Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Задачи	339

уничтожения безмассовой частицы со спиральностью s и операторов рождения античастицы со спиральностью –s, ãäå

s = B - A.

(5.9.41)

Например, компоненты (1, 0) и (0, 1) дираковского поля безмасовой частицы1 1 могут только уничтожать частицы со спиральностью

–1 è +1 и, соответственно, рождать античастицы со спиральностью + и – . В «двухкомпонентной»1 теории нейтрино рассматриваются только поле ( , 0) и сопряженное1ему поле, так что в этой теории спиральность1 нейтрино равна – , а спиральность антинейтрино равна + .

Теми же методами, что и в разделе 5.7, можно показать, что (j, 0) и (0, j) поля безмассовых частиц со спином j (т. е. со спиральностью еj) коммутируют друг с другом и со своими сопряженными на пространственноподобных расстояниях, если коэффициенты у слагаемых с операторами уничтожения ии рождения в (5.9.1) удовлетворяют соотношению (5.9.39). После этого можно так подобрать относительную фазу операторов уничтожения и рождения, чтобы эти коэффициенты стали равными. Легко видеть, что поля безмассовых частиц со спином j типа (А, А + j) или (В + j, В) являются просто производными порядка 2А или 2В полей типа (0, j) или (j, 0), соответственно, так что нет нужды рассматривать здесь такие более общие поля.

Теперь можно понять, почему нельзя построить векторное поле для безмассовых частиц со спиральностью1 1 ±1. Векторное поле

преобразуется по представлению ( , ), поэтому согласно (5.9.19) может описывать только спиральность нуль. (Конечно, можно построить векторное поле для нулевой спиральности — для этого достаточно просто взять производную ¶μj безмассового скалярного поля j.) Простейшее ковариантное безмассовое поле для спиральности ±1 преобразуется по представлению (1, 0) Å (0, 1).

Иными словами, это антисимметричный тензор fμν. Анало-

гично, простейшее ковариантное безмассовое поле для спиральности ±2 преобразуется по представлению (2, 0) Å (0, 2), ò. å.

это тензор четвертого ранга, который, как тензор кривизны Римана–Кристоффеля, антисимметричен при перестановке внутри каждой пары индексов и симметричен при перестановке самих этих пар.

340	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

Обсуждение операций инверсий Р, С, Т, проведенное в предыдущем разделе, с очевидными модификациями переносится на случай нулевой массы.

Задачи

1. Покажите, что если коэффициентные функции при нулевом импульсе удовлетворяют условиям (5.1.23) и (5.1.24), то коэффициентные функции (5.1.21) и (5.1.22) для произвольного импульса удовлетворяют определяющим условиям (5.1.19) и (5.1.20).

2. Рассмотрите свободное поле ylμ (x), которое уничтожает и рож-

дает зарядово самосопряженные частицы со спином 3/2 и массой m ¹ 0. Вычислите коэффициентные функции ulμ (p, s), на которые умножаются операторы уничтожения a(p,s) â âû-

ражении для этого поля, при условии, что под действием лоренцовских преобразований поле преобразуется как дираковское поле yl с дополнительным 4-векторным индексом m.

Каким полевым уравнениям, алгебраическим условиям и условиям действительности удовлетворяет это поле? Найдите матрицу Pμν(p), которая при p2 = –m2 определена равенством

å ulμ (p, σ)umν* (p, σ) ≡ (2p0 )−1 Plmμν (p) .

σ

Каковы коммутационные соотношения дляÐ ÑэтогоÒполя? Как оно преобразуется под действием инверсий , и ?

3. Рассмотрите свободное поле hμν(x), удовлетворяющее условиям hμν(x) = hνμ(x) è hμμ(x) = 0, которое уничтожает и

рождает частицу спина 2 и массой m ¹ 0. Вычислите коэффициентные функции uμν(p,s), на которые умножаются операторы уничтожения a(p,s) в выражении для этого поля, чтобы

под действием лоренцовских преобразований поле преобразуется как тензор. Каким полевым уравнениям удовлетворяет это поле? Найдите функцию Pμν,κλ(p), определенную ра-

венством

Список литературы	341

å uμν (p, s)uκλ* (p, s) º (2p0 )−1 Pμν,κλ (p).

σ

Каковы коммутационные соотношения дляÐ этогоÑ Òполя? Как оно преобразуется под действием инверсий , и ?

4. Покажите, что для безмассовой частицы со спином j поля типа (А,А+j) или (В+j,В) являются производными порядка 2А или 2В полей типа (0,j) или (j,0), соответственно.

5. Выясните трансформационные свойства полей типа (j,0) + (0,j) безмассовых частицÐ Ñ ñîÒспиральностью ±j под действием опера-

ций инверсии , и .

6. Рассмотрите обобщенное дираковское поле y, которое преобразуется по представлению (j,0) + (0,j) однородной группы Лоренца. Перечислите тензоры, которые можно образовать из произведений компонент y è y†. Проверьте1результат, сравнив

с найденными нами выражениями для j = .

7. Рассмотрите обобщенное поле yab, описывающее частицы со спином j и массой m ¹ 0, которое преобразуется по (А,В)

представлению однородной группы Лоренца. Предположим, что гамильтониан взаимодействия этого поля имеет вид

V = z d3x[ψ ab (x)Jab (x) + Jab† (x)ψ†ab (x)] ,

ãäå Jab — внешний с-числовой ток. Каково асимпототическое поведение матричных элементов испускания этих частиц с энергией E . m и определенной спиральностью? (Предположите, что фурье-образ тока при разных a, b имеет значения одного порядка величины и не зависит сильно от Е.)

Список литературы

1. Подход, излагаемый в этой главе, был представлен в серии работ: Weinberg, S., Phys. Rev., 133, D1318 (1964); 134, B882 (1964); 138, B988 (1965); 181,1893 (1969). Аналогичный подход был

342	Глава 5. Квантовые поля и античастицы

изложен в неопубликованных лекциях Ю. Вихмана.

2. Bohr, N. and Rosenfeld, L., Kgl. Danske Vidensk. Selskab. Mat.-Fys. Medd., No. 12 (1933) (перевод в сборнике: Selected papers of Leon Rosenfeld, ed. by R.S. Cohen and J. Stachel (Reidel, Dordrecht, 1979)); Phys. Rev., 78, 794 (1950).

3. Dirac, P.A.M., Proc. Roy. Soc. (London), A117, 610 (1928).

4. Cartan, E., Bull. Soc. Math. France, 41, 53 (1913).

5. См., например, Jauch, J.M. and Rorlich, F. The Theory of Photons and Electrons (Addison-Wesley, Cambridge, MA, 1955), Appendix A2; Georgi, H. Lie Algebras in Particle Physics (Benjamin-Cummings, Reading, VA, 1982), pp. 15, 198. Исходная ссылка: Schur, I., Sitz. Preuss. Akad., p. 406 (1905).

6. См., например, Georgi, H. Lie Algebras in Particle Physics (BenjaminCummings, Reading, VA, 1982), pp. 15, 198. Исходная ссылка: Schur, I., Sitz. Preuss. Akad., p. 406 (1905).

7. Lee, T.D. and Yang, C.N., Phys. Rev., 104, 254 (1956).

8. См., например, Van der Waerden, B.L. Die Gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik (Springer Verlag, Berlin, 1932); Любарский, Г.Я. Теория групп и ее применение в физике (М.: Гостехиздат, 1957).

9. Rarita, W. and Schwinger, J., Phys. Rev., 60, 61 (1941).

10. См., например, Edmonds, A.R., Angular Momentum in Quantum Mechamics (Princeton University Pree, Princeton, 1957), Chapter 3 (есть рус. пер.: Эдмондс, А. Угловой момент в квантовой механике. М.: ИЛ, 1968).

11. Weinberg, S., Phys. Rev., 181, 1893 (1969); Section V.

12. Fierz., M., Helv. Phys. Acta, 12, 3 (1939); Pauli, W., Phys. Rev., 58, 716 (1940). Не основанные на теории возмущений доказа-

Список литературы	343

тельства в аксиоматической теории поля были даны в работах: Lü ders, G. and Zumino, B., Phys. Rev., 110, 1450 (1958); Burgoyne,

N., Nuovo Cimento, 8, 807 (1958). См. также: Streater, R.F. and Wightman, A.S. PCT, Spin & Statistics, and All That (Benjamin, New York, 1968) (есть рус. пер.: Стритер Р., Вайтман А. РСТ, спин и статистика и все такое. М.: Мир, 1970).

13. Поля в представлении (j,0) + (0,j) были введены в работе: Joos, H., Fortschr. Phys., 10, 65 (1962); Weinberg, S., Phys. Rev., 133, B1318 (1964).

14. Edmonds, A.R. [10], èëè Rose, M.E. Elementary Theory of Angular Momentum (Wiley & Sons, New York, 1957), Chapter III.

15. Velo, G. and Zwanziger, D., Phys. Rev., 186, 1337 (1969); 188, 2218 (1969); Wightman, A.S., in: Proceedings of the Fifth Coral Gables Conference on Symmetry Principles at High Energy, ed. by T. Gudehus, G. Kaiser, and A. Perlmutter (Gordon and Breach, New York, 1969); Schroer, B., Seiler, R., and Swieca, A., Phys. Rev., D2, 2927 (1970) и другие ссылки в этих работах.

16. Nappi, C.R. and Witten, E., Phys. Rev., D40, 1095 (1989); Argyres, P.C. and Nappi, C.R., Phys. Lett., B224, 89 (1989). Вывод согласованной теории частиц со спином j = 3/2 во внешних полях из теории Калуцы–Клейна см. в работах: Rindani, S.D. and Sivakumar, M . ,

J. Phys. G: Nucl. Phys., 12, 1335 (1986); J. Phys. C: Particles & Fields, 49, 601 (1991).

17. Lü ders, G., Kgl. Danske Vidensk. Selskab. Mat.-Fys. Medd., 28, 5

(1954); Ann. Phys., 2, 1 (1957); Pauli, W., Nuovo Cimento, 6, 204 (1957). Когда Людерс впервые рассмотрел вопрос о том, как связаны инверсии, считалось общепризнанным, что P сохраняется, так что его теорема утверждала, что сохранение C эквивалентно T-инвариантности.

18. Jost, R., Helv. Phys. Acta, 30, 409 (1957); Dyson, F.J., Phys. Rev., 110, 579 (1958). См. также книгу Стритера и Вайтмана [12].

6

Фейнмановские правила

Âпредыдущих главах использование ковариантных свободных полей для построения плотности гамильтониана мотивировалось требованием, чтобы S-матрица удовлетворяла условиям лоренц-инвариантости и кластерного разложения. Если мы построили таким способом плотность гамильтониана, уже не имеет значения, какую форму теории возмущений использовать для вычисления S-матрицы. Результаты будут автоматически удовлетворять указанным условиям в каждом порядке по плотности гамильтониана взаимодействия. Тем не менее, очевидны практи- ческие преимущества использования такого варианта теории возмущений, в котором лоренц-инвариантность и свойства кластерного разложения S-матрицы явно сохраняются на каждом этапе вычислений.

Âтой теории возмущений, которую использовали в 1930-е годы и которая сейчас известна под названием «старой» (мы описали ее в начале раздела 3.5), указанные свойства не выполнялись.

Большим достижением Фейнмана, Швингера и Томонаги в конце 1940-х годов было развитие такой техники теории возмущений для вычисления S-матрицы, в которой на каждом шаге прослеживались лоренц-инвариантность и свойства кластерного разложения.

В этой главе мы опишем диаграммную технику вычислений, впервые предложенную Фейнманом на конференции в Поконо в 1948 году. Фейнман пришел к этим диаграммным правилам, развивая предложенный им подход, основанный на функциональном интеграле. Этот подход будет рассмотрен в гл. 9. Здесь же мы воспользуемся подходом, предложенным в 1949 году Дайсоном 1.

6.1. Вывод правил

345

Вплоть до 1970-х годов именно он был основой любого анализа теории возмущений в квантовой теории поля, да и до сих пор этот подход позволяет дать особенно ясное введение в фейнмановские правила *.

6.1. Вывод правил

Исходной для нас является формула для S-матрицы, полу- ченная объединением дайсоновского ряда (3.5.10) с выражением (4.2.2) для состояний свободных частиц:

Sp′σ′ n′p′					σ′ n′			...,p σ			n p			σ	n	...
	1	1	1	2	2	2			1	1		1	2	2	2
		∞	(−i)N				z
=	å								d4x			. . . d4x					N b	Φ	0	, . . . a(p′ σ′ n′ )a(p′σ′ n′)
				N !							1									2 2 2	1 1 1	(6.1.1)
	N=0

× TlH (x1). . . H (xN )q a†(p1σ1n1)a† (p2σ2n2 ). . . Φ0 i .

Напоминание: метки р, σ и n отмечают импульсы частиц, их

спин и тип; штрихи относятся к меткам частиц в конечном состоянии; Φ0 — вакуумное состояние свободных частиц; a и а† —

операторы уничтожения и рождения; Т означает хронологическое упорядочивание, располагающее все H (x) в таком порядке, что аргументы x0 уменьшаются слева направо; H (x) — плотность гамильтониана взаимодействия, рассматриваемая как полином по полям и сопряженным полям,

H (x) = å gi Hi (x) ,	(6.1.2)
i

причем каждое слагаемое Hi является произведением определенного числа полей и им сопряженных полей каждого типа. Поле

* Мы используем современную версию функциональный интеграл русского перевода английского термина path intergral, предпочитая ее первоначальным и до сих пор используемым версиям «интеграл по путям» или «интеграл по траекториям». Это отвечает более широкому современному содержанию понятия. — Прим. ред.

346	Глава 6. Фейнмановские правила

частицы типа n, преобразующееся по определенному представлению однородной группы Лоренца (с учетом или без учета пространственных инверсий), дается выражением

yl (x) = å(2p)-3/2 z d3p[ul (p, s, n)a(p, s, n)eip×x

	s	(6.1.3)
	+ vl (p, s, n)a† (p, s, nc )e-ip×x ] .

Здесь nc — индекс античастицы типа n, а в показателе exp(±ip×x) компонента p0 равна p2 + m2n . Коэффициентные функ-

öèè ul è vl зависят от свойств поля по отношению к преобразованиям Лоренца и от спина частицы, которая описывается этим полем. Эти функции были вычислены в гл. 5. (Например, в случае скалярного поля коэффициент ul для частицы с энергией Е равен (2Е)−1/2, а для дираковского поля ul è vl - нормированные дираков-

ские спиноры, введенные в разделе 5.5.) Индекс l у поля следует понимать как указатель типа частицы и того представления группы Лоренца, по которому поле преобразуется. Кроме того, в него включается бегущий индекс, отмечающий компоненты поля в данном представлении.

Нет нужды рассматривать отдельно взаимодействия, содержащие производные полей; с нашей точки зрения, производная поля (6.1.3) есть просто другое поле, описываемое той же формулой, но с другими коэффициентами ul è vl. Ниже мы будем делать различие между некоторыми типами частиц, которые мы произвольно будем называть «частицами», например, электроны, протоны, и т. д., и типами частиц, которые будем называть «античастицами» (позитроны, антипротоны и т. д.). Полевые операторы, уничтожающие частицы и рождающие античастицы, будут называться просто «полями»; сопряженные им операторы, уничтожающие античастицы и рождающие частицы, будут называться «сопряженными полями». Конечно, у некоторых типов частиц, вроде фотона и p0-мезона, анти-

частицы тождественны частицам. В этом случае сопряженные поля пропорциональны самим полям.

Начнем перемещать все операторы уничтожения в формуле (6.1.1) направо, используя на каждом шаге соотношения коммутации или антикоммутации:

a(p s n)a† (p¢ s¢ n¢) = ±a† (p¢ s¢ n¢)a(p s n) + d3 (p¢ - p)ds¢sdn¢n , (6.1.4)

6.1. Вывод правил	347
a(p σ n)a(p′ σ′ n′) = ±a(p′ σ′ n′)a(p σ n),	(6.1.5)
a† (p σ n)a† (p′ σ′ n′) = ±a† (p′ σ′ n′)a† (p σ n).	(6.1.6)

(аналогично для античастиц). При этом из знаков ± справа выбирается знак «минус» , если обе частицы n, n′ — фермионы, и знак

«плюс», если одна или обе частицы — бозоны. Как только оператор уничтожения оказывается крайним справа (или оператор рождения — крайним слева), соответствующий вклад в (6.1.1) обращается в нуль, так как действие этих операторов на вакуумное состояние дает нуль:

a(p σ n)Φ0 = 0,	(6.1.7)
Φ†a† (p σ n) = 0.	(6.1.8)
0

Ненулевые вклады в (6.1.1) возникают от слагаемых с дельтафункциями в правой части (6.1.4), после того, как каждый оператор рождения и уничтожения в начальном или конечном состоянии или в плотности гамильтониана взаимодействия спарится с каким-то другим оператором уничтожения или рождения.

Таким образом, вклад в (6.1.1) данного порядка по каждому из слагаемых Hi в полиноме H (ψ(x),ψ†(x)) дается суммой по всем

способам спаривания операторов рождения и уничтожения2, каждый член суммы являтся интегралом от произведений множителей,

которые находятся по следующим правилам.

′

à)

′

Спаривание

конечной

частицы

ñ

квантовыми

числами

,

σ′

с сопряженным полем

ψ† (x)

â H

(x) дает множитель

p

, n

l

i

a(p

′ σ′

′

),

ψ†

(x)

=

(2

π

-3/2

e

-ip¢×x

*

(p

′ σ′

′

) .

(6.1.9)

n

l

m

)

ul

n

б) Спаривание конечной античастицы с квантовыми числами

p′, σ′, nc′ с полем ψ

(x) в H (x) дает множитель

l

i

a(p′ σ′ n′c), ψl(x) = (2π)-3/2 e-ip¢×x

m

в) Спаривание начальной частицы с p, σ, n с полем ψl(x) â Hi(x) дает множитель

vl(p′ σ′ n′) .	(6.1.10)
квантовыми	числами

348 Глава 6. Фейнмановские правила

		ψl (x), a† (p σ n)			= (2π)-3/2 eip×x ul (p σ n) .		(6.1.11)
				m
г) Спаривание начальной античастицы с квантовыми числами
p, σ, nñ с сопряженным полем ψ† (x)						в H (x) дает множитель
					l	i
	ψl† (x), a† (p σ nc )				= (2π)-3/2 eip×xvl* (p σ n) .		(6.1.12)
					m

д) Спаривание конечной частицы (или античастицы) с квантовыми числами p′, σ′, n′ с начальной частицей (или античастицей) с квантовыми числами p, σ, n дает множитель

	a(p′ σ′ n′), a† (p σ n)	= δ3 (p′ − p)δ	s¢s	δn n .	(6.1.13)
		m		¢

е) Спаривание поля ψl(x) â Hi(x) с сопряженным полем ψ†m(y) â

Hj(y) дает множитель *

	ψl+ (x), ψm+† (y)		± θ(y − x)		ψm-† (y), ψl- (y)
θ(x − y)						≡ −i	lm (x, y) , (6.1.14)
			m			m

ãäå ψ+ è ψ − − слагаемые в ψ, которые уничтожают частицы и

рождают античастицы, соответственно:

+

(x) = (2π)

-3/2

3

på ul (p σ n)e

ip×x

a(p σ n) ,

(6.1.15)

ψl

z d

s

-

(x) = (2π)

-3/2

3

påvl

(p σ n)e

-ip×x

a

†

(p σ n

c

) ,

(6.1.16)

ψl

z d

s

Напомним, что θ(x − y) — ступенчатая функция, равная +1

ïðè x0 > y0 è íóëþ ïðè x0 < y0. Такие ступенчатые функции возникают в (6.1.14) из-за хронологического упорядочивания в (6.1.1); спаривание поля уничтожения ψ+(x) в H (x) с полем рождения ψ+†(y) в H (y) можно учитывать, только если H (x) изначально

находится левее H (y) в формуле (6.1.1), т. е. если x0 > y0. Аналогич-

* Если взаимодействие H (x) записано в нормальной форме, как в (5.1.33), то отсутствует спаривание полей с сопряженными полями в одном и том же операторе взаимодействия. В противном случае необходима некоторая процедура регуляризации для придания смысла величине lm(0).