Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

4.4. Структура взаимодействия

249

в силу высказанного предположения верно и для оператора взаимодействия V. Возвращаясь к использованной выше графической интерпретации матричных элементов, это означает, что каждая вершина вносит одну трехмерную дельта-функцию. (Другие дель- та-функции в матричных элементах Vγδ просто сохраняют неизмен-

ным импульс любой частицы, не рождающейся и не уничтожающейся в соответствюущей вершине.) Далее, наличие большей части этих дельта-функций сводится к фиксации импульсов промежуточ- ных частиц. Единственные импульсы, остающиеся незафиксированными этими дельта-функциями, — это импульсы в петлях из внутренних линий. (Всякая линия, разрезание которой оставляет диаграмму несвязной, несет импульс, который фиксирован законом сохранения как некоторая линейная комбинация импульсов линий, входящих или выходящих из диаграммы. Если у диаграммы L линий, которые можно одновременно разрезать, и при этом сама диаграмма не становится несвязной, то говорят, что в диаграмме содержится L независимых петель и, соответственно, имеется L импульсов, не зафиксированных законом сохранения.) В диаграмме с V вершинами, I внутренними линиями и L петлями имеется V дельта-функций, из которых I − L требуются для фиксации внутренних импульсов, а остающиеся V − I + L дельта-функций связы-

вают импульсы входящих и выходящих частиц. Однако хорошо известное топологическое тождество * утверждает, что для любой диаграммы, состоящей из С связных кусков, число вершин, внутренних линий и петель связано соотношением

V − I + L = C.

(4.4.7)

Отсюда в связном матричном элементе типа SβαC , возникающим от

диаграмм с С = 1, содержится только одна трехмерная дельтафункция δ3(pβ − pα), что и требовалось доказать.

* У диаграммы, состоящей из одной вершины, V = 1, L = 0 и С = 1. Если добавить V - 1 вершину с ровно таким количеством внутренних линий, чтобы диаграмма осталась связной, то I = V - 1, L = 0 и С = 1. Все добавочные

внутренние линии, проведенные (без появления новых вершин) в той же связной диаграмме, дают равное количество петель, так что I = V + L - 1 è Ñ = 1.

Если несвязная диаграмма состоит из С таких связных частей, то суммы I, V и L от каждой связной части будут удовлетворять равенству åI = åV + åL - C.

250		Глава 4. Принцип кластерного разложения

В приведенном рассуждении было несущественно, что производится интегрирование по временным переменным от −∞ äî ∞.

Таким образом, можно использовать те же аргументы, чтобы показать, что, если коэффициенты hN,M в гамильтониане содержать ровно одну дельта-функцию, то U(t,t0) также можно разложить на связные части, в каждой из которых будет содержаться одна дельта-функция, выражающая закон сохранения импульса.

С другой стороны, связная часть S−матрицы содержит также

дельта-функцию, отвечающую сохранению энергии. Когда в гл. 6 мы подойдем к диаграммам Фейнмана, будет видно, что SÑβα

содержит лишь одну дельта-функцию закона сохранения энергии δ(Eβ − Eα), в то время, как U(t,t0) вообще не содержит дельта-

функций, отражающих закон сохранения энергии.

Следует подчеркнуть, что требование, чтобы hNM в (4.4.1) содержало лишь одну дельта-функцию, отражающую закон сохранения трехмерного импульса, весьма нетривиально и приводит к далеко идущим выводам.

Например, предположим, что V имеет неисчезающие матрич- ные элементы между двухчастичными состояниями. Тогда в формуле (4.4.1) должно содержаться слагаемое с N = M = 2 и коэффициентом

′ ′	, p1p2 ) = Vp′p′		, p p	.	(4.4.8)
v2,2 (p1p2
	1	2	1	2

(Мы временно опустили индексы спинов и сортов частиц). Но тогда матричный элемент взаимодействия между трехчастичными состояниями равен

Vp′p′ p′			, p p		p			′	′	′	, p1p2p3 )
						3	= v3,3 (p1p2p3
1	2	3	1	2							(4.4.9)
				′		′			′
+ v2,2 (p1p2							, p1p2 )δ		(p3	− p3 ) ± перестановки.

В начале главы отмечалось, что можно попытаться построить релятивистскую квантовую теорию, не являющуюся теорией поля, выбрав v2,2 так, чтобы двухчастичная S−матрица была

лоренц-инвариантной, и подобрав оставшийся гамильтониан так, чтобы в состояниях с тремя или более частицами не было рассеяния. Поэтому следует выбрать v3,3 так, чтобы сократить другие слагаемые в (4.4.9):

4.4. Структура взаимодействия					251
′ ′ ′	′ ′	, p1p2 )δ	3	′	− p3 ) m перестановки.
v3,3 (p1p2p3	, p1p2p3 ) = −v2,2 (p1p2			(p3
					(4.4.10)

Однако это означало бы, что каждое слагаемое в v3,3 содержит два дельта-функционных множителя (напомним, что v2,2(p′1p′2,p1p1) уже содержит множитель δ3(p′1 + p′2 − p1 − p2)), что нарушает принцип

кластерного разложения. Итак, в теории, удовлетворяющей этому принципу, существование процессов рассеяния с участием двух частиц делает неизбежным существование процессов рассеяния с участием трех и более частиц.

* * *

Обращаясь к решению задач трех тел в квантовых теориях, удовлетворяющих принципу кластерного разложения, следует заметить, что слагаемое v3,3 в формуле (4.4.9) не причиняет особого беспокойства, но дополнительные дельта-функции в других слагаемых осложняют непосредственное решение уравнения Липпмана−

Швингера. Проблема заключается в том, что появление дель- та-функций делает ядро [Eα − Eβ + iε]−1Vβα этого уравнения

квадратично неинтегрируемым, даже если исключить все дельтафункции, отражающие общий закон сохранения импульса. Как следствие, ядро нельзя аппроксимировать конечной матрицей даже очень большого ранга. Чтобы решить задачу взаимодействия трех или более частиц, необходимо заменить уравнение Липпмана−

Швингера таким уравнением, которое содержало бы связную правую часть. Подобные уравнения для рассеяния трех или более частиц были построены 8,9, и их удалось рекурсивно решить для ряда задач нерелятивистской теории рассеяния, но эти уравнения оказались мало пригодными в релятивистских теориях. Поэтому мы их здесь не будем рассматривать.

Такая переформулировка уравнения Липпмана−Швингера ока-

зывается полезной в другом отношении. Наши рассуждения в этом разделе основывались на теории возмущений. Мне неизвестно ка- кое-либо непертурбативное доказательство основной теоремы этого раздела. Однако было показано 9, что переформулированные непертурбативные динамические уравнения совместимы с требованием, что UC(t,t0) (а следовательно и SC) должны содержать требуемую

252		Глава 4. Принцип кластерного разложения

принципом кластерного разложения единственную дельта-функ- цию закона сохранения импульса, если только гамильтониан удовлетворяет условию, что каждая коэффициентная функция hN,M тоже содержит лишь одну такую дельта-функцию.

Задачи

1. Определим производящие функционалы для S-матрицы и ее связной части:

∞

∞

1

F[v] ≡ 1 +

å å

1

N

1

M

N=1 M=1 N! M! z

v* (q′). . .v* (q′

)v(q

). . . v(q

)

× S

...q′ ,q

...q

dq′ . . . dq′

dq

1

. . . dq

M

,

q′

M

1

N

1

N

1

∞

∞

1

C

*

′

*

′

F

[v] ≡ 1 + å å N ! M ! z v

(q1). . .v

(qN )v(q1). . . v(qM )

N=1M=1

C

...q′

,q

...q

′

′

× Sq

′

dq1

. . . dqNdq1 . . . dqM .

1

N

1

M

Выведите формулу, связывающую F[v] и FC[v]. (Можно рассмотреть чисто бозонный случай.)

2. Рассмотрим взаимодействие

V = gz d3p1d3p2d3p3d3p4δ3 (p1 + p2 − p3 − p4 )

× a†(p1)a†(p2 )a(p3 )a(p4 ),

ãäå g − действительная константа, а a(p) − оператор уничтоже-

ния бесспинового бозона массой M > 0. С помощью теории возмущений найдите матричный элемент S-матрицы для рассеяния этих частиц в с. ц. и. в порядке g2. Чему равно соответствующее дифференциальное сечение?

3. Когерентное состояние Φλ определяется как собственное со-

стояние операторов уничтожения a(q) с собственными значе- ниями λ(q). Постройте такие состояния как суперпозицию многочастичных состояний Φq1q2 ...qN .

Список литературы

253

Список литературы

1. Принцип кластерного разложения в квантовой теории поля, по-видимому, впервые был явно высказан в работе: Wichmann, E.H. and Crichton, J.H., Phys. Rev., 132, 2788 (1963).

2. См., например: Bakamijan, B. and Thomas, L.H., Phys. Rev., 92, 1300 (1953).

3. Ссылки можно найти в работе: Lee, T.D. and Yang, C.N., Phys. Rev., 113, 1165 (1959).

4. Goldstone, G., Proc. Roy. Soc. London, A239, 267 (1957).

5. Hugenholtz, N.M., Physica, 23, 481 (1957).

6. См., например: Kubo, R., J. Math. Phys., 4, 174 (1963).

7. Titchmarsh, E.C., Introduction to the Theory of Fourier Integrals

(Oxford University Press, Oxford, 1937), Section 1.8.

8. Faddeev, L.D., Zh. Eksper. i Teor. Fiz., 39, 1459 (1961); Dokl. Akad. Nauk SSSR, 138, 565 (1961); 145, 30 (1962).

9. Weinberg, S., Phys. Rev., 133, B232 (1964).

5

Квантовые поля и античастицы

Теперь у нас есть все необходимое, чтобы обосновать введение квантовых полей.1 В процессе этого построения мы увидим наиболее примечательные и универсальные следствия союза теории относительности с квантовой механикой: связь спина и статистики, существование античастиц, различные соотношения между частицами и античастицами, включая знаменитую СРТ-теорему.

5.1.Свободные поля

Âгл. 3 было показано, что если взаимодействие можно записать в виде

V(t) = z d3x H (x, t) ,

(5.1.1)

где H — скаляр в том смысле, что

U0 (L, a)H (x)U0−1(L, a) = H (Lx + a),

(5.1.2)

удовлетворяющий дополнительному условию

H x

H x

= 0 äëÿ

(

x

-

x

¢)

2

³ 0,

(5.1.3)

( ),

( ¢)

то S-матрица оказывается лоренц-инвариантной. Мы увидим далее, что существуют и более общие возможности, но все они мало отличаются от этой. (Оставляем пока что открытым вопрос,

5.1. Свободные поля	255

ограничены ли преобразования Λ собственными ортохронными пре-

образованиями Лоренца, или они могут включать пространственные отражения.) Чтобы легче было удовлетворить принципу кластерного разложения, мы собираемся строить H (x) из операторов рождения и уничтожения. Однако здесь мы сталкиваемся с проблемой. Как следует из формулы (4.2.12), в результате преобразований Лоренца каждый такой оператор умножается на матрицу, зависящую от того импульса, который несет этот оператор. Как нужно объединять такие операторы, чтобы получить скаляр? Решение заключается в том, чтобы строить H (x) из полей уничтожения ψl+ (x) и рождения ψl− (x):

ψl+ (x) = åz d3p ul (x; p, σ, n) a(p, σ, n),	(5.1.4)
σn
ψl− (x) = å z d3p vl (x; p, σ, n) a† (p, σ, n),	(5.1.5)
σn

с коэффициентами * ul(x; p,σ,n) è vl(x; p,σ,n), выбранными так,

чтобы под действием лоренцовских преобразований каждое поле умножалось бы на матрицу, не зависящую от координат:

U0	(Λ, a)ψl+ (x)U0−1(Λ, a) = å Dll (Λ−1)ψl+ (Λx + a),	(5.1.6)
	l
U0	(Λ, a)ψl− (x)U0−1(Λ, a) = å Dll (Λ−1)ψl− (Λx + a).	(5.1.7)
	l

(В принципе, можно было бы написать для полей уничтожения и рождения разные матрицы D±, однако мы увидим, что всегда

можно выбрать поля так, что эти матрицы будут одинаковыми.) Применяя вторично преобразование Лоренца`Λ, получаем

D(Λ−1)D(Λ−1) = D((ΛΛ)−1),

так что, обозначив Λ1 = (Λ)–1 è Λ2 = (`Λ)–1, видим, что D-матрицы

реализуют представление однородной группы Лоренца:

* Напомним, что индексы n и σ нумеруют соответственно типы частиц и z-компоненты их спинов.

256	Глава 5. Квантовые поля и античастицы
	D(Λ1)D(Λ2 ) = D(Λ1Λ2 ).	(5.1.8)

Существует много таких представлений, в том числе, скаляр D(Λ) = 1, вектор D(Λ)μν = Λμν и уйма тензорных и спинорных представлений. Все

они неприводимы в том смысле, что с помощью выбора базиса невозможно привести все D(Λ) к одной и той же блочно-диагональной

форме с двумя или более блоками. Однако мы пока что не требуем, чтобы D(Λ) была неприводимой; в общем случае это блочно-диаго-

нальная матрица с произвольным набором неприводимых представлений в каждом блоке. Иными словами, индекс l включает метки, различающие типы описываемых частиц и неприводимые представления в разных блоках, а также индекс, нумерующий компоненты отдельных неприводимых представлений. Ниже мы разделим такие поля на неприводимые, так что каждое поле будет описывать один единственный сорт частиц (и античастиц) и преобразовываться по неприводимому представлению группы Лоренца.

Раз уж мы научились строить поля, удовлетворяющие законам преобразования Лоренца (5.1.6) и (5.1.7), то теперь можно построить и плотность гамильтониана взаимодействия в виде

H (x) =				g ′	′	,l1 ...lM
	å å å l1				...lN
	NM l′	...l′ l	...l	M
	1	N 1						(5.1.9)
× ψl−′ (x). . . ψl−′				(x)ψl+			(x). . . ψl+
								(x)
	1		N		1		M

причем это выражение будет скаляром в смысле (5.1.2), если посто-

янные коэффициенты	gl′	...l′	,l ...l	выбраны лоренц−ковариантными,
ò. å. äëÿ âñåõ Λ	1	N	1	M

å å			D ′ ′ (Λ−1).
			l1l1
′	′	...lM
l1	...lN l1
			× gl′	...l′	,l
			1	N	1

. .	D	′ ′ (Λ−1)D							(Λ−1). . . D		(Λ−1)
	lNlN							l1l1		lMlM
		= g						...l .			(5.1.10)
...lM			l′... l′				,l
			1 N				1		M

В принципе, задача нахождения коэффициентов gl′	...l′	,l ...l	, óäîâ-
1	N	1	M
летворяющих (5.1.10), ничем не отличается (и ничем не сложнее на

практике) от использования коэффициентов Клебша-Гордана для объединения разных неприводимых представлений трехмерной группы вращений в скаляры по отношению к вращениям. Ниже мы

5.1. Свободные поля	257

сумеем объединить поля уничтожения и рождения так, чтобы плотность гамильтониана коммутировала сама с собой в точках, разделенных пространственноподобным интервалом.

Как выбрать коэффициентные функции ul(x; p,s,n) è vl(x; p,s,n)?

Уравнение (4.2.12) и сопряженное ему уравнение определяют законы преобразования * операторов уничтожения и рождения:

U0 (L, b)a(p, s, n)U0−1(L, b) = expai(Lp) × bf(Lp)0 / p0

´ å Dσ(jσn ) cW−1(L, p)ha(pΛ , s, n),	(5.1.11)
σ
U0 (L, b)a†(p, s, n)U0−1(L, b) = expa-i(Lp) × bf
	(Lp)0 / p0
´ å Dσ(jσn )* cW−1(L, p)ha†(pΛ , s, n),	(5.1.12)
σ

ãäå jn — спин частицы типа n, а pΛ — трехмерная компонента 4-вектора Lp. (Чтобы привести (5.1.11) и (5.1.12) к указанному виду, мы использовали условие унитарности матриц вращения Dσ(jσn ) .)

Кроме того, как мы видели в разделе 2.5, элемент объема d3p/p0 лоренц-инвариантен, так что можно заменить d3p в формулах (5.1.4) и (5.1.5) на d3(Lp)p0/(Lp)0. Объединяя все это, находим:

U0 (L, b)yl+ (x)U0−1(L, b) = å z d3 (Lp) ul (x; p, s, n)

σσn

´ expai(Lp) × bfDσ(jσn ) cW−1(L, p)hp0 / (Lp)0 a(pΛ , s, n)

U0 (L, b)yl− (x)U0−1(L, b) = å z d3 (Lp) vl (x; p, s, n)

σσn

´ expa-i(Lp) × bfDσ(jσn )* cW−1(L, p)hp0 / (Lp)0 a†(pΛ , s, n) .

Для того, чтобы поля удовлетворяли законам лоренцовских преобразований (5.1.6) и (5.1.7), необходимо и достаточно, чтобы

*Эти законы приведены для массивных частиц. Случай нулевой массы рассмотрен в разделе 5.9.

258 Глава 5. Квантовые поля и античастицы

å Dll (L−1)ul (Lx + b; pΛ , s, n)

l

=

p0

(Lp)0

å Dσ(jσn ) eW−1(L, p)j expb+i(Lp) × bgul (x; p, s, n) ,

σ

å Dll (L−1)vl (Lx + b; pΛ , s, n)

l

=

p0

(Lp)0

å Dσ(jσn )* eW−1(L, p)j expb-i(Lp) × bgvl (x; p, s, n) ,

σ

или в несколько более удобной форме

å ul (Lx + b; pΛ , s)Dσ(jσn ) aW(L, p)f

σ

å Dll aLf expai(Lp) × bful (x; p, s, n) ,

(5.1.13)

=

p

0

(Lp)

0

l

åvl (Lx + b; pΛ , s)Dσ(jσn )* aW(L, p)f

σ

å Dll aLf expa-i(Lp) × bfvl (x; p, s, n) .

(5.1.14)

=

p

0

(Lp)

0

l

Эти фундаментальные требования позволяют определить коэффициентные функции ul è vl через конечное число свободных параметров.

Мы используем формулы (5.1.13) и (5.1.14) в три этапа, рассматривая по очереди три разных типа собственных ортохронных преобразований Лоренца.

Трансляции

Сначала рассмотрим формулы (5.1.13) и (5.1.14) при L = 1 и произвольном b. Сразу получаем, что ul(x;p,s,n) è vl(x;p,s,n) имеют

следующий вид: