Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

5.7. Причинные поля. Общий случай	309

соответственно; такие тензоры называются соответственно «самодуальными» и «антисамодуальными». Естественно, что разделение антисимметричного тензора Fμν с двумя индексами на подобные

«самодуальную» и «антисамодуальную» части возможно только в случае четырех измерений.

Произвольный тензор ранга N преобразуется1 1 как тензорное произведение N 4-векторных представлений ( , ). Поэтому путем подходящих симметризации, антисимметризации и вычитания следа можно разложить его на неприводимые части (А, В), где A = N/2, N/2-1,... è B = N/2, N/2-1,... Таким способом можно

построить любое неприводимое представление (А, В), для которого А + В является целым числом. Спинорные представления, у которых А + B — полуцелое, могут быть построены аналогичным образом из тензорных произведений1 тензорных1 представлений и дираковского представления ( , 0) Å (0, 1). 1 Например, тензорное

произведение1 векторного1 представления ( , ) и дираковского представления ( , 0) Å (0, ) дает спин-вектор yμ, преобразующийся по

приводимому представлению

( , ) Ä [( ,0) Å (0, )] = ( ,1) Å ( ,0) Å (1, ) Å (0, ).

Величина gμyμ преобразуется как обычное дираковское1 1 ïîëå (1, 0) Å (0, 1), так что можно выделить представление * ( , 1) Å (1, ), потребовав выполнения условия gμyμ = 0. Это поле Рариты−Швингера 9.

До сих пор в этом разделе мы рассматривали только представления собственной ортохронной группы Лоренца. В любом представлении группы Лоренца, включающей пространственную инверсию, должна существовать матрица b, изменяющая знаки тензоров с

нечетным количеством пространственных индексов. В частности

b J b−1 = + J , bK b−1 = -K .

(5.6.19)

* Согласно (5.6.18), такое поле преобразуется под действием обычных вращений как прямая сумма двух компонент с j = 3/2 и двух компонент с j = 1/2. Удвоение компонент устраняется требованием, чтобы выполнялось уравнение Дирака [γν∂ν + m]ψμ = 0, а оставшаяся компонента с j = 1/2 устраняется наложением условия ∂μψμ = 0. При таких условиях поле описывает

одну частицу со спином j = 3/2.

310	Глава 5.	Квантовые поля и античастицы
Записывая это равенство через матрицы (5.6.7) и (5.6.8), имеем
	βÀ β−1 = B,	βBβ−1 = À .	(5.6.20)

Таким образом, неприводимое представление (А,В) собственной ортохронной однородной группы Лоренца является представлением группы Лоренца, включающей пространственную инверсию, только в случае А = В. Как мы видели, такие представления (А, А) являются скалярами, векторами и симметричными тензорами со следом нуль. При А ¹ В неприводимые представления группы Лоренца, включаю-

щей пространственную инверсию, являются прямыми суммами (А, В) Å (В, А) с размерностью12(2À+1)(21В+1). Одним из них является дираковское представление ( , 0) Å (0, ), обсуждавшееся в разделе (5.4). Для этого представления матрицей b является 4 ´ 4 матрица (5.4.29). Другой знакомый пример — представление (1, 0) Å (0, 1),

которое, как мы видели, есть антисимметричный тензор второго ранга, содержащий как самодуальную, так и антисамодуальную части.

5.7. Причинные поля. Общий случай *

Попытаемся построить причинные поля, преобразующиеся по описанному в предыдущем разделе общему неприводимому представлению (А,В) группы Лоренца. Индекс l заменен ниже парой индексов a, b, принимающих значения в интервале (5.6.12), (5.6.13), так что поля можно записать в виде

yab(x) = (2p)-3/2 åz d3p		ka(p, s)eip×xuab(p, s)
s
+λac†(p, σ)e-ip×xv			(p, σ)		(5.7.1)
				,
		ab

ãäå k è l - произвольные константы. Мы оставляем открытой

возможность, что такая частица совпадает со своей античастицей и ac(p,s) = a(p,s).

* Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения и может быть опущен при первом чтении.

5.7. Причинные поля. Общий случай	311

Первоочередной задачей является нахождение коэффициентных функций с нулевым импульсом uab(0,s) è vab(0,s). Основополагающие условия (5.1.25)-(5.1.26), которым подчиняются u(0,s) è v(0,s), принимают вид:

å u

(0, s)J(σjσ)

= å J

,abuab(0, s),

ab

ab

σ

a,b

-åv

(0, s)J(σjσ)* = å J

,abvab(0, s),

ab

ab

σ

a,b

или, после использования соотношений (5.6.14)-(5.6.15),

å u

(0, s)J(σjσ)

= åJ

(aaA)uab

(0, s) + åJ

(bbB)u

ab(0, s),

ab

σ

a

b

-åv

(0, s)J(σjσ)* = åJ

(aaA)vab

(0, s) + åJ

(bbB)v

ab(0, s).

ab

σ

a

b

(5.7.2)

(5.7.3)

Но соотношение (5.7.2) есть не что иное, как условие, определяющее коэффициенты Клебша-Гордана CAB(js;ab)! Действительно, эти коэффициенты определены требованием, что если Yab — состояния,

преобразующиеся при бесконечно малых вращениях по правилу

dYab = iåθ × J(aaA) Yab + iåθ × J(bbB) Yab ,

a b

то под действием тех же вращений состояние

Yjσ º åCAB (js; ab)Yab ab

преобразуется по правилу

dYj σ = iåθ × J(σjσ) Yj σ .

σ

Рассмотрение формулы (5.7.2) показывает, что коэффициенты uab(0,s) удовлетворяют этому требованию, и поэтому uab(0,s) равны

312	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

CAB(jσ;ab) c точностью до возможного коэффициента пропорцио-

нальности. Принято выбирать эту константу так, что

u	ab	(0, σ) = (2m)−1/2 C	AB	(jσ; ab) .	(5.7.4)

Этот результат единственен, поскольку каждое неприводимое представление (А,В) однородной группы Лоренца содержит данное представление группы вращений со спином j не более одного раза. Аналогично, изучение формул (5.6.16)−(5.6.17) показывает, что ком-

плексно сопряженные матрицы углового момента равны

−J(σσj)*′ = (−1)σ −σ′ J(−jσ) ,−σ′ .

(5.7.5)

Таким образом, если записать формулу (5.7.3) через (−1)j−σvab(0,−σ),

она примет тот же вид, что и формула (5.7.2). После подбора постоянного множителя единственное решение для v(0,σ) принима-

åò âèä

v	ab	(0,	σ) = (−1)j + σ u	ab	(0,−σ).	(5.7.6)

Чтобы вычислить коэффициентные функции при конечном импульсе, следует совершить преобразование буста. Для заданного

$

≡

направления p

p/| p|

буст (2.5.24) можно представить как функцию

параметра θ, определенного равенствами

θ =

m

θ =

m

(5.7.7)

ch

p

2

+ m2

/

,

sh

| p|/

и писать Lμν(θ) вместо Lμν(p):

i

θ

= δ

ik

+

(ch

θ −

$ $

L k (

)

1)pipk ,

i

θ

=

0

θ

= $

θ

(5.7.8)

L

0 ( )

L i

( )

pi sh ,

L00

= ch θ.

Преимущество такой параметризации заключается в том, что

L(

θ

)L(θ) = L(

θ

+ θ) .

(5.7.9)

5.7. Причинные поля. Общий случай								313
μ			μ		μ	i	0	$
В случае бесконечно малых q [L(q)] ν ® d				ν + w		ν, ãäå w 0	= w i = pi q
è wij = w00 = 0. Следуя тем же рассуждениям, которые привели от
формулы (2.2.24) к формуле (2.2.26), получим:
D(L(p)) = exp(-i	$	×	K		q).			(5.7.10)
	p

Это верно для любого представления однородной группы Лоренца. Для неприводимых представлений (А,В) из формул (5.6.7) и (5.6.8) следует, что

iK = A − B,

(5.7.11)

à òàê êàê À è Â -коммутирующие матрицы, то

$	À	$	B	q).
D(L(p)) = exp(-p ×		q) exp(+p ×			(5.7.12)

Подробнее, используя (5.6.14) и (5.6.15), имеем:

$	(A)	q)h		$	(B)	q)h	.	(5.7.13)
D(L(p))a′b′,ab = cexp(-p × J			a′a	cexp(+p × J
							b′b

Тогда из формул (5.7.4) и (5.7.6) следует, что коэффициентные функции при конечном импульсе равны

		1	$			(A)	$	(B)
uab (p, s) =					åcexp(-p × J		q)ha′a cexp(+p × J		q)hb′bCAB	(js; a¢b¢) ,
		2p	0
					a′b′					(5.7.14)
					vab (p, s) = (-1)j + σ uab (p,-s).					(5.7.15)

Эти формулы дают явные выражения для поля при заданном типе преобразования (А,В), так что поле (5.1.31) этого типа единственно с точностью до выбора постоянных множителей k è l.

В рамках такого формализма очень легко построить плотности гамильтониана взаимодействия, являющиеся лоренцовскими скалярами. Представление (А,В) однородной группы лоренца есть прямое произведение представлений (А,0) и (0,В), так что общие формулы преобразований Лоренца (5.1.6) и (5.1.7) принимают вид

U0 (L)yab(x)U0−1(L) = å DaA,0a′ (L−1)Db0,Bb′ (L−1)ya′b′ (Lx). (5.7.16)

a′b′

314	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

Далее, из формул (5.6.14) и (5.6.15) следует, что матричные генераторы представлений (А,0) и (0,В) являются просто спиновыми матрицами для спинов А и В, соответственно. Таким образом, можно построить скаляры вида

å å	(1)	(2)	(n)	(x).
	ga1a2 ...an ,b1b2 ...bn ψa1b1	(x)ψa2b2	(x). . . ψanbn		(5.7.17)

a1a2 ...an b1b2 ...bn

âçÿâ ga1a2 ...an ,b1b2 ...bn как произведение коэффициентов объединения

спинов А1, À2,..., Àn в скаляр и спинов В1, Â2, ... , Ân − в другой

скаляр. (Хотя мы и не рассматриваем явно взаимодействия, содержащие производные, подобным способом можно построить наиболее общее взаимодействие n полей, так как производная поля типа (А,В) всегда может быть разложена на поля других типов без производных.) Например, самый общий лоренцовский скаляр, построенный из произведения трех полей, преобразующихся по представлениям (А1,Â1), (À2,Â2) è (À3,Â3), имеет вид

g å å	F A1	A2	A3 I F B1	B2	B3 I	(1)	(2)	(3)
	G	a2	J G	b2	J	ψa1b1	ψa2b2	ψa3b3 (5.7.18)
a1a2a3 b1b2b3	H a1		a3 K H b1		b3 K

и содержит единственный свободный параметр g. Это самое общее трехполевое взаимодействие. (Скобки в (5.7.18) обозначают 3j−ñèì-

волы Вигнера 10:

F	j1	j2	j3 I	′	, m1m2 )Cj3j3	′
G			J
		m2		≡ åCj1j2 (j3m3		(00, m3m3 ),
H m1			m3 K	m′
				3

которые определяют связь трех спинов, образующую скаляр по отношению к вращениям.)

Для того, чтобы S-матрица была лоренц−инвариантной, недоста-

точно, чтобы плотность гамильтониана взаимодействия H(x) была скаляром типа (5.7.18). Другим необходимым условием является то, что H(x) должна коммутировать с H(y) на пространственноподобных расстояниях x − y. Чтобы увидеть, как можно удовлетво-

рить такому условию, рассмотрим коммутатор или антикоммутатор двух полей частиц одного сорта: поле ψ типа (А,В) и сопряженное поле ψ~ † ê ïîëþ ψ~ òèïà (A~, B~) . Находим:

5.7. Причинные поля. Общий случай

315

yab

~

=

(2p)

-3/2

z

d

3

p(2p

0

)

-1

p

~~ (p)

(x), y~~ (y)

ab

m

ip×(x- y)

-ip×(x- y)

ab,ab

´

kk

e

m ll e

,

(5.7.19)

~*

~*

ãäå p(p) — сумма по спинам:

(2p

0

)

−1

p

~~ (p) º

å

u

~*

å

v

~*

ab

(p, s)u~~ (p, s) =

ab

(p, s)v~~ (p, s),

(5.7.20)

ab,ab

ab

ab

s

s

и, как обычно, верхние и нижние знаки отвечают, соответственно, бозонам и фермионам. (Мы допускаем другие коэффициенты κ~ è l~ â ïîëå ψ~ .) Более подробно:

p	~~ (p) =	å åå		C		~ ~	¢)
					AB	(js; a¢b¢)C~ ~ (js; a¢b
	ab,ab					AB
		~ ~	¢ s
		a¢b¢ a¢b

´ dexpc-p

× J

qhi dexpcp

× J

qhi

$

(A)

aa¢

$

(B)

bb¢

(5.7.21)

´ dexpc-p × J

*

dexpcp × J

*

(A)

qhi~~

(B)

qhi~~ .

$

aa¢

$

bb¢

Функция p(p) была вычислена явно. 11 Нам важно сейчас, что она

оказывается равной значению на массовой оболочке некоторой

полиномиальной функции P от p и р0:

p	~~ (p) = P		~~	p,	p2 + m2 ,	(5.7.22)
	ab,ab	ab,ab e			j

и эта функция Р четна или нечетна в зависимости от того, четно

или нечетно целое число + ~ :

2A 2B

~	(5.7.23)
P(-p,-p0 ) = (-)2A+2B P(p, p0 ).

Проверим здесь это равенство лишь для одного конкретного направления вектора р. Выбирая p вдоль третьей оси, имеем из (5.7.21)

π	~~ (p) =	å	C	AB
	ab,ab
		s

(jσ; ab)C~ ~

AB

~~	~	~	]θi.
(jσ; ab) expd[−a + b − a		+ b

y можно выбрать = y0, и записать

316	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

Коэффициенты Клебша-Гордана отличны от нуля только при зна-

чениях s = a + b è s = ~ + ~, так что можно сделать замену a b

~

~

~

~

-a + b - a

+ b = -2a + s + 2b - s = 2b - 2a.

Выражение exp(±q) можно записать как (р0 ± ð3)/m, òàê ÷òî

p

~~(p) =

å

~~

CAB(js; ab)C~ ~ (js; ab)

ab,ab

AB

σ

R

~

−2a

~

(p0 + p3) / m

2b

³ a)

´

|

(b

S

~

−2a

~

,

|

(p0 + p3) / m

2b

(a ³ b, )

T

ãäå p0 º

. Видим, что p(р) действительно можно записать

p2 + m2

как значение полинома P(p,p0) на массовой оболочке. Кроме того,

~

~

+ 2A

минус четное целое число, так что полином

2b − 2a равно

2B

удовлетворяет условию отражения (5.7.23).

Всякий полином по p и (p2 + m2 )1/2 можно записать в виде,

линейном

ïî

(p2 + m2 )1/2

(выразив четные

степени

(p2 + m2 )1/2

через р), так что p(p) можно записать в виде

p

~~ (p)

=

P

~~ (p) + 2 p2

+ m2 Q

~~ (p),

(5.7.24)

ab,ab

ab,ab

ab,ab

где теперь P и Q - полиномы только по р, причем

~

(5.7.25)

P(-p) = (-)2A+2BP(p),

~

(5.7.26)

Q(-p) = -(-)2A+2BQ(p).

Для пространственноподобных промежутков x −

лоренцовскую систему отсчета, в которой x0 (5.7.19) в следующем виде:

†	= [kk	m (-)		+ ~	~	]P ~~ (-iÑ)D+ (x - y,0)
[yab(x), y~~ (y)]m			2A	2B	ll
	~*				*
ab						ab,ab
	+ [kk	± (-)		~	~	]Q ~~ (-iÑ)d		(x - y).
			2A	+2B	ll		3
	~*				*

ab,ab

5.7. Причинные поля. Общий случай	317

Чтобы это выражение обращалось в нуль при x¹ y, должно выпол-

няться равенство

~*		~	~
	= ±(-1)	2A+2B	*		(5.7.27)
kk			ll .
Рассмотрим частный случай одинаковых y è				ψ , òàê ÷òî	~
					A = A
				~

è = ~ . (Подобные коммутаторы или антикоммутаторы неизбежно

B B

появляются в [H(x),H(y)], т. к. из эрмитовости гамильтониана вытекает, что если H(x) содержит y, он обязательно содержит и y†.)

В этом случае из (5.7.27) следует, что

| κ|2 = ±(−)2A+2B| λ|2 .

Такое возможно тогда и только тогда, когда
±(−1)2A+2B = +1,	(5.7.28)
| κ|2 = | λ|2 .	(5.7.29)

Конечно, 2А + 2В отличается от 2j на четное целое число, так что из (5.7.28) следует утверждение: рассматриваемая частица является бозоном или фермионом в зависимости от того, четно или нечетно число 2j. Этим устанавливается общая связь между спином и статистикой.12 Мы видели, как выполняется эта связь на частных примерах частиц, описываемых скалярными, дираковскими и векторными полями.

Вернемся к общему случаю разных полей y è ψ . Äåëÿ îáå
		~				~
~	2		2	, получаем:
части (5.7.27) на | k|		= | l|
				κ	~
				~	= (-1)2B+2B c k,
				k
Отсюда вытекает, что для любого поля
					λ = (−1)2B cκ,	(5.7.30)

где с — один и тот же множитель для всех полей данной частицы. Далее, из (5.7.29) следует, что с есть просто фазовый множитель, |c| = 1. Поэтому можно устранить с для всех полей, переопределив

318	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

относительную фазу операторов a(p,σ) è ac†(p,σ) так, чтобы с = 1, откуда λ = (−)2Bκ. Наконец, множитель κ для каждого типа поля

можно устранить переопределением общего масштаба поля. Таким образом, приходим к формуле для преобразующегося по представлению (А,В) поля данной частицы, которое единственно с точностью до общего масштабного фактора:

ψab (x) = (2π)-3/2 å z d3p[uab (p, σ)a(p, σ)eip×x
	s		(5.7.31)
+	(−)2B v	ab	(p, σ)ac† (p,−σ)e-ip×x ] .

Для данной частицы разные поля реально не отвечают физически различимым возможностям. Например, для j = 0 возможными являются поля типа (А, А) (поскольку из неравенства треугольника |A − B| ≤ j ≤ A + B в данном случае следует А = В). Начав со скалярного (0,0) поля ϕ, можно без труда построить поля (А, А)

с помощью 2А-ой производной:

{∂m1 . . . ∂m2 A }ϕ,

(5.7.32)

здесь фигурные скобки {} обозначают бесследовую часть, например,

{∂m∂n } ≡	∂2	−	1	ηmn9.
	∂xm∂xn		4

(Напомним, что бесследовый симметричный тензор ранга N преобразуется по представлению (N/2,N/2).) Однако формула (5.7.31) представляет единственное причинное поле (А,В) для частицы данного спина j, так что для j = 0 поля (А,А) (5.7.31) могут быть только линейными комбинациями 2А-ых производных (5.7.32) скалярного поля.

В более общей формулировке любое поле (А,В) для данной частицы со спином j может быть представлено как дифференциальный оператор ранга 2В, действующий на поле ϕσ(x) òèïà (j, 0) (èëè

дифференциальный оператор ранга 2А, действующий на поле (0, j))13. Чтобы увидеть это, рассмотрим поле

{∂m1 . . . ∂m2 B } ϕs .

(5.7 33)