1.44. Линейный оператор в базисе задан матрицей а. Найти образгде:

1)= 4–3, А=; 2) =2+4–, А=

1.45. Проверить непосредственным вычислением, какие из данных ниже векторов являются собственными векторами матрицы А, и указать соответствующие собственные значения:

А = .=====

1.46. Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных матрицами:

1)А=2)А=3)А=4)А=.

47. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид:

А = .

Найти бюджет первой и второй стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что бюджет третьей страны равен 1100 усл.ед.

47. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид:

A=.

Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюджетов = 6270 усл.ед.

1.49.Отрасль состоит из 4-х предприятий; вектор выпуска продукции и матрица внутреннего потребления имеют вид:

Х = А =

Пользуясь моделью Леонтьева, найти вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли.

1.50. Данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый промежуток времени даны в табл.1.2. Требуется найти объем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление увеличить соответственно:

1)до 60, 70 и 30 единиц;

2) на 30, 10 и 50%.

Решить задачу методом обратной матрицы и методом Гаусса.

Таблица 1.2.

№ п/п	Отрасль	Потребление отрасли			Конечный продукт	Валовый выпуск
		1	2	3
1	Добыча и переработка углеводородов	5	35	20	40	100
2	Энергетика	10	10	20	60	100
3	Машиностроение	20	10	10	10	50

Раздел 2. Элементы аналитической геометрии Прямая на плоскости

2.1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А, параллельно: 1) оси ОУ, А(2; –3) ; 2) оси ОХ , А(1; 2) ; 3) прямой 2x – 3y + 1 = 0, А(2; –3); 4) прямой x + y – 2 = 0, А(1; 2).

2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А, перпендикулярно прямой: 1) 3х – 2у + 5 = 0, А (2; –1); 2) 2х + у – 7 = 0, А (0; 3).

3. А – вершина прямоугольника, противоположный угол образован осями координат. Составить уравнения сторон и диагоналей этого прямоугольника, если: 1) А (–4; 3); 2) А (2; 3).

4. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат OX и OY отрезки: 1) а = 2 и b = –5; 2) а = –1 и b = 4.

2.5. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А (4; 3), и отсекающей от координатного угла треугольник площадью 3 кв. ед.

Прямая и плоскость в пространстве

2.6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору, если:

1) (2; –3; 1),= (5, 1,–4); 2)(1; 0; 1),= (1,–2, 3).

2.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОУ и точку , если: 1)(2; –4; 3); 2)(–1; 2; –4).

2.8. Даны вершины треугольника АВС. Найти:

1)длину сторон; 2)уравнения сторон; 3)уравнение высоты, проведенной из вершины А; 4)уравнение медианы, проведенной из вершины В; 5)угол при вершине С; 6)площадь треугольника АВС; 7) с помощью неравенств описать внутреннюю область треугольника АВС.

№	А, В, С	№	А, В, С
1	(6;2),(30;–5),(12;19)	4	(4;3), (–12;–9), (–5;10)
2	(1;7),(–12;10),(–8;13)	5	(–7;5), (10;3), (–8;7)
3	(–2;1), (–2;–6), (–6;–3)	6	(–12;6), (12;–1), (–6;2)

2.9. Построить множества решений систем линейных неравенств и найти координаты их угловых точек .

№		№
1	2, –4, 6, 0, 0.	4	–5, 6, 0, 0   5, 0.
2	8, 3, 0, 2, 0   4, 0.	5	6, –3, 3, 0, 0, 0.
3	––3  0, –2  0, –1  0, 0, 4.	6	–12, 8, 0   6, 0   5.

Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола

2.10. Составить уравнение окружности с центром в заданной точке С и данным радиусом r: 1) С (4; –7), r = 5; 2) С (–6; 3), r = 3) С (3; –2),r = 3; 4) С (0; –2), r = 0,5.

2.11. Окружность с центром в точке S (12; –5) проходит через начало координат. Составить уравнение этой окружности.

2.12. Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок прямой 12х + 5у + 60 = 0, заключенный между осями координат.

2.13. Известно, что концы одного из диаметров окружности находятся в точках (2; –7) и(–4; 3). Составить уравнение окружности.

2.14. Составить уравнение прямой, проходящей через центры

окружностей х+у= 5 их+у+ 2х + 4у = 31. Найти отношение радиусов окружностей.

2.15. Составить уравнение диаметра окружности х+у– 6х + 14у – 6 = 0, перпендикулярного хорде х – 2у = 2.

2.16. Найти полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет эллипса: 1) 9х+ 25у– 225 = 0; 2) 16х+ 25у= 400.

2.17. Эллипс проходит через точки (4;) и(0; 6). Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса.

2.18. Найти координаты вершин, оси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот следующих гипербол:

1) 4х– 5у– 100 = 0; 2) 9х– 4у– 144 = 0;

3) 16х– 9y+ 144 = 0; 4) 9х– 7у+ 252 = 0.

2.19. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса += 1.

2.20. Найти координаты центра, вершин и уравнения асимптот гиперболы у = .

2.21. Составить уравнение параболы, проходящей через точки:

1) (0; 0) и (–1; –3) симметрично относительно оси ОХ;

1. (0; 0) и (2; –4) симметрично относительно оси ОУ.

2.22. Директрисой параболы, вершина которой находится в начале координат, является прямая 2х – 3 = 0. Составить уравнение параболы и найти ее фокус.

2.23. Найти уравнение параболы и ее директрисы, если известно, что парабола симметрична относительно оси ОХ, точка пересечения прямых у = х и х + у – 2 = 0 лежит на параболе и вершина параболы находится в точке с абсциссой, равной 0,5.

2.24. Найти расстояние от начала координат до прямой, проходящей через центр гиперболы у = , и вершину параболыу = – 2х+ 5х – 2.

2.25. Вершина параболы лежит в конце одного из диаметров окружности х+у= 9. Составить уравнение параболы, если общая хорда параболы и окружности лежит на прямойу – 2 = 0.