Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

5.7. Причинные поля. Общий случай	319

Оно преобразуется как тензорное произведение представлений (В,В) и (j,0), поэтому по обычным правилам векторного сложения это поле можно разложить по полям, преобразующимся по всем неприводимым представлениям (А,В), где |j − B| ≤ A ≤ j + B, или эквивалентно |A − B| ≤ j ≤ A + B. Так как для данной частицы со спином j формула (5.7.31) описывает единственное поле типа (А,В), оно может быть только * полем (А,В), полученным с помощью производных (5.3.33).

Рассмотрим поведение построенных полей относительно инверсий. Начнем с пространственной инверсии. Как следует из результатов раздела 4.2, свойства операторов уничтожения частиц и рождения античастиц по отношению к пространственной инверсии выражаются формулами

Pa(p, σ)P−1 = η*a(−p, σ),	(5.7.34)
Pac† (p, σ)P−1 = ηcac† (−p, σ),	(5.7.35)

ãäå η è ηc — внутренние четности частицы и античастицы, соответ-

ственно. Следовательно, общее причинное (А,В)P поле (5.7.31) преобразуется под действием оператора четности следующим образом:

PψabAB(x)P-1 = (2π)-3/2 å z d3p[η*a(−p, σ)eip×xuabAB
s	(5.7.36)

+ηc (−)2B ac† (−p, σ)e-ip×xvabAB(p, σ)] .

* Единственный пробел в этом рассуждении связан с гипотетической возможностью, что некоторые полученные таким способом поля (А,В), на самом деле, обращаются в нуль. Но в этом случае поле ϕσ, отвечающее представлению

(j,0) должно удовлетворять полевому уравнению å σ Mσ (¶ /¶x)jσ (x) = 0 , следовательно, для каждого σ должно быть å σ Mσ (ip)uσ (p, s) = 0 .. Для представления (j,σ) коэффициент Клебша−Гордана Cj0 (jσ; σ0) равен просто кронекеровскому дельта-символу δss , откуда å σ Mσ (ip)Dσσ′ (L(p)) = 0 . Но это возможно только, если все Mσ(ip) = 0, ò. ê. D(Λ) имеет обратную матрицу D(Λ−1). Таким образом, поля ϕσ(x), отвечающие представлению (j,0), могут удовлетворять только уравнению Клейна−Гордона (9 − m2 )ϕ σ (x) = 0 . Ñëå-

довательно, ни одно из полей (А,В), полученных с помощью (5.3.33), не может быть равным нулю.

320	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

Мы хотим сделать замену переменной интегрирования р на −р, а для этого нужно вычислить uab(−p,σ) è vab(−p,σ). Чтобы получить

необходимые выражения, достаточно вернуться к формулам (5.7.14) и (5.7.15) и использовать свойство симметрии коэффициентов Клебша−Гордана14

σ		=	−	A+ B− j	CBA(j	σ	(5.7.37)
CAB(j ; ab)			( )			; ba).
Находим:
uAB(−p,	σ) = (−)A+ B− j uBA (p, σ),						(5.7.38)
ab					ba
vAB(−p,	σ) = (−)A+ B− j vBA (p, σ),						(5.7.39)
ab					ba
òàê ÷òî
PψabAB (x)P-1 = (2π)-3/2 å z d3p(−1)A+ B- j
		s					(5.7.40)
× [η*a(−p, σ)eip×PxuabBA	+ ηc (−)2B ac† (−p, σ)e-ip×PxvabBA (p, σ)],

где, как и ранее, Px ≡ (−x, x0). Мы получили причинное поле ψabBA(x) ,

взятое в точке Px, если не считать того, что коэффициенты при слагаемых с операторами уничтожения и рождения могут отличаться от тех, которые выписаны в (5.7.31). Однако эти коэффициенты должны быть теми же самыми, что и в (5.7.31), с точностью до общего постоянного множителя, так как формула (5.7.31) представляет с точностью до масштаба единственное причинное поле любого типа. Отсюда отношение коэффициентов при двух слагаемых в (5.7.40) должно быть таким же, как и в (5.7.31) (с заменой В на А, так как предполагается, что (5.7.40) дает (В, А) поле):

ηc(−)2B / η* = (−)2A .

(5.7.41)

Однако разность А − В отличается от спина j только на целое число,

òàê ÷òî

ηc = η* (−)2j .

(5.7.42)

5.7. Причинные поля. Общий случай	321

Частные случаи этого равенства мы анализировали в разделах 5.2, 5.3 и 5.5 для j = 0, j = 1 и j = 1/2. Теперь видно, что результат имеет общий характер: внутренняя четность ηcη пары частица−анти- частица равна +1 для бозонов и −1 для фермионов. Подставляя

(5.7.42) в (5.7.40), получаем окончательно для пространственной инверсии:

Pψ abAB(x)P−1 = η* (−1)A+ B− j ψbaBA (−x, x0 ).

(5.7.43)

Рассмотрим1 применение этой1 формулы к дираковскому полю. Для верхних ( , 0) и нижних (0, ) компонент дираковского поля знак (−1)À+Â−j равен +1, так что оператор четности просто переводит x в −x, меняет местами верхние и нижние компоненты и умножает поле на η*. Замена верхних компонент на нижние у дираковского поля осуществляется матрицей β â (5.5.41).

ÑРассмотрим теперь операцию зарядового сопряжения. Действие на операторы уничтожения частиц и рождения античастиц определяется формулами

Ca(p, σ)C−1 = ξ*ac (p, σ),	(5.7.44)
Cac† (p, σ)C−1 = ξca† (p, σ),	(5.7.45)

ãäå ξ è ξc — зарядовые четности частицы и античастицы, соответ-

ственно. Применяя это преобразование к полю (5.7.31), находим:

CψabAB(x)C-1 = (2π)-3/2 å z d3p uabAB(p, σ)

s (5.7.46)

× ξ*ac (p, σ)eip×x + ξc (−1)2B a†(p,−σ)(−1)j-s e-ip×x .

Полезно сравнить эту формулу для зарядово-сопряженного поля к полю (А, В) с формулой сопряженного (В, А) поля той же частицы:

ψbaBA† (x) = (2π)-3/2 ås z d3p uabAB* (p, σ)

(5.7.47)

× (−1)2A (−1)j -s ac (p,−σ)eip×x + a† (p, σ)e-ip×x .

322 Глава 5. Квантовые поля и античастицы

Чтобы вычислить u*, используем предыдущий результат:

J(j)* = −CJ(j)C −1 , C	ss	(−1)j −σ δ	s,-s	.

Коэффициенты Клебша-Гордана в (5.7.14) действительны, так что

BA

*

1

$

(A)

$

(B)

uba

(p, s)

=

åcexp(-p × J

(q)h

-a,-a¢ cexp(p × J

(q)h-b,-b¢

2p

0

a¢b¢

´ (-1)a¢-a (-1)b¢-b CBA (js; a¢b¢) .

Используем свойство отражения для коэффициентов Клебша-Ãîð-

äàíà14:

CBA(j,−σ;−b,−a′) = CAB(jσ; a′b′)

(5.7.48)

и то, что эти коэффициенты равны нулю во всех случаях, кроме a¢ + b¢ = s. Тогда

u-BAb,-a(p,−σ)* = (−1)a+b−σ uabAB(p, σ) .

(5.7.49)

Отсюда сопряженное поле (5.7.47) принимает вид (мы делаем замену a ® -a, b ® -b, s ® -s):

yBA† (x) = (2p)-3/2 å z d3p (-1)a+b-s uAB(p, s)

-b,-a ab s

´ (-1)2A (-1)j +s ac (p, s)eip×x + a†(p, s)e-ip×x .

Используя соотношение между знаками (-1)−2A−j = (-1)2B+j, получа-

åì:

(-1)-2A-a-b-j y-BAb,-†a (x) = (2p)-3/2 å z d3p uabAB(p, s)
		s		(5. 7. 50)
´		ac (p, s)eip×x + (-1)j-s+2B a†(p,-s)e-ip×x
			.

Для того, чтобы поле CψabAB(x)C−1 коммутировало или антикомму-

тировало со всеми обычными полями на пространственноподобных

5.7. Причинные поля. Общий случай	323

расстояниях, необходимо, чтобы оно было пропорционально ψ -BAb,-†a,

так как это поле сопряжено к единственному причинному полю типа (А, В). Сравнивая (5.7.50) с (5.7.46), видим, что это возможно только в случае, если зарядовые четности связаны соотношением

ξ* = ξc		(5.7.51)
и тогда
BA†	(x) .	(5.7.52)
CψabAB(x)C-1 = ξ* (−1)-2A-a-b- j ψ -b,-a

Мы уже обсуждали соотношение (5.7.51) для спинов 0, 1 и 1/2 в разделах 5.2, 5.3 и 5.5, а также рассмотрели некоторые применения этого правила для анализа состояний электрон-позитронных и кваркантикварковых пар.

В частности, для частицы, совпадающей со своей античастицей, в формуле (5.7.52) следует опустить оператор зарядового сопряжения в левой части и множитель ξ* в правой:

BA†	(x) .	(5.7.53)
ψabAB(x) = (−1)-2A-a-b- j ψ -b,-a

Пример такого условия дейcтвительности уже рассматривался в разделе 5.5. для майорановских частиц.

Перейдем, наконец, к обращению времени. Действие на операторы уничтожения частиц и рождения античастиц имеет вид

			Ta(p, σ)T−1		= ζ* (−1)j −σ a(−p,−σ),			(5.7.54)
	Tañ† (p, σ)T−1				= ζñ (−1)j − σ añ† (−p,−σ).			(5.7.55)
Отсюда неприводимое поле (5.7.31) преобразуется по правилу
Tψ AB (x)T-1	= (2π)-3/2			ås z
					d3p uAB* (p, σ)(−1)j -s
ab						ab
	×		ζ*ac (−p,−σ)e-ip×x + ζc (−1)2B ac†(−p,−σ)eip×x					(5.7.56)
							.

Чтобы вычислить комлексно сопряженные коэффициентные функции, используем (5.7.14) и стандартную формулу 14

C	AB	(j, σ; a, b) = (−1)A+ B− j C	AB	(j,−σ;−a,−b),	(5.7.57)

324 Глава 5. Квантовые поля и античастицы

Тогда

uabAB* (−p,−σ) = (−1)a+b+σ + A+ B− j u−ABa,−b(p, σ).

(5.7.58)

Меняя переменные интегрирования и суммирования в (5.7.56) на -ð è -s, находим, что для того, чтобы поле (А, В) при обращении

времени преобразовывалось в поле, пропорциональное другому (А, В) полю, необходимо выполнение условия

zc = z*,

(5.7.59)

и в этом случае

AB	(x)T	−1	= (−1)	a+b+ A+ B−2j	AB	0	).	(5.7.60)
Tψab					ψ−a,−b(x,−x

* * *

Следует отметить, что время от времени сообщается о разных трудностях в теории частиц со спином ³ 3/2 15. В общем случае они

проявляются при изучении распространения полей с высшими спинами в присутствии с-числового внешнего поля. В зависимости от деталей теории, возникающие трудности включают отсутствие причинности, несовместность уравнений, нефизические массовые состояния и нарушение унитарности. Я не собираюсь подробно анализировать эти проблемы, поскольку мне кажется, что они не имеют отношения к той расчетной схеме, которая описана в данной главе, по следующим причинам.

1. Ïîëÿ yab(x) были построены здесь непосредственно из опе-

раторов уничтожения и рождения физических частиц, так что не может возникать никаких вопросов о несовместимости с уравнениями или о нефизических массовых состояниях. Построенные поля свободны, но включив их в плотность гамильтониана взаимодействия в картине взаимодействия, мы можем использовать теорию возмущений для расчета элементов S-матрицы, автоматически удовлетворяющих принципу кластерного разложения. До тех пор, пока гамильтониан взаимодействия эрмитов, не будет никаких трудностей с унитарностью. В рамках теории возмущений гаранти-

5.7. Причинные поля. Общий случай	325

рована и лоренц-инвариантность, пока мы добавляем в плотность гамильтониана подходящие локальные, пусть и нековариантные слагаемые. Хотя строгое доказательство этого отсутствует, нет оснований сомневаться в том, что это всегда возможно. Таким образом, любые трудности с высшими спинами могут возникать только при попытках выйти за рамки теории возмущений.

2.Как обсуждается в разделе 13.6, решение полевых уравнений в присутствии с-числового фонового поля (именно в подобных задачах были обнаружены все проблемы с высшими спинами) действительно требует выхода за рамки теории возмущений, так как результаты соответствуют суммированию бесконечного подмножества слагаемых в ряде теории возмущений. Это частичное суммирование обосновано, даже в случае слабых внешних полей, только если поля достаточно медленно изменяются, причем малость энергетических знаменателей компенсируется слабостью полей. Но полученные таким способом результаты зависят от всех деталей взаимодействия частицы с большим спином с внешними полями — не только от мультипольных моментов частицы, но и от возможных слагаемых во взаимодействии, которые нелинейны по внешним полям. Проблемы с высшими спинами 15 возникали только для таких частиц больших спинов, у которых произвольно предполагалось очень простое взаимодействие с внешними полями. Никто не доказал, что при учете произвольных взаимодействий проблема сохранится., а как мы увидим в гл. 12, следует ожидать, что частицы с высшими спинами обладают всеми возможными взаимодействиями, которые дозволены принципами симметрии.

3.На самом деле, есть серьезные основания полагать, что

проблемы с высшими спинами исчезнут, если взаимодействие с внешними полями будет достаточно сложным. С одной стороны, нет ни малейших сомнений в существовании частиц с высокими спинами, в том числе, различных стабильных ядер и адронных резонансов. Если и существует какая-то проблема, связанная

ñбольшим значением спина, она может касаться только «точечных» частиц, т. е. тех частиц, которые особенно просто взаимодействуют

ñвнешним полем. Следует не забывать, что требование простоты зависит от сделанного нами выбора того поля, которое представляет частицу с высшим спином. Напомним, что любые типы свободных полей для данной частицы могут быть записаны как результат действия оператора производной на любые другие типы полей,

326	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

так что в картине взаимодействия всякое взаимодействие с внешними полями можно записать с помощью любого желательного нам типа поля. Однако взаимодействия, выглядящие просто в случае использования поля одного типа, могут выглядеть сложно, если выразить их через поля другого типа. По этой причине требование простоты, похоже, не имеет никакого реального содержания.

4.Наконец, как многомерные теории типа Калуцы−Клейна, так

èтеории струн дают примеры самосогласованных теорий массив-

ных заряженных частиц со спином 2, взаимодействующих с фоновым электромагнитным полем 16. (Показано, что согласованность теории зависит от предположения о реалистичных внешних полях, удовлетворяющих полевым уравнениям. Этот момент не учи- тывался в ранних работах.) Если переформулировать такие теории в картине взаимодействия, то частица со спином 2 представляется свободным (1, 1) полем. Однако, как отмечено выше, взаимодействия можно выразить в этой картине с помощью любого поля типа (А, В), содержащего представление группы вращений с j = 2.

5.8. СPT-теорема

Мы видели, что сочетание требований теории относительности и квантовой механики приводит к необходимости существования античастиц. Однако необходимо не только то, что каждая частица имеет свою античастицу (в частном случае истинно нейтральные частицы совпадают со своими античастицами). Существует точное соотношение между свойствами частиц и античастиц, которое может быть сформулировано вÑÐÒвиде утверждения, что при подходящем выборе фазÑÐÒпроизведение всех инверсий сохраняется. Это знаменитая -теорема *.

* Первое доказательство этой теоремы принадлежит Людерсу и Паули 17. Строгое доказательство было дано в рамках аксиоматической теории поля 18. В нем предположения о коммутативности использовались для того, чтобы расширить лоренцовскую инвариантность теории до комплексной группы Лоренца, затем с помощью комплексных преобразований Лоренца доказать свойства вакуумных средних от произведений полей относительно отражений, и, наконец, используя эти свойства,ÑÐÒ вывести существование антиунитарного оператора, индуцирующего -преобразования полей.

5.8. СРТ-теорема	327

В качестве первого шага в доказательстве рассмотрим, как произведение СРТ действует на свободные поля разных типов. Из результатов разделов 5.2, 5.3 и 5.5 для скалярного, векторного и дираковского полей получаем:

CPT ϕ(x) [CPT]−1 = ζ*ξ* η*ϕ† (−x),	(5.8.1)
CPT ϕμ (x) [CPT]−1 = −ζ*ξ*η*ϕ†μ (−x),	(5.8.2)
CPT ψ(x) [CPT]−1 = −ζ*ξ* η* γ 5ψ* (−x).	(5.8.3)

(Конечно, фазы ζ, ξ è η зависят от сортов частиц, описываемых

каждым полем.) Мы выбираем фазы так, чтобы для всех частиц

ζ ξ η = 1.

(5.8.4)

Тогда всякий тензор ϕμ1 ...μn , образованный любой совокупностью

скалярных и векторных полей и их производных, преобразуется как

CPT ϕμ	1 ...	μ		(x) [CPT]−1 = (−1)n ϕ†	(−x) .	(5.8.5)
			n	μ1 ...μn
(Так как СРТ — антиунитарный оператор, то всякий комплексный

численный коэффициент, возникающий в этих тензорах, преобразуется в комплексно сопряженный.) Нетрудно показать, что такое же правило преобразования применимо для тензоров, построенных из билинейных комбинаций дираковских полей. Применяя к ним формулу (5.8.3), находим:

CPT [ψ	(x)Mψ	2	(x)] [CPT]−1	= ψT	(−x)γ	5	βM*	γ	5	ψ*	(−x)
1				1						2	(5.8.6)
				= [ψ1(−x)γ 5Mγ 5ψ2 (−x)]† .

(Знак «минус» от антикоммутации β è γ5 компенсируется знаком

«минус» от антикоммутации фермионных операторов.) Если билинейный ковариант есть тензор ранга n, то М равно произведению n по модулю 2 дираковских матриц, так что γ5Mγ5 = (–1)nM, è

поэтому билинейный ковариант удовлетворяет соотношению (5.8.5). Эрмитова скалярная плотность гамильтониана взаимодействия H(x) должна строится из тензоров с четным полным числом

пространственно-временных индексов, поэтому

328	Глава 5. Квантовые поля и античастицы
	CPT H (x) [CPT]−1 = H (−x) .	(5.8.7)

Более общее (и в чем-то более легкое) доказательство теоремы можно дать для эрмитовых скаляров, построенных из полей ψabAB(x) ,

принадлежащих одному или нескольким общим неприводимым представлениям однородной группы Лоренца. Собирая результаты предыдущего раздела для результатов инверсии таких полей, получаем

CPT ψ abAB(x) [CPT]−1 = (−1)2B ψ abAB† (−x) .

(5.8.8)

(Для дираковского поля множитель (–1)2Â в (5.8.8) сопровожда-

	ется матрицей γ5.) Чтобы образовать скаляр H(x) из произведений
	ψaA1bB1 (x)ψaA2bB2 (x). . ., необходимо, чтобы как А1 + À2 + ..., òàê è Â1 +
	1	1	2	2	(−1)	2B1 +2B2	+...	= 1, и эрмитов скаляр
	Â2	+ ... были целыми, так что
	H (x) будет автоматически удовлетворять соотношению (5.8.7).
			Из этой формулы немедленно вытекает, что						СРТ коммутиру-
	ет с оператором взаимодействия V ≡ z d3x H (x,0):
				CPT V [CPT]−1 = V.					(5.8.9)

Кроме того, в любой теории СРТ коммутирует ÑÐÒс гамильтонианом свободных частиц Н 0. Таким образом, оператор , который был определен здесь своим действием на операторы свободных частиц, действует на ин- и аут-состояния так, как описано в разделе 3.3. Физические следствия этого принципа симметрии уже обсуждались в разделах 3.3 и 3.6.

5.9. Поля безмассовых частиц

До сих пор мы рассматривали только поля массивных частиц. Для некоторых из них, например, для скалярного или дираковского полей, не возникает никаких проблем при переходе к пределу нулевой массы. С другой стороны, в разделе 5.3. мы видели, что для векторного поля частицы со спином 1 такой переход действительно сопряжен с трудностями: по крайней мере один из векторов поляризаций в таком пределе обращается в бесконечность. Мы увидим ниже, что все неприводимые поля (А,В), которые могут быть построены в случае конечной массы, нельзя построить из операторов