Колбасников Н.Г. - Физические основы прочности и пластичности металлов (2004)

формации является миграция границ − высокоугловых при рекристаллизации, малоугловых

− при полигонизации. Движущими силами этой миграции являются напряжения

σдв = σ − DTµ ∆Sстр(ε) − γr′s > 0 ,

где σ − внешние напряжения; − DT∆Sстр(ε)/µ − упрочнение после деформации ε при темпера-

туре Т; ∆Sстр − изменение энтропии металла во время деформации; D и µ − плотность и мо-

лярная масса материала; −γ's/r − напряжения типа поверхностного натяжения (лапласовы на-

пряжения), γ's − удельная поверхностная энергия границы, r − радиус ее кривизны.

Это выражение показывает, что миграция границы − конкурентный процесс, возмож-

ность и направление протекания которого зависят от знака напряжений σ и радиуса кривизны границы R. При этом предполагается, что деформационное упрочнение всегда стимулируют миграцию границы, так как −DT∆Sстр/µ>0, поскольку ∆Sстр<0.

Как известно, удельная поверхностная энергия границы γs′ может принимать значения от 0 до γs, где γs − удельная энергия свободной поверхности. Локальный радиус кривизны границы зерна изменяется в пределах −∞≤r≤−a, a≤r≤∞, где а − параметр кристаллической решетки. Можно полагать, что и деформационное упрочнение неравномерно по объему ма-

териала. В силу указанных соображений движущие силы миграции границ имеют вероятно-

стный характер, о чем мы уже упоминали ранее.

Для описания кинетики процесса можно воспользоваться моделью скорости дрейфа частицы (7.16), в данном случае атома границы, если на него действует сила F:

	t		=	R	=	RkT
		Р		V		σΣa2 Д

Пользуясь этой моделью, попробуем найти теоретические соотношения, показывающие возможные изменения плотности распределения времени релаксации f(λ) в зависимости от изменения значений основных факторов − температуры Т, степени деформации ε и размера зерна r металла.

Будем считать, что при температуре Т=Т0 провели опыты на релаксацию и определили функцию f(λ) в виде (7.35) как однопараметрическое экспоненциальное распределение.

7.7.1. Влияние температуры металла

Для анализа поведения функции f(λ) при изменении температуры воспользуемся физической моделью дрейфа границ как основного механизма релаксации и предположим, что движущие силы процесса постоянны, σΣ=const. Придадим времени t смысл времени релакса-

ции λ, как это уже было нами сделано в разделе 7.6 при разработке методики эксперимен-

150

тального определения f(λ). Это вполне обоснованно, поскольку выражение (7.16) способно

описать и время, за которое напряжения в металле уменьшаются в

е

раз, т.е. именно время

релаксации.

Из анализа выражения (7.16) следует, что чем выше Т, тем больше значение коэффици-

ента диффузии Д, тем меньше tр, поскольку в области высоких температур Д растет сущест-

венно быстрее, чем Т. Тогда

t

р0 =

T0 Д1

= Т0

Q∆T

= k

(7.37)

t

exp

р1

Т

1

Д

0

Т

1

RT T

1

0 1

где индекс «1» соответствует новой температуре Т1; Д − коэффициент диффузии,

Д=Д0

exp{−Q/RT}; R − универсальная газовая постоянная. Тогда для каждого времени релаксации

λi1 =

λi0 ,

(7.38)

k1

что означает сужение интервала распределения функции f(λ), как это показано на рис. 7.13.

Например, при Q = 134 кДж/моль, Т0 = 1200 К, Т1 = 1300 К,

∆Т = 100 К k1 = 2,59. Сле-

f0 (λ)

довательно, для однопараметрического экспоненциального рас-

T

пределения f(λ) при повышении температуры изменяется зна-

f1(λ)

чение параметра А. Найти его новое значение можно, используя

T0

λ

f2(λ)

T1

λ

условие нормировки

T2

λ

∞∫ f (x)dx =1.

0

Рис. 7.13. Изменение вида плот-

Обычно при интегрировании этого выражения довольст-

ности вероятности распределения

вуются некоторым интервалом распределения параметра, кото-

f(λ) при повышении температуры:

Т2<T1<T0

рый обеспечивает вероятность, скажем, 0,98, т.е. в нашем слу-

чае можно использовать условие

λk
∫ f (λ)dλ = 0,98.		(7.39)
0
Тогда при той же вероятности для температур Т0 и Т1 можно записать
λk	λk / k1
∫ f0 (λ)dλ =	∫ f1 (λ)dλ,	(7.40)
0	0

где λk − новый предел интервала распределения времен релаксации λ, как это следует из

(7.38).

После интегрирования (7.40) получаем

λ

λ

k

(7.41)

1

−exp

−

k

=1

−exp

−

,

k A

A

0

1 1

151

откуда

A =	A0	(7.42)
1	k1

В этом случае для нового распределения f1(λ) при температуре Т1 имеем

1

λ

k1

− k1λ

(7.43)

f1 (λ) =

exp

−

=

exp

A

A

A

A

1

1

0

0

Итак, определив из опытов на релаксацию напряжений при температуре Т = Т0 плот-

ность распределения вероятностей времен релаксации f0(λ) и располагая справочными данными о значениях коэффициента диффузии Д для исследуемого металла, можно найти вы-

ражение для fi(λ) при любой температуре Тi . Отметим, что вероятностные характеристики металла f(σ*) и f(λ), где f(σ*) − плотность вероятности распределения безразмерных внутренних напряжений, при повышении температуры ведут себя противоположным образом: f(σ*) стремится, как это показано в разделе 6.5, к прямоугольному (равномерному) распреде-

лению, для которого при всех σ* значения f(σ*)→1; f(λ) стремится к δ-функции.

7.7.2. Влияние движущих сил миграции границ зерен σдв

Аналогично температуре на функцию f(λ) влияют движущие силы миграции границ. В этом случае для Т = const по аналогии с (7.37) можно записать

t0

= λ0

=

σΣ2

= k2 ,

(7.44)

tр2

λ2

σΣ0

A2

=

A

k2

(7.45)

.

k2

k2λ

f2 (λ) = A

− A

exp

0

0

Индекс «2» соответствует состоянию металла с уровнем напряжений σдв2, которые за-

даются в основном величиной деформационного упрочнения. При σдв →0 λ2→∞, f(λ)→0, т.е.

релаксации напряжений практически не происходит. Тогда K(t)=σ(t), что и наблюдается при холодной деформации. Если σдв2>σдв0, то релаксационные процессы в металле должны ха-

рактеризоваться более высокой интенсивностью: λ2<λ0 , k2>1, A2>A0 . Этот вывод, получен-

ный при использовании выражений (7.44)−(7.45), подтверждается многочисленными экспериментальными данными и практикой обработки металлов давлением в целом. Кроме того, это подтверждается и основным уравнением релаксации (7.27), которое свидетельствует о том, что скорость релаксации напряжений в металле пропорциональна самим напряжениям.

7.7.3. Влияние размера зерна

152

∆Tф.п

Т

Рис. 7.14. Изменение коэффициента диффузии при фазовом превращении

Д

Определив из опытов на релаксацию напряжений при Т=Т0 функцию f0(λ) для металла с размером зерна d0, можно рассчитать интенсивность релаксационных процессов, т.е. вид функции f(λ) в металле с другим размером зерна. Влияние размера зерна на вид f(λ) состоит в возможном изменении пути миграции границы r = d/2 в выражении (3.44), а также − в не-

значительном изменении движущих сил процесса σΣ за счет влияния среднего радиуса кри-

визны границы r. Однако слагаемое −γs'/r в выражении (3.38) мало по сравнению с остальными, поэтому его влиянием можно пренебречь.

Положив, что напряжения σΣ = const, T = const, аналогично (4.43)−(4.44) запишем

tр0

=

r

= k3 ,

(7.46)

0

tр3

r3

A =

A0

,

3

k3

(7.47)

k

2

k

2

λ

f 3(λ) =

f 2 (λ) =

−

A

A

exp

0

0

В выражении (7.47) индекс «3» соответствует состоянию металла со средним радиусом зерна r3. При r3→0 k3→∞, λ3→0, f(λ)→δ(λ−λ*), релаксация напряжений происходит чрезвы-

чайно быстро; при r3→∞ λ3→∞, f(λ)→0, релаксация идет медленно.

7.7.4. Влияние полиморфных превращений на сопротивление деформации

Рассмотрим процесс охлаждения металла, во время которого происходят полиморфные превращения, например, охлаждение стали. Принятая нами физическая модель миграции границы зерна как основного механизма релаксации напряжений «чувствует», как было показано ранее, структурное состояние металла. По этой причине она должна реагировать и на протекающие в металле полиморфные превращения.

Во-первых, их влияние связано с возможным изменением коэффициента диффузии при переходе от одной кристаллографической модификации к другой скачкообразно или на некотором температурном интервале (рис. 7.14). Чувствительность релаксационных процессов к величине Т и Д была проанализиро-

вана в разделе 7.7.1.

Во-вторых, в результате полиморфного превращения изме-

няется параметр кристаллической решетки а. Аналогично тому,

как это было сделано в разделе 7.7.1 для изменения параметра а при постоянных σΣ, r, Т и Д, запишем

153

tр0			λ	0			a 2	= k4 ,
	=					=	4
tр4			λ4				a02
A	=	A0				,
4		k4

f 4 (λ) = k4 exp − k4 λ

A0 A0

Индекс «4» соответствует новому структурному состоянию металла, которое реализу-

ется в результате рассматриваемого полиморфного превращения. Например, если при γ→α превращении в железе параметр решетки уменьшится в 1,274 раза, то времена релаксации возрастут до уровня 1,632λ0, а сам процесс релаксации напряжений, соответственно, пойдет медленнее.

Если превращение «растянуто» на некотором интервале температур Ar3−Ar1 , то можно, очевидно, полагать, что

аА−Ф= аФ + (аА−аФ)mA(t),

(7.48)

где аА−Ф − среднее значение параметра решетки аустенитно-ферритной смеси; аА − параметр решетки аустенита, аФ − феррита, mА( t) − молярная концентрация аустенита в феррите как функция времени t или температуры металла Т.

В-третьих, во время превращения в металле изменяются тип атомно-кристаллической решетки, величина энергии связи атомов и, как следствие, значение модуля упругости Е. Скачкообразное изменение Е, согласно (6.41) вызывает аналогичное скачкообразное измене-

ние f(σ*):

	f4 (λ)		E4	1/(1−β)
					,
	f0 (λ)	=	E0

(β − показатель упрочнения, который определяется при комнатной температуре по диаграм-

ме упрочнения σт(ε) = σто +αεβ) и предела текучести металла согласно (6.43)

		1/(1−β)
σт4	= E4	.
σт0
	E0

Если превращение развивается в некотором температурном интервале, например, для стали Ar3−Ar1, то аналогично (7.48) можно записать:

ЕА−Ф=ЕФ+(ЕА−ЕФ)mA(t) (7.49)

В этом случае скачок σт(Т) растянут по температуре, причем тем сильней, чем шире интервал превращения.

Итак, суммируя изложенное, можно отметить, что влияние собственно полиморфного превращения сводится к следующим эффектам:

154

1)скачкообразному изменению коэффициента диффузии;

2)скачкообразному изменению параметра решетки;

3)скачкообразному изменению внутренних напряжений;

4)если превращение происходит на некотором температурном интервале, скачки ха-

рактеристик металла рассредоточиваются на всем интервале превращения ∆Тп.п.

Анализируя влияние значений Т, σдв , r на вид функции f(λ), которая задает «характер и качество памяти металла» (см. раздел 7.6), можно отметить, что скорость релаксационных процессов в деформируемом металле наиболее чувствительна к температуре, нежели к изменению внутренних напряжений и размера зерна. Влияние перечисленных факторов может быть как взаимоисключающим, гарантирующим сохранение функции f(λ) в неизменном ви-

де, так и взаимодополняющим, сильно искажающим первоначальный вид f(λ). В общем случае

f	(λ) = k1k2k3k4		− k1k2k3k4λ		(7.50)
		exp
i	A0		A0

Итак, выполненные нами исследования обеспечивают возможность по результатам всего лишь одного испытания на релаксацию напряжений при температуре Т=Т0 и заданной степени деформации ε=ε0 построить все возможные вариации fi(λ), присущие данному металлу при различных температурах и в различных структурных состояниях;

7.8. ИНТЕГРАЛЬНО-ВЕРОЯТНОСТНОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССОВ УПРОЧНЕНИЯ И ТЕРМИЧЕСКОГО РАЗУПРОЧНЕНИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СОПРОТИВЛЕНИЯ ДЕФОРМАЦИИ

Согласно сформулированному нами в разделе 6.5 принципу самоорганизации, во время деформации металл стремится сбросить структуру, образованную во время деформации, равно как и деформационное упрочнение. При горячей деформации этот сброс возможен, поскольку достаточно активно протекают диффузионные процессы, приводящие к самопроизвольной перестройке структуры. Распад структур сопровождается высвобождени-

ем энергии ∆Едис=−Т∆Sстр(ε), которая в виде тепла выделяется в окружающую среду. При этом общая энергия системы уменьшается, деформационное упрочнение снимается. Этот процесс развивается во времени t.

Введение координаты времени t позволяет трактовать металл как некоторую динамиче-

скую систему (рис. 7.15), на вход которой подается сигнал σт = σт(t) в виде деформирующих напряжений. При произвольной температуре деформирующие напряжения развиваются во времени по закону

155

		σт(t)=σт0 + α( ε& t)β,	(7.51)
где t =	ε	, где ε& − скорость деформации.
	ε&
На выходе системы формируется сигнал К(t) в виде разности
		K(t)=σт(t)−σр(t)	(7.52)

Выходной сигнал К(t) как разность подаваемых на вход системы без релаксации на-

пряжений σт(t) и выступающих в роли отрицательной обратной связи релаксированных на-

пряжений σр(t) является сопротивлением деформации металла. Значение К(t) зависит от степени и скорости деформации, температуры и структуры металла.

Преобразование σт(t) в K(t) происходит по определенным законам, которые обуслов-

лены внутренними параметрами металла, а именно − плотностью вероятности распределе-

ния времен релаксации f(λ), поскольку, как мы уже неоднократно отмечали, металл − вероятностная система, для характеристики которой используются вероятностные функции. Закон преобразования может быть выражен при помощи передаточной функции. Вспомним некоторые понятия теории управления.

σт(t)			K(t)	x(t)		y(t)
					A(t)
		Металл	σ (t)
			р
Рис. 7.15. Сопротивле-				Рис. 7.16. Металл
ние деформации как ре-				как простейшая
зультат процессов уп-				система управле-
рочнения и релаксации					ния
	напряжений

Представим металл системой управления (рис. 7.16), на вход которой подается сигнал x(t), а на выходе формируется y(t). Преобразование x(t) в y(t) происходит при помощи оператора системы A, в качестве которого в металле выступают релаксационные процессы (7.30)

Итак, подводя промежуточный итог, можно сказать, что мы разработали модель изме-

нения внутренних напряжений в металле как результат упрочняющего воздействия − возрастания неравновесности системы, и разупрочнения, как стремления системы к минимуму энергии. Фактически эта модель описывает сопротивление деформации металла во время его обработки при изменении параметров деформации − температуры, степени и скорости деформации.

При разработке модели использованы следующие положения, обоснованные нами ра-

нее:

1. Структура металла представляет собой распределение по его объему внутренних напряжений, создаваемых дефектами кристаллического строения. В этом случае любой струк-

156

туре металла можно поставить в соответствие именованное число, характеризующее меру беспорядка распределения этих напряжений − структурную энтропию

∆Sстр= −R ∫ f (σ* )ln f (σ* )dσ* ,

где f(σ*) − плотность распределения вероятностей безразмерных внутренних напряжений, которая может быть определена из опытов на растяжение.

2. Существует соотношение между средним уровнем внутренних напряжений σs и

структурной энтропией ∆Sстр, которое при выполнении условия пластичности (для одноосно-

го растяжения в виде σ=σs , где σ − внешние напряжения) задает взаимосвязь прочности металла (предела текучести) и его структуры для комнатной температуры

σ ≡ σs= DTµ0 ∆Sстр ,

где D и µ − плотность и молярная масса материала.

3. Структурная энтропия, являясь аддитивной функцией, учитывает вклад отдельных структурных элементов

∆Sстр=∆Sм+∆Sлег+∆Sф.п.+∆Sстр(ε)+...,

где ∆Sм − структурная энтропия матричного материала; ∆Sлег − учитывает вклад легирования;

∆Sф.п − фазовых (полиморфных) превращений; ∆Sстр(ε) − пластической деформации.

4. Температурное изменение структурной энтропии определяет изменение предела текучести металла

σт (Т) = DTµ0 ∆Sстр (T ) ,

или через температурное изменение модуля упругости

	Ei			1
σ = σ ϕ−1 = σ					,
			1−β
т i т0	т0
		E0

где индекс «i» принадлежит температуре, отличной от комнатной, для которой принят индекс «0».

5. Мы показали, что металл можно считать системой управления, на вход которой подается внешний сигнал в виде некоторого воздействия, например, деформирующие напряжения. Этот сигнал перерабатывается системой и в результате формируется выходной сигнал, который и фиксируется экспериментально. Такой подход позволил получить наследственную интегрально-вероятностную модель сопротивления деформации в виде

K(t) =σвх(t) − σр(t),

157

где σвх(t) − упрочняющее воздействие на металл, например, в виде зависимости «напряжение

− деформация», аппроксимированное выражением σ(ε)=σт0 + αεβ, либо другое воздействие на систему, например, фазовый наклеп;

t		∞
σр (t)∫g(t − θ)σ(θ)dθ	− релаксированные напряжения;	g(t − θ) = ∫exp[− (t − θ) / λ]f (λ)dλ −
0		0	λ

функция релаксации.

Таким образом, свойства деформируемого металла, который рассматривается нами как вероятностная среда, описываются при помощи двух плотностей распределения вероятно-

стей f(σ*) и f(λ): первая задает структурное состояние и вид функции σ(ε), а вторая − способ-

ность восстановления исходной структуры. Изменение функций f(σ*) и f(λ) определяет изменение свойств металла в процессах его обработки.

Нам удалось, используя условие нормировки и уравнение элементарного процесса ре-

лаксации, учесть изменение функции f(λ) практически для любых условий пластической и термической обработки металла. Это уравнение имеет вид

λ= lkT ,

σдва2 Д

где l − путь миграции межзеренной или межфазной границы при снятии напряжений во вре-

мя термического разупрочнения; k − постоянная Больцмана; Т − температура, а − параметр кристаллической решетки; Д − коэффициент диффузии; σΣ − движущие силы процесса.

При динамическом нагружении

σдв = σ − DTµ ∆Sстр (Т) − γr′s ,

где σ − внешние напряжения; −DT∆Sстр/µ − деформационное упрочнение; γs' − удельная по-

верхностная энергия границы; r − радиус ее кривизны. Для статических процессов в отсутствие внешних сил

σдв = − DTµ ∆Sстр (Т) − γr′s ,

а для собирательных

σдв = − γr′s .

Как следует из последних выражений, основным механизмом разупрочнения во время пластической деформации принимается миграция границ зерен, фаз, субзерен и им подоб-

ных образований под действием напряжений σдв.

Для идентификации вероятностной функции f(σ*) используются обобщенная реологическая модель упругопластической среды с упрочнением Ишлинского и опыты на растяже-

158

ние при температурно-скоростных параметрах испытания на растяжение, обеспечивающих отсутствие релаксационных процессов:

f (σ* ) = −1 + h d 2σ,

E dε2

где h − параметр упрочнения.

Для определения f(λ) можно использовать реологическую модель обобщенной среды Кельвина и опыты на релаксацию напряжений при одной из температур Т = Т0 , при которой релаксационные процессы протекают достаточно активно:

f0	(λ) =	1			−	λ
				exp			,
		A 0
						A 0

где А0 − параметр распределения, который определяется экспериментально. С учетом изме-

нения температуры металла, величины σ∑, размера зерна и параметра решетки а плотность распределения f(λ) можно представить в виде

	k1k2 k3k4							k1k	2 k3k4λ
fi (λ) =							−
					exp
		A0							A0
где коэффициент k1 учитывает изменение температуры и параметра диффузии,
			T0				Q∆T
	k	=									(7.53)
	1		T				RT T
			i					0 i

k2 = σдвi /σдв0 − учитывает изменение движущих сил разупрочнения (релаксации напряже-

ний); k3 = r0/ri − изменение размера зерна; k4 = (ai /a0)2 − параметра кристаллической решетки во время полиморфных или фазовых превращений.

Если не учитывать вероятностного и наследственного характера релаксационных процессов в металле, то рассмотренная нами модель значительно упрощается. В этом случае f (λ) = δ(λ − λ) , а изменение во времени релаксированных напряжений принимает вид

t

1

t − θ

т (θ)dθ.

(7.54)

σр (t) = ∫

exp

−

σ

λ

λ

0

Если σ(t) не зависит от времени и σвх=σвх0, то расчеты еще более упрощаются:

t

σр(t) = σвх0 exp

−

.

(7.55)

λ

Тогда для текущего времени t c учетом релаксации напряжений
						t
K(t) = σвх 0	− σр	(t) = σвх 0	(t) 1	− exp	−		.	(7.54)
						λ

В качестве входного сигнала σвх(t) принимается значение предела текучести от степени деформации σ(ε) или от времени σ(t) без учета релаксации напряжений, либо другое упроч-

159