n, уничтожаемые этим полем, несут один и тот же заряд q(n) = ql; аналогично, оно удовлетворяется для конкретной компоненты ψl− поля рождения, если и только если все сорта частиц n , рождаемые этим полем, несут заряд q(n) = −ql . Ìû

видим, что для того, чтобы такая теория сохраняла квантовые числа типа электрического заряда, необходимо удвоение числа сортов частиц с ненулевыми значениями этих квантовых чисел: если конкретная компонента поля уничтожения уничтожает частицу типа n, то та же компонента поля рождения должна рождать

5.1. Свободные поля	265

частицы сорта n , которые называются античастицами к частицам

типа n и обладают противоположными значениями всех сохраняющихся квантовых чисел. В этом заключается обоснование существования античастиц.

Если представление D(Λ) приводимо, можно использовать базис для полей, в котором D(Λ) разбивается на блоки вдоль

главной диагонали, причем поля, принадлежащие разным блокам, не переходят друг в друга при преобразованиях Лоренца. К тому же преобразования Лоренца не влияют на тип частиц. Поэтому вместо рассмотрения одного большого поля, содержащего много неприводимых компонент и много типов частиц, можно с этого момента ограничиться рассмотрением полей, которые уничтожают только один определенный тип частиц (при этом индекс n будем опускать) и рождают только соответствующие античастицы. Такие поля преобразуются по неприводимому представлению группы Лоренца (как отмечалось выше, это представление может как включать, так и не включать пространственное отражение). Следует понимать, что в общем случае нужно рассматривать много разных полей такого типа, причем некоторые из них могут быть образованы из производных других полей. В последующих разделах мы собираемся завершить определение коэффициентов ul(p,σ) è vl(p,σ), зафиксировать относительные значения констант κ è λ и вывести соотноше-

ния, связывающие свойства частиц и античастиц, проделав это последовательно для полей, принадлежащих простейшим неприводимым представлениям группы Лоренца — скалярному, векторному и дираковскому спинорному. После этого мы повторим анализ для совершенно произвольного неприводимого представления.

Сделаем замечание по поводу уравнений поля. Как следует из формул (5.1.31), (5.1.17) и (5.1.18), все компоненты поля данной массы m удовлетворяют уравнению Клейна–Гордона:

(9 − m2 )ψl (x) = 0.

(5.1.34)

Некоторые поля удовлетворяют одновременно и другим уравнениям поля, в зависимости от того, превышает или нет число компонент поля число независимых состояний частицы. Традиционно в квантовой теории поля сначала рассматривают полевые уравнения или тот лагранжиан, из которого они могут быть получены, а затем выводят разложение полей по одночастичным операторам уничтожения

266	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

и рождения. В излагаемом ниже подходе мы начинаем с частиц и выводим вид полей, исходя из требований лоренц-инвариантности. При этом уравнения поля возникают почти случайно как побочный продукт такого построения.

* * *

Следует отметить одно техническое обстоятельство. Согласно теореме, доказанной в разделе 4.4, условие, гарантирующее, что теория будет удовлетворять принципу кластерного разложения, заключается в том, что взаимодействие можно представить в виде суммы произведений операторов рождения и уничтожения, расположенных так, что все операторы рождения находятся левее всех операторов уничтожения. При этом коэффициенты разложения содержат только одну дельта-функцию закона сохранения импульса. Поэтому взаимодействие должно быть записано в «нормальной» форме

V = z d3x: F (ψ(x), ψ† (x)) :,

(5. 1. 35)

где двоеточия означают, что выражение между ними должно быть переписано так, чтобы все операторы рождения стояли левее операторов уничтожения (игнорируя при этой перестановке все ненулевые коммутаторы или антикоммутаторы, но учитывая знаки минус от перестановки фермионных операторов). С помощью соотношений коммутации или антикоммутации полей всякая такая нормально упорядоченная функция полей может быть записана и как сумма обычных произведений полей с с−числовыми коэффици-

ентами. После такого переписывания :F : становится очевидным, что несмотря на нормальное упорядочивание, :F(ψ(x),ψ†(x)): будет коммутировать с :F(ψ(y),ψ†(y)): при пространственноподобных x – y,

если эти функции построены из полей, удовлетворяющих (5.1.32), и содержат четное число любых фермионных операторов.

5.2. Причинные скалярные поля

Рассмотрим сначала однокомпонентные поля уничтожения и рождения ϕ+(x) è ϕ–(x), преобразующиеся по простейшему из

5.2. Причинные скалярные поля	267

возможных скалярному представлению группы Лоренца с D(Λ) = 1.

Если ограничиться вращениями, то такое представление будет скалярным представлением группы вращений с J = 0, так что уравнения (5.1.25) и (5.1.26) не имеют других решений, кроме j = 0, в этом случае σ, `σ могут принимать только нулевые значения.

Таким образом, скалярное поле может описывать только частицы с нулевым спином. Предполагая на время, что поле описывает лишь один сорт частиц, не имеющих отличных от самих себя античастиц, и опуская индекс сорта n, спиновый индекс σ и индекс поля l, находим, что величины ul(0,σ,n) è vl(0,σ,n) равны числам u(0) и v(0).

Общепринято подбирать общий масштаб полей уничтожения и рождения так, чтобы обе эти константы имели значение (2m)–1/2. Тогда из формул (5.1.21) и (5.1.22) находим:

u(p) = (2p0 )−1/2 ,	(5.2.1)
v(p) = (2p0 )−1/2 .	(5.2.2)
Отсюда в скалярном случае поля (5.1.17) и (5.1.18) равны
ϕ+ (x) = z d3p(2π)-3/2 (2p0 )-1/2 a(p)eip×x ,	(5.2.3)
ϕ- (x) = z d3p(2π)-3/2 (2p0 )-1/2 a† (p)e-ip×x = ϕ+† (x).	(5.2.4)

Гамильтониан H (x), построенный как полином по полям ϕ+(x) è ϕ–(x), будет автоматически удовлетворять требованию (5.1.9), т. е.

будет скаляром. Остается удовлетворить другому условию лоренцинвариантности S-матрицы — коммутации H (x) и H (y), взятых в точках, разделенных пространственноподобным расстоянием x − y. Если бы H (x) был полиномом только по ϕ+(x), то не возника-

ло бы никаких трудностей. Все операторы уничтожения либо коммутируют, либо антикоммутируют, так что ϕ+(x) коммутирует или антикоммутриует с ϕ+(y) для всех x и y, в соответствии с тем,

является ли частица бозоном или фермионом:

[ϕ+ (x), ϕ+ (y)]m = 0.

(5.2.5)

Поэтому любой оператор H (x), являющийся полиномом по ϕ+(x)

(для фермионов он должен быть четным), будет коммутировать

268	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

ñH (y) при всех x и y. Проблема, конечно, в том, что H (x) должен быть эрмитовым, а для этого должен содержать наряду с j+(x) è ïîëå j+†(x) = j–(x). Íî j+(x) не коммутирует или антикоммутирует

ñj–(y) в точках, разделенных пространственноподобным расстоя-

нием. Используя соотношения коммутации (для бозонов) или антикоммутации (для фермионов) (4.2.5), находим:

[j+ (x), j- (y)]m	X	d3pd3p¢			eip×xe	-ip¢×yd3	(p - p¢) ,
	= Y
			×	2p¢0 )1/2
	Z (2p)3 (2p0
что сводится к одному интегралу
	[ϕ+ (x), ϕ− (y)]m			= + (x − y),			(5.2.6)
ãäå D+ — стандартная функция

1 D+ (x) º (2p)3

X Y Z

d3p		e	ip×x	.	(5.2.7)
2p	0

Эта функция явно лоренц-инвариантна, поэтому при пространственноподобных x она может зависеть только от инварианта x2 > 0. Можно вычислить D+(x) для пространственноподобных x, выбрав

систему координат так, чтобы

x0 = 0, | x| = x2 .

Тогда выражение (5.2.7) можно представить в виде

X

4p

X∞

D

(x) =

1

d3p

eip×x =

p2dp

sin(p x2 )

+

Y

Y

.

3

3

(2p)

Z 2 p2

+ m2

(2p)

Y

p x2

Z 2 p2 + m2

0

Заменяя переменную интегрирования на u º p/m, находим

D+ (x) =

m

X∞

udu

sin(m x2 u)

Y

(5.2.8)

4p2

x2 Z0

u2 + 1