Раздел 3. Введение в математический анализ

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Предел последовательности и его свойства

3.1.Доказать, используя определение предела последовательности, что :

1) 2) ;

3) 4) .

2. Найти

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

3.3. Вычислить пределы, используя равенство :

1) 2) 3) ;

4); 5) 6).

Предел и непрерывность функции

3.4. Доказать, используя определение предела функции, что

1) 2)

3) ; 4) .

3.5. Найти пределы:

1) 2)

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13); 14); 15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22).

3.6. Найти пределы :

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22)

23) ; 24)

.

3.7. Исследовать функции на непрерывность:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

Формулыдифференцирования

1. ()' = ; частный случай: ()' = .

2. ()' = ; частный случай:

3. ()' = ; частный случай: ()' = .

4. (sinx)' = cosx . 5. (cosx)' = -sinx .

6. (tgx)' = . 7. (ctgx)' = .

8. (arcsinx)' = . 9. (arccosx)' = – .

10. (arctgx)' = . 11. (arcctgx)' = –.

Правила дифференцирования

1. 2. ( f + g ) ^´ = 3. .

4. 5. = . 6.

Здесь С – постоянная f = f(x), g = g(x) – дифференцируемые функции.

3.8. Найти производные функций по определению производной:

1) y = ; 2) y = ; 3) y = ;

4) y = sin x; 5) y = cos x ; 6) y = .

3.9. Найти производные функций:

1. ;

2. ;

3) ; 4);

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18);

19) ; 20);

21) ; 22) ;

23) ; 24);

25) ; 26) ;

27) ; 28) ;

29) ; 30) ;

31) ; 32) .

3.10. Найти y^´:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5); 6) ;

7) ; 8) .

3.11. Найти производные функций и вычислить их значения

при x = x₀:

1) ; 2) ;

3) ; 4)

3.12. Найти производные функций, заданных неявно:

1) ; 2) ;

3); 4) ;

5) ; 6) .

3.13. Обьем продукции u (усл.ед.) в течение рабочего дня представляет функцию u = , где t – время (ч). Найти производительность труда, скорость и темп ее изменения через 2 часа после начала работы; за 1 час до ее окончания (при 8 часовом рабочем дне).

3.14. Зависимость между издержками производства y (ден.ед.) и объемом выпускаемой продукции х (ед.) выражается функцией y = . Определить средние и предельные издержки при обьеме продукции, равном 5 ед.