Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

4.3. Кластерное разложение и связные амплитуды

239

формула (4.3.2) не содержит никакой информации. Это есть просто определение SC.

Если каждое из состояний α è β является одночастичным с квантовыми числами q и q′, соответственно, то единственным остающимся в правой части (4.3.2) слагаемым будет SβαC , òàê ÷òî äëÿ

одночастичных состояний

SqC′q ≡ Sq′q = δ(q′ − q).

(4.3.3)

(Если не считать возможных вырождений, пропорциональность Sq′q дельта-функции δ(q − q′) следует из законов сохранения.

Отсутствие в (4.3.3) какого-то коэффициента пропорциональности связано с подходящим выбором относительной фазы «ин» и «аут» состояний.) Мы предполагаем здесь, что одночастичные состояния стабильны, так что переходы между этими состояниями и любыми другими, например, вакуумным, отсутствуют.

Для переходов между двухчастичными состояниями формула (4.3.2) принимает вид

Sq

′q′

,q q

C

,q q

′

′

′

′

− q1). (4.3.4)

2

= Sq′q′

2

+ δ(q1

− q1)δ(q2

− q2 ) ± δ(q1

− q2 )δ(q2

1

2

1

1

2

1

(Здесь

использована

формула

(4.3.3)). Çíàê

«минус» берется

в случае, если обе частицы − фермионы, во всех остальных

случаях берется знак «плюс». Обратим внимание, что слагаемые с двумя дельта-функциями просто добавляются к норме (4.1.6), так что SβαC в этом случае равна (S − 1)βα.

Общий случай более сложен.

Для переходов между трехчастичными состояниями формула (4.3.2) имеет вид:

S	′ q	′	,q q		q	=	SC							q
q′q						3		q′q′ q′ ,q q							3
1	2	3	1	2				1	2		3	1	2
	′					C		,q	q		±	перестановки
+δ(q1			− q1)Sq′ q′							3						(4.3.5)
						2	3	2
′						′						′	− q3 ) ± перестановки ,
δ(q1 − q1)δ(q2							− q2 )δ(q3

В случае же четырехчастичных состояний

240

Глава 4.

Принцип кластерного разложения

S ′

′

q

′

′

,q q

q

q

= SC′

q

′

q

′

′

,q q

q

q

q

q

3

q

4

q

3

q

4

1

2

4

1

2

3

1

2

4

1

2

3

+SC′

′

,q q

SC′

q

′

,q

q

±

перестановки

q

q

2

q

4

4

1

2

1

3

3

+d(q

¢

- q

1

)SC′

′

′

,q2q3q4

±

перестановки

1

q2q3q4

(4.3.6)

d(q¢

- q

)d(q

¢

- q

)SC′ ′

±

1

2

перестановки

1

2

q3q4 ,q3q4

d(q¢

- q

1

)d(q

¢

- q

2

)d(q¢

- q

3

)d(q¢ - q

4

) ±

перестановки .

1

2

3

4

(Учитывая все перестановки, всего получаем 1 + 9 + 6 = 16 слагаемых в (4.3.5) и 1 + 18 + 16 +72 + 24 = 131 слагаемое в (4.3.6). Если отказаться от предположения о стабильности одночастичных состояний, число слагаемых станет еще больше.) Как объяснено выше, определение является рекуррентным: мы используем (4.3.4), определяя SβαC для двухчастичных состояний, затем используем это определение в (4.3.5), где определяются SβαC для трехчастичных

состояний, наконец, используем оба эти определения в (4.3.6), где определяются SβαC в случае четырехчастичных состояний, и т. д.

Суть такого определения связной части S-матрицы заключается

âтом, что принцип кластерного разложения эквивалентен требова-

нию обращения в нуль SβαC , если одна или более частиц в состояниях b è/èëè a находятся на большом расстоянии от других частиц *.

Чтобы увидеть это, предположим, что частицы в состояниях

b è a сгруппированы в кластеры b1, b2, ... è a1, a2, ..., и что все частицы из набора ai + bi находятся на большом расстоянии от всех частиц из набора aj + bj äëÿ âñåõ j ¹ i. Тогда, если SβC'α' обращается

âнуль, когда любые частицы в b¢ è a¢ далеки друг от друга, этот

матричный элемент обращается в нуль, если любые частицы в указанных состояниях принадлежат разным кластерам, так что из определения (4.3.2) следует

S → å (1) (±)SC SC . . .×å (2) (±)SC SC . . .×. . . , (4.3.7)

βα β11α11 β12α12 β21α21 β22α22

* Чтобы придать смысл словам «на большом расстоянии», следует осуществить фурье−преобразование SC, так что каждая метка p трехмерного им-

пульса заменяется трехмерным вектором координаты x.

4.3. Кластерное разложение и связные амплитуды

241

ãäå å(j) - сумма по всем разным способам разбиения кластеров bj è aj на субкластеры bj1, bj2, ... è aj1, aj2, ... Возвращаясь назад к (4.3.2),

видим, что это и есть желаемое свойство факторизации (4.3.1). Например, предположим, что в четырехчастичной реакции

âèäà 1234 ¹ 1¢2¢3¢4¢ частицы 1, 2, 1¢ è 2¢ находятся очень далеко от частиц 3, 4, 3¢ è 4¢. Тогда, если SbaC обращается в нуль, когда любые частицы в b è/èëè a далеки от других частиц, единствен-

ные остающиеся в (4.3.6) слагаемые (в еще более компактных обозначениях) имеют вид:

S ¢ ¢ ¢ ¢ ® SC¢ ¢ SC¢ ¢

1 2 3 4 ,1234 1 2 ,12 3 4 ,34

+ (d ¢ d ¢ ± d ¢ d ¢ )SC¢ ¢

1 1 2 2 1 2 2 1 3 4 ,34

+ (d ¢ d ¢ ± d ¢ d ¢ )SC¢ ¢

3 3 4 4 3 4 4 3 1 2 ,12

+ (d1¢1d2¢2 ± d1¢2d2¢1)(d3¢3d4¢4 ± d3¢4d4¢3 ).

Сравнение с (4.3.4) показывает, что это и есть требуемое свойство факторизации (4.3.1):

S1¢2¢3¢4¢,1234 → S1¢2¢,12S3¢4¢,34 .

Мы сформулировали принцип кластерного разложения в координатном пространстве как условие обращения в нуль SbaC , если любые частицы в состояниях b èëè a находятся далеко от любых

других частиц. Для дальнейшего удобно переформулировать это в импульсном пространстве. Пространственные матричные элементы определены как фурье-образы

SC

...,x x

...

º

z

d3p¢d3p¢

. . . d3p d3p

2

. . . SC

...,p p

...

x¢x¢

1

2

1

p¢p¢

1 2

1 2

1 2

1 2

(4.3.8)

´ e

ip¢

×

x¢

ip¢

×

x¢

ip

×

x

1 e

-

ip

2 ×

x

2 .

1

1 e

2

2 . . . e-

1

(Мы временно опустили спиновые индексы и метки сортов частиц, которые сопровождают пространственные или импульсные индек-

сы.) Если величины	| SpC¢p¢		...,p p		... |	ведут себя достаточно хорошо
	1	2	1	2

(точнее, если они интегрируемы по Лебегу), то согласно теореме

Римана-Лебега 7 интеграл (4.3.8) должен обращаться в нуль, если

242 Глава 4. Принцип кластерного разложения

любая комбинация пространственных координат стремится к бесконечности.

На самом деле, это слишком сильное требование. Из трансляционной инвариантности следует, что связная часть S-матрицы, как и сама S-матрица, может зависеть только от разностей векторов координат и поэтому вообще не изменяется, если все xi è x′j

изменяются совместно, так что их разность остается постоянной. Отсюда вытекает, что элементы SC в импульсном пространстве, как и аналогичные элементы S, должны быть пропорциональны трехмерной дельта-функции, обеспечивающей сохранение импульса

(в результате чего | SpC′p′		...,p p		... | становится неинтегрируемой по
1	2	1	2
Лебегу), а также дельта-функции, отвечающей закону сохранения
энергии. Таким образом, можно записать:

C

...,p p

... = δ

3

′

′

+. . .−p1 − p2 −. . . )

Sp′p′

(p1

+ p2

1

2

1

2

(4.3.9)

′

′

+. . .−E1

− E2

−. . . )Cp′p′

...,p p

...

× δ(E1

+ E2

1

2

1

2

Казалось бы, нет никаких проблем: принцип кластерного разложения требует лишь, чтобы величина (4.3.8) обращалась в нуль, когда разности некоторых координат xi è/èëè x′j становятся

большими. Однако если сама величина С в (4.3.9) содержит дополнительные дельта-функции от линейных комбинаций трехмерных импульсов, этот принцип не будет удовлетворяться.

Например, пусть в С имеется дельта-функция, требующая, чтобы сумма p′j è −pj обращалась бы в нуль для некоторого подмно-

жества частиц. Тогда выражение (4.3.8) не будет изменяться, если все x′i è xj для частиц в этом подмножестве будут изменяться с постоянной разностью и удаляться от всех других значений x′k è xl,

что противоречит принципу кластерного разложения. Грубо говоря, этот принцип утверждает, что в отличие от самой S-матрицы ее связная часть содержит только одну дельта-функцию закона сохранения импульса.

Чтобы сделать это утверждение более точным, можно сказать, что коэффициентная функция в (4.3.9) является гладкой функцией своих импульсных меток. Но насколько гладкой? Проще

всего было бы потребовать, чтобы Cp′p′		...,p p ... была аналитической
1	2	1	2
функцией всех импульсов при p′1 = p′2	= ... = p1 = p2			= ... = 0. Такое
требование действительно гарантировало бы, что Cp′p′					...,p p ... экспо-
			1	2	1	2

4.4. Структура взаимодействия

243

ненциально быстро убывает, если любые x и x′ очень далеки от любых других x и x′. Однако экспоненциальное убывание SC íå

является существенной частью принципа кластерного разложения, а требование аналитичности выполняется не во всех теориях. Особенно это проявляется в теориях с безмассовыми частицами, где SC может иметь полюса при определенных значениях p и p′.

Например, как будет видно в гл. 10, если безмассовая частица может испускаться в переходе 1 → 3 и поглощаться в переходе 2 → 4, S34C ,12 будет содержать слагаемое, пропорциональное множителю 1/(р1 − ð3)2. После преобразования Фурье такие полюсы

породят в SC′ ′ ..., ... слагаемые, убывающие лишь как отрицатель-

x1x2 x1x2

ная степень разности координат1. Нет нужды формулировать прин-

цип кластерного разложения столь жестко, чтобы исключить подобное поведение. Таким образом, условие «гладкости» SC следует понимать так, что допускаются различные полюсы и разрезы при определенных значениях р и р′, но не столь серьезные сингулярно-

сти, как дельта-функции.

4.4. Структура взаимодействия

Зададимся вопросом, какого типа гамильтониан приводит к S-матрице, удовлетворяющей принципу кластерного разложения. Именно здесь полностью раскрывает свои возможности формализм операторов рождения и уничтожения. Ответ может быть сформулирован в виде следующей теоремы.

S-матрица удовлетворяет принципу кластерного разложения, если (и насколько я знаю, только если) гамильтониан может быть записан в виде разложения (4.2.8):

∞		∞
			′			′	. . . dqM
H = å å z dq1 . . .						dqNdq1
N=0M=0									(4.4.1)
× a	†	′	†		′		′	′	, q1. . . qM ),
		(q1). . . a		(qN )a(qM ). . . a(q1)hNM (q1				. . . qN

где коэффициентные функции hNM содержат единственную дель- та-функцию закона сохранения трехмерного импульса (мы на короткое время используем более развернутые обозначения):

244 Глава 4. Принцип кластерного разложения

h

NM

(p′σ′ n′

. . . p′

σ′ n′

, p σ

n . . . p

M

σ

M

n

M

)

1 1 1

N N N

1 1 1

= δ

3

′

′

− p1 −. . .−pM )

(p1

+. . .+pN

(4.4.2)

~

(p′σ′ n′ . . . p′ σ′

n′ , p σ n

. . . p

σ

n

),

× h

NM

M

M

M

1 1 1

N N

N

1 1 1

причем h~NM не содержит дельта-функций. Подчеркнем, что фор-

мула (4.4.1) сама по себе бессодержательна — мы видели в разделе 4.2, что любой оператор можно представить в такой форме. Только когда формула (4.4.1) объединяется с требованием, что коэффициентные функции hNM содержат единственную дельта-функцию, выписанную в (4.4.2), можно гарантировать, что S-матрица удовлетворяет принципу кластерного разложения.

Справедливость этой теоремы в рамках теории возмущений станет очевидной, когда мы в гл. 6 разовьем формализм фейнмановских диаграмм. Доверчивый читатель может предпочесть пропустить остаток данной главы и перейти к рассмотрению приложений этой теоремы в гл. 5. Однако доказательство содержит ряд поучительных моментов и поможет понять, в каком смысле теория поля, обсуждаемая в следующей главе, является неизбежной.

Для доказательства теоремы используем теорию возмущений в форме, явно зависящей от времени. (Одним из преимуществ зависящей от времени теории возмущений является то, что намного яснее становится содержащаяся в формулировке принципа кластерного разложения комбинаторика; если Е — сумма энергий отдельных частиц, то e–iEt есть произведение функций от отдельных энергий, в то время как для (Е − Åα + iε)−1 это неверно.) Формула (3.5.10) определяет S−матрицу в виде *

	∞	(−i)n X∞
Sβα =	å		Y	dt1	. . . dtn dΦβ , TlV(t1), . . . V(tn )qΦα i ,	(4.4.3)
		n ! Z−∞
	n=0

где функция Гамильтона разделяется на функцию Гамильтона свободных частиц Н0 и взаимодействие V, причем

* Мы принимаем соглашение, что для n = 0 хронологическое произведение в (4.4.3) рассматривается как единичный оператор, так что слагаемое с n = 0 в сумме просто соответствует слагаемому δ(β − α) â Sβα.

4.4. Структура взаимодействия	245
V(t) ≡ exp(iH0t)V exp(−iH0t).	(4.4.4)

Состояния Φα è Φβ можно представить, как и в (4.2.2), в виде произведения операторов рождения, действующих на вакуум Φ0, à

оператор V(t) сам есть сумма произведений операторов рождения и уничтожения, так что каждое слагаемое в сумме (4.4.3) можно записать как сумму средних по вакууму от произведений операторов рождения и уничтожения. Используя соотношения коммутации или антикоммутации (4.2.5), можно переместить по очереди каждый оператор уничтожения направо, так, чтобы он оказался правее всех операторов рождения. При каждой перестановке оператора уничтожения правее оператора рождения возникают два слагаемых, что видно, если записать (4.2.5) как

a(q′)a† (q) = ±a† (q)a(q′) + δ(q′ − q) .

Перемещение других операторов рождения правее оператора унич- тожения в первом слагаемом порождает все больше новых слагаемых. Однако из формулы (4.2.4) следует, что любой оператор унич- тожения, переместившийся до конца направо, действует на Φ0, ÷òî

дает нуль, так что в конце концов останутся только слагаемые с дельта-функциями. Таким образом, среднее по вакууму от произведения операторов рождения и уничтожения дается суммой различных слагаемых, каждое из которых равно произведению дель- та-функций и знаков ±, происходящих от коммутаторов или анти-

коммутаторов. Отсюда следует, что каждое слагаемое в (4.4.3) можно представить как сумму членов, каждый из которых является произведением дельта-функций и знаков ±, происходящих от ком-

мутаторов или антикоммутаторов, а также тех множителей, которые вносят операторы V(t), проинтегрированным по всем временам, а также проинтегрированным и просуммированноым по импульсам, спинам и сортам частиц в аргументах дельта-функций.

Каждое возникающее таким образом слагаемое можно символически изобразить в виде диаграммы. (Это еще не полный формализм диаграмм Фейнмана, поскольку мы еще не собираемся сопоставлять элементам диаграмм конкретные числовые величины. В данном контексте мы используем диаграммы только как способ проследить за возникающими дельта-функциями от 3-импульсов.) Нарисуем n точек, называемых вершинами, по одной для каждого

246		Глава 4. Принцип кластерного разложения

оператора V(t). Для каждой дельта-функции, возникающей при протаскивании оператора уничтожения, находящегося в одном из операторов V(t), направо через оператор рождения, отвечающий состоянию Φα, нарисуем линию, идущую снизу и входящую в соответ-

ствующую вершину диаграммы. Для каждой дельта-функции, возникающей при протаскивании оператора уничтожения, отвечающего состоянию, сопряженному конечному состоянию Φβ, направо

через оператор рождения в одном из операторов V(t), нарисуем линию, исходящую из соответствующей вершины и идущую наверх. Для каждой дельта-функции, возникающей при протаскивании оператора уничтожения из одного V(t) через оператор рождения в другом V(t), нарисуем линию между соответствующими вершинами. Наконец, для каждой дельта-функции, получающейся при протаскивании оператора уничтожения, отвечающего сопряженному конечному состоянию, через оператор рождения в начальном состоянии, нарисуем линию, идущую снизу вверх прямо сквозь диаграмму. Каждая из дельта-функций, связанных с одной из этих линий, выражает равенство импульсов пары операторов рождения и унич- тожения, отвечающих этой линии. Кроме того, есть по крайней мере одна дельта-функция, которую вносит каждая из вершин и которая выражает сохранение полного 3-импульса в вершине.

Подобная диаграмма либо связна (каждая точка связана с другой точкой системой линий), либо несвязна, но может быть разбита на некоторое число связных кусков. Оператор V(t), ассоциированный с вершиной в какой-то связной компоненте диаграммы, фактически коммутирует с оператором V(t), ассоциированным с любой вершиной в любой другой связной компоненте, поскольку для такой диаграммы отсутствуют какие-либо члены, отвечающие тому, что оператор уничтожения в одной вершине уничтожает частицу, порожденную оператором рождения в другой вершине − в противном

случае эти две вершины оказались бы в одной связной компоненте. Итак, матричный элемент в (4.4.3) можно выразить как сумму произведений вкладов от каждой связной компоненты диаграммы:

dΦβ ,TlV(t1), . . . V(tn )qΦα i

= å	ν
	(±)ÕeΦβj ,ToV(tj1), . . . V(tjn )tΦαj	j .	(4.4.5)
разбиение	j=1	C

на кластеры

4.4. Структура взаимодействия

247

Здесь сумма берется по всем способам разбиения начальных и конечных частиц и операторов V(t) на ν кластеров (включая сумму по ν от 1 до n). Каждый j-ый кластер включает nj операторов V(tj1), . . . V(tjn ) и некоторые подмножества начальных частиц αj и конечных частиц βj. Конечно, это означает, что

n = n1 + ... + nν,

а также что множество α есть объединение всех частиц в подмножествах α1, α2, ..., αν, и аналогично для конечного состояния. В

некоторых кластерах в (4.4.5) может вообще не быть вершин, т. е. nj = 0. Тогда необходимо, чтобы соответствующий множитель в матричном элементе (4.4.5) обращался в нуль всегда, кроме слу- чая, когда βj è αj являются одночастичными состояниями (и тогда сам множитель есть просто дельта-функция δ(αj − βj)), òàê êàê

единственные связные диаграммы без вершин имеют вид прямых линий, идущих снизу вверх через всю диаграмму. Самое важное: индекс С в (4.4.5) означает, что мы исключаем любые вклады, соответствующие несвязным диаграммам, т. е. такие вклады, в которых какой-то оператор V(t) или любая начальная или конеч- ная частица не связана с каждой другой последовательностью рождений и уничтожений частиц.

Подставим теперь (4.4.5) в сумму (4.4.3). Интеграл по каждой временной переменной берется в пределах от −∞ äî ∞, òàê ÷òî íå

имеет значения, как переменные t1, t2, ..., tn рассортированы по кластерам. Сумма по разбиениям на кластеры дает множитель n!/n1!n2!...nν!, равный числу способов разбиения n вершин на ν

кластеров, в каждом из которых содержится n1, n2, ... вершин:

∞

z dt1. . . dtn dΦβ ,TlV(t1), . . . V(tn )qΦα i

−∞
		n !			ν ∞
=			å (±)	å Õ z dtj1. . . dtjnj
		n1 ! n2 !. . . nν !
			PART	n1 ...nν	j=1 −∞
				n1 +...+ nν = n

× eΦβj ,TnV(tj1), . . . V(tjn )sΦαj jC .

248 Глава 4. Принцип кластерного разложения

Первая сумма здесь берется по всем способам разбиения частиц в начальном и конечном состояниях на кластеры α1 ... αν è β1... βν (включая сумму по числу кластеров ν). Множитель n! сокращается с множителем 1/n! в (4.4.3), а множитель (−i)n в ряде теории возмущений (4.4.5) можно записать как произведение (−i)n1 . . . (−i)nν ,

так что вместо суммирования по n и последующего отдельного суммирования по n1, ..., nν, ограниченного условием n1 + ... + nν = n, можно просто независимо суммировать по n1, ..., nν. Оконча-

тельно

	ν	∞	(−i)nj	∞
Sβα = å	(±)Õ å			z dtj1. . . dtjnj eΦβj ,TnV(tj1), . . . V(tjn )sΦαj jC .
			nj !
PART	j=1 nj =0			−∞

Сравнивая это выражение с определением (4.3.2) связных матрич- ных элементов, мы видим, что эти матричные элементы равны как раз множителям под знаком произведения:

	∞	(−i)n	∞
	SβαC = å		z dt1 . . . dtn dΦβ , TlV(t1), . . . V(tn )qΦα iC . (4.4.6)
		n !
	n=0		−∞

(Индекс j опущен у всех t и n, так как теперь это просто переменные интегрирования и суммирования.) Итак, SβαC вычисляется по

очень простому рецепту: эта величина есть сумма всех связных вкладов в S−матрицу, т. е. отбрасываются все слагаемые, в ко-

кторых любая начальная или конечная частица или любой оператор V(t) не связаны со всеми другими некоторой последовательностью рождений и уничтожений частиц. Этим объясняется прилагательное «связная» для матрицы SC.

Как мы видели, в каждой вершине и вдоль каждой линии импульс сохраняется, поэтому он сохраняется по-отдельности и в связных частях S−матрицы, т. е. SβαC содержит множитель δ3(pβ − pα). Мы хотим доказать, что SβαC не содержит других дельта-функций.

Предположим, что коэффициентные функции hNM в разложении (4.4.1) функции Гамильтона по операторам рождения и уничтожения пропорциональны единственной трехмерной дельта-функ- ции, обеспечивающей сохранение импульса. Это автоматически выполняется для свободной функции Гамильтона Н0, и поэтому