Определенный интеграл Основные свойства определенного интеграла
1.
.
2. 
.
3.
.
4.
.
5.
.
Правила вычисления определенного интеграла
1. Формула Ньютона-Лейбница:
,
где F'(x) = f(x).
2.
Замена переменной: 
где
x
=
– функция, непрерывная вместе с 
на
отрезке
,
– функция, непрерывная на
.
3.
Интегрирование по частям:
,
где u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые на [a,b] функции.
Если f(x) – нечетная функция, то
.Если f(x) – нечетная функция, то
4.9. Вычислить интегралы:
1)
2) 
3) 
;
5) 
;
6) 
7)
;
8) 
9) 
10)
11)
;
12) 
;
13)
14)
;
15)
16)
;
17)
;
18)
;
19)
; 20) 
;
21) 
;
22)
.
4.10. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1)
; 2) 
;
3)
; 4) 
.
5)
6) 
7)
;
8) 
.
Дисконтированный доход при непрерывном начислении процентов
,
где f(t)
– функция
ежегодного дохода,
i – удельная норма процента, T – время начисления дохода.
411. Определить дисконтированный доход за T лет при процентной ставке i%, если первоначальное капиталовложение составило 1 млрд. руб. и будет увеличиваться ежегодно на 0,2 млрд. руб.:
1) T = 5, i = 10; 2) T = 10, i = 2.
Среднее
время, затраченное на изготовление
одного изделия
в период освоения от
до
изделий
,
где функция t
= t(x)
часто имеет вид
(а – затраты времени на первое изделие, b – показатель производительности процесса).
4.12. Найти среднее время, затраченное на изготовление одного изделия, если
;
.
Несобственные интегралы
4.13. Вычислить интегралы или установить их расходимость:
1)
; 2) 
;
3) 
;
4) 
;
5)
;
6)
;
7)
; 8)
.
Вычислить интегралы или установить их расходимость:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Раздел 5. Функции нескольких переменных
5.1. Найти область определения функции:
1)
;
2) 
;
3)
;
4) 
.
5.2. Найти линии уровня функций:
1)
; 2) 
;
3) 
;
4) 
.
5.3.
Найти 
:
1)
;
2) 
;
3)
;
4) 
;
5)
;
6) 
;
7)
;
8) 
.
5.4. Найти градиент функции в точке Р(2,1):
1)
;
2) 
;
3)
; 4) 
.
5.5.
Найти частные производные 2-го порядка
функций:
1)
;
2) 
.
5.6.
Доказать, что если 
то
.
5.7.
Доказать, что если 
то 
.
5.8. Исследовать функцию на экстремумы:
2)
;
3)
;
4) 
5.9. Как распределить сумму в $10 млн. между тремя компаниями так, чтобы их суммарная прибыль была наибольшей, если прибыль каждой определяется соответственно по формуле:
где
–
инвестируемая сумма.
5.10. Исследовать функцию на экстремумы и найти наименьшее и наибольшее значения в заданной области:
АВО:
А(-5;0), В(0;-5), О(0;0);
АВС:
А(2;0), В(0;2), С(0;-2).
5.11. Вычислить интегралы:
2)
4)
5.12.
Вычислить интеграл по заданной области
:
Раздел 6. Дифференциальные уравнения
6.1. Решить уравнения:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
6.2. Решить уравнения:
1)
2) 
3)
4)
5)
6)
7)
8) 
6.3. Решить уравнения:
1)
2) 
3)
4) 
5)
6) 
7)
8) 
9)
6.4. Решить уравнения:
1)
2)
3)
4)
6)
7)
8) 
6.5. Установить вид частного решения неоднородного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, если:
1)
2) 
3)
4)
6.6. Решить уравнения:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
