Векторы. Линейные операции над векторами

1.25. По данным векторам , построить векторы

= + 2,= 0,5– 2и найти их координаты:

1) = (1, 2),= (2, –1); 2)= (–1, 1), = (3, 1);

3) = (–2, –2), = (1, 1); 4) = (2, 4),= (1, –1).

1.26. В треугольнике АВС проведена медиана АD. Выразить вектор через векторы =,=.

1.27. Доказать, что треугольник с вершинами А(1; 2; 1),

В(3; –1; 7), С(7; 4; –2) – равнобедренный.

1.28. Доказать, что четырехугольник с вершинами А(–1; 0),

В(0;2), С(1; 2), О(0; 0) – параллелограмм.

1.29. Определить, являются ли зависимыми векторы , , :

1. = (2, –1,3) , = (1, 4, –1),= (0, –9, 5);

2. = (1, 2, 0), = (3, –1, 1),= (0, 1, 1).

1.30. Показать, что векторы , , образуют базис:

1) =(1, –1, 3), = (3, –1, 1), = (0, 1, 1);

3. = (5, –1,–3), = (2, 3, –1), = (1, –2, 3).

1.31. Даны четыре вектора ,,,в некотором базисе. Показать, что первые три из них образуют базис и найти координаты четвертого вектора в этом базисе:

№
1	(4, 5, 2)	(3, 0, 1)	(–1, 4, 2)	(5, 7, 8)
2	(3, –5, 2)	(4, 5, 1)	(–3, 0, –4)	(–4, 5, –2)
3	(–2, 3, 5)	(1, –3, 4)	(7, 8, –1)	(1, 9, 2)
4	(1, 3, 5)	(0, 2, 0)	(5, 7, 9)	(0, 4, –2)

1.32. Найти вектор из уравнения:

3 (–) + 2 (+) = 5 (+), где

= (2, 5, 1, 3), = (10, 1, 5, 10),= (4, 1, –1, 1).

Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов

1.33. Даны векторы ,. Вычислить:

1) ; 2); 3); 4);

5) угол между векторами и.

№	1	2	3	4
	(4, –2,–4, 8)	(1, 4, –2, 2)	(1, 1, 1, 1, 1)	(0, 1, 1 ,1 ,1)
	(5, –1, 3, –1)	(3, 1, 1, 5)	(–1, –1, 0, 1, 1)	(5, 1, –1, 1, –1)

1.34. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, производственно-экономические показатели которых приведены в табл,.1.1. Требуется определить следующие ежесуточные показатели:

1) расход сырья (S) ;

2) затраты рабочего времени (Т) ;

3) стоимость выпускаемой продукции (Р) .

Таблица 1.1

Вид изделий	Количество изделий , ед.	Расход сырья , кг.	Норма времени изготовления , ч / изд.	Цена изделия , ден. ед.
1	20	5	10	30
2	50	2	5	15
3	30	7	15	45
4	40	4	8	20

1.35. Предприятие выпускает четыре вида изделий с использованием четырех видов сырья. Нормы расхода сырья заданы матрицей А = (a_ij), где а_ij – норма расхода j-го вида сырья на одно изделие i-го вида. Требуется найти затраты сырья на каждый вид изделий при заданном плане выпуска соответственно 60, 50, 35 и 40 единиц.

1) 2 3 4 5 2) 1 0 1 2

1 2 5 6 2 1 1 0

А = 7 2 3 2 ; А = 1 3 0 0 .

4 5 6 8 5 0 1 1

1.36. Найти площадь треугольника с вершинами:

1) А (2; 2; 2), В (1; 3; 3), С (3; 4; 2);

2) А (–3; –2; –4), В (–1; –4; –7), С (1; –2; 2).

1.37. Дано   = 3,   = 8. Найти векторное произведение , если угол между векторами равен:

1)0; 2) 30; 3) 90; 4) 120; 5) 150.

1.38. Найти и построить вектор =, если:

1) = 2,= 3 ; 2) =, = ;

3) =, = .Определить в каждом случае площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

1.39. Найти вектор , перпендикулярный векторами, синус угла между векторамии, если:

1) = (1,–5,– 3),= (–2, 4, 3);

2) = (3, –2, 6), = (6, 3, –2);

3)= (3, 0, –4),= (1, –2, 2).

1.40. Установить, компланарны ли векторы:

1) = (1, 1, 3), = (0, 2, –1), = (1, –1, 4);

2) = (1, 2, 2),= (2, 5, 7),= (1, 1, –1);

3) = (1, –1, 2), = (3, 5, 0), = (5, 3, 4);

4) = (1, 1, –1), = (1, –1, 1), = (1, 1, 1).

1.41. Найти смешанное произведение ,и, если:

1) = (1, 1, 2), = (1, –2, 3), = (2, 1, 1);

2) = (5, –2, –1),= (1, –2, 1),= (1, 2, –2);

3) = (1, 1, 4), = (2, –1, –1), = (1, 3, –1).

1.42. Найти объем тетраэдра с вершинами в точках:

1) А (–1; 1; 0), В (2; –2; 1), С (3; 1; –1), D (1; 0; –2);

2) А (–4; –4; –3), В (–2;–1; 1), С (2; –2; –1), D (1; 3; –2).

1.43. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах = (3, 2, 1), = (1, 0,–1), = (1, –2, 1).

Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения