646

Часть 4

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ИЗБИРАТЕЛЬНЫХ УСИЛИТЕЛЕЙ

Глава 18

ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ УСИЛИТЕЛИ И ЭТАПЫ ИХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

18.1. Назначение и основные параметры избирательных усилителей

Частотно-избирательные (селективные) устройства вообще и избирательные усилители в частности предназначены для селективного выделения сигналов с относительно узким спектром частот на фоне помех, наводок и шумов. Их называют также фильтрами (фильтрующими цепями). Устройства, которые наряду с селекцией производят усиление мощности сигналов, представляют собой избирательные усилители, которые отличаются от обычных тем, что они содержат фильтры, обеспечивающие селективное усиление сигналов.

Если требуется подавление высокочастотных помех и шумов с возможно большим усилением полезных сигналов с низкочастотным спектром, то применяют активные фильтры низких частот (ФНЧ), АЧХ которых представляются графиками, показанными на рис. 4.1.

Для выделения сигналов с высокочастотным спектром по сравнению с низкочастотными помехами и шумами применяют активные фильтры верхних частот (ФВЧ), АЧХ которых показаны на рис. 4.2.

Для фильтрации сигналов, спектральная плотность которых укладывается в узкой полосе пропускания с граничными частотами fн и fв, близкими друг к другу, применяют полосовые фильтры, АЧХ которых представлена на рис. 4.3.

Глава 18. Избирательные усилители и этапы их проектирования

647

а б

Рис. 4.1. Гладкая (а) и равноволновая (б) нормированные АЧХ ФНЧ

а б

Рис. 4.2. Гладкая (а) и равноволновая (б) нормированные АЧХ ФВЧ

Рис. 4.3. Нормированная АЧХ полосового фильтра

648	Часть 4. Проектирование избирательных усилителей

Нормированная АЧХ ФНЧ (см. рис. 4.1) обычно задается следующими параметрами:

1) граничной частотой fгр, равной частоте, при превышении которой искажения сигнала становятся больше предельно допустимой величины;

2) полосой пропускания fп, определяемой разностью fп =

=fв – fн. Для ФНЧ fп = fв, так как fн = 0;

3)неравномерностью АЧХ в полосе пропускания ε, опреде-

ляемой допустимыми искажениями сигнала в заданной полосе частот;

4) коэффициентом Kп, характеризующим близость АЧХ к АЧХ идеального ФНЧ. Коэффициент Kп определяется отношением частоты fз, соответствующей заданному значению нормированной АЧХ (на рис. 4.1 – это Мз) вне полосы пропускания, к граничной частоте, т.е.

Kп = ffгрз .

В теории цепей частоту fз называют частотой заграждения, а коэффициент Kп – коэффициентом прямоугольности, так как Kп характеризует близость реальной АЧХ к идеальной АЧХ в виде прямоугольнойхарактеристики сKп = 1 (см. С наАЧХна рис. 4.1, а).

Для подавления низкочастотных помех и шумов применяют активные ФВЧ. Как видно из АЧХ таких фильтров (см. рис. 4.2), с их помощью можно ослабить помехи и шумы до требуемого уровня Мз, частотный спектр которых простирается в области fш ≤ fз. Применение активных ФВЧ позволяет существенно увеличить отношение сигнал/шум в области низких частот, в которой особенно заметно влияние шумов рекомбинации-генерации типа 1/f

(см. гл. 10).

Синтез и проектирование усилителей с характеристиками ФВЧ производят по тем же табличным данным, что и ФНЧ [1],

преобразованием вида p =	ω2	( р и р – операторы в передаточ-
	н
	р

ных функциях ФНЧ и ФВЧ соответственно; ωн = ωгр – нижняя граничная частота ФВЧ). Смысл такого преобразования заключается также в том, что на основании элементов прототипа ФНЧ можно установить структуру ФВЧ.

Глава 18. Избирательные усилители и этапы их проектирования

649

Полосовые усилители предназначены для бoлее или менее равномерного усиления сигналов в сравнительно узкой полосе, однако в пределах сугубо конечной полосы пропускания f. AЧХ идеального полосового усилителя должна иметь вид прямоугольной площадки, ограниченной частотами fн и fв, в пределах которой Kи = Km, а вне ее Kи = 0.

Реальный полосовой усилитель имеет АЧХ колоколообразного вида (см. рис. 4.3), максимумы которой могут и несколько отличаться. Она содержит полосу пропускания и полосы заграждения, между которыми образуются переходные полосы. Полосу пропускания полосового фильтра определяют как область частот, где нормированная АЧХ М(f) отклоняется от единицы не более чем на некоторую величину ε, которую называют неравномерностью АЧХ в полосе пропускания.

Границы полосы пропускания определяются нижней fн и верхней fв граничными частотами, а ширина полосы пропускания

– их разностью fп = fв – fн.

Полосу заграждения фильтра определяют как область частот, в которой нормированная АЧХ не превышает некоторого достаточно малого значения Мз на частотах fз1 и fз2. Близость АЧХ к идеальной прямоугольной характеризуют коэффициентом прямоугольности

Kп =	fз2 − fз1		=	fз	>1.
	fв − fн			fп
Таким образом, для полосового усилителя специфическими
параметрами являются:
• центральная частота	f0 =	fн fв ;

• нижняя fн и верхняя fв граничные частоты полосы пропускания, определяемые на уровне М(fгр) (обычно М(fгр) = 1– ε, а для

гладкой АЧХ М( fгр) = 12 );

• коэффициент прямоугольности полосовой характеристики, определяемый расширением полосы пропускания при переходе к некоторому более низкому уровню Мз:

Kп =	fз	=	fз2 − fз1	.
	fп		fв − fн

650Часть 4. Проектирование избирательных усилителей

•добротность Qy не имеет смысла для полосового усилителя, так как она не может служить мерой неидеальности и не определяет однозначно скорость затухания переходных процессов;

•относительная величина прогиба ε полосовой характеристики в пределах полосы пропускания, определяемого отклонением неравномерности АЧХ.

Разновидностью полосовых усилителей являются резонансные усилители, которые предназначены для усиления сигналов только в очень узком диапазоне частот – в идеальном случае для

усиления сигнала одной определенной частоты fр. У идеального резонансного усилителя АЧХ должна иметь вид бесконечно узко-

го пика на частоте fр, где коэффициент усиления достигает величины Km и Kи = 0 при fp < f < fр. АЧХ реального резонансного усилителя (рис. 4.4) по форме совпадает с АЧХ колебательного контура, т.е. имеет вполне конечную, хотя и очень узкую полосу

пропускания fп (определяемую на уровне 0,707 от Km).

Рис. 4.4. Нормированная АЧХ резонансного усилителя

Помимо обычных для усилителей параметров (Rвх, Rвых, Km и т.д.) резонансные усилители характеризуются рядом специфических параметров, таких, как:

•резонансная частота (fp или ωр) – частота, на которой Kи =

=Km;

•добротность резонансной характеристики, определяемая

отношением

Qу = ffpп = ωωpп .

Глава 18. Избирательные усилители и этапы их проектирования

651

Иногда вместо добротности Qу указывают обратную ей величину – так называемый коэффициент затухания dэкв, при помощи которого определяется степень затухания переходного про-

цесса в резонансном усилителе:

dэкв = 1 . Qу

Требуемый коэффициент усиления не всегда может быть обеспечен избирательным усилителем, основное назначение которого – селективное усиление. Заданное усиление можно обеспечить обычными усилителями, соответствующим образом рассчитав входной и выходной каскады.

Избирательные усилители в основном строятся включением частотно-избирательного контура в выходные цепи усилительных каскадов и применением частотно-избирательной обратной связи. Их разделяют на:

•усилители с фиксированной резонансной частотой или с фиксированными граничными частотами;

•усилители с перестройкой резонансной частоты или граничных частот, отличающиеся от первых наличием регулировочных элементов, с помощью которых производится перестройка.

Селекцию сигналов можно реализовать аналоговыми и цифровыми устройствами. Аналоговые фильтры строят на функциональных селективных элементах, таких, как кварцевые, электромеханические, электротепловые фильтры, фильтры на поверхностных акустических волнах (ПАВ) и устройствах, содержащих реактивные элементы (индуктивные катушки, конденсаторы), при помощи которых реализуют требуемые АЧХ и ФЧХ.

В монографии рассматриваются основные этапы проектирования аналоговых избирательных усилителей на основе активных RC-фильтров и LC-контуров.

18.2. Математический синтез избирательных усилителей

Математический синтез избирательных усилителей, связанный с определением частотных характеристик и передаточной функции усилителя, производят аппроксимацией АЧХ и ФЧХ функциями, приближающими реальные характеристики к иде-

652	Часть 4. Проектирование избирательных усилителей

альным. Эту задачу решают [1] на основе синтеза прототипа, представляющего собой фильтр нижних частот (ФНЧ), с последующим преобразованием частотных характеристик ФНЧ в соответствующие характеристики ФВЧ или полосового фильтра.

Таким образом, на первом этапе математический синтез избирательного усилителя реализуется выполнением формально таких же процедур, что и при синтезе широкополосных усилителей, однако со следующими отличиями.

При синтезе ФНЧ-прототипа, предназначенного для реализации ФВЧ или полосового RC-фильтра, требуемые частотные характеристики получают включением конденсаторов, емкости которых рассчитывают так, чтобы полоса пропускания fп, граничные частоты fв и fн соответствовали указанным в ТЗ значениям.

Эти же параметры для широкополосного усилителя ограничиваются паразитными емкостями и инерционностью транзисторов (корректирующие конденсаторы включают лишь для ограничения неравномерности АЧХ).

Второе отличие заключается в том, что при выборе порядка фильтра п определяющим фактором является не площадь усиления Sf = fвKu, а коэффициент прямоугольности Kп, величиной которого характеризуется затухание вне полосы пропускания.

Указанные виды АЧХ являются основными, но не исчерпывают многообразия АЧХ аналоговых устройств, применяемых на практике. Однако в большинстве случаев АЧХ, которые встречаются на практике, удается свести к указанным АЧХ. Некоторые особые фильтры, например фазовые корректоры, могут быть синтезированы по аналогичной методике.

При математическом синтезе АУ сначала требуется определить масштаб преобразования обрабатываемых сигналов по коэффициентам усиления или преобразования K. Этот коэффициент определяется отношением требуемого значения выходного сигнала к заданной величине входного сигнала. Что касается определенных требований к входному и выходному сопротивлениям, стабильности характеристик и т.д., то они учитываются на этапе схемотехнического синтеза АУ, когда производится выбор элементов схемы.

Таким образом, математический синтез связан, во-первых, с определением коэффициента усиления или коэффициента преоб-

Глава 18. Избирательные усилители и этапы их проектирования

653

разования АУ и, во-вторых, с решением более сложной задачи: синтезом частотной характеристики АУ исходя из требований к точности преобразования гармонических сигналов в заданном диапазоне частот. Эта процедура сводится к отысканию функции, аппроксимирующей частотную характеристику АУ. Одну из лучших среди реализуемых аппроксимаций обеспечивает дробь Золотарева, требующая, однако, обращения к эллиптическим интегралам и громоздкому математическому аппарату. Более удобным и простым является аппроксимация частотных характеристик дробно-рациональными функциями, в общем случае имеющими следующий вид:

pma

m

+ pm−1a

m−1

+... + pl a

l

+... + pa

+ a

0

H

n

( p) = K

1

, (18.1)

pnb

+ pn−1b

+... + p b

+ b

−1

+... + pk b

n

n

k

1

1

0

где для краткости записи оператор Штейнметца jω заменен оператором р, т.е. р = jω.

Таким образом, задача математического синтеза АУ на первом этапе сводится к аппроксимации частотной характеристики дробно-рациональной функцией вида (18.1), коэффициенты аl и bk которой должны быть определены так, чтобы мера близости этой функции к параметрам частотной характеристики, указанным в ТЗ, укладывалась в пределах допустимых отклонений ε.

Из множества функций Hп(р), удовлетворяющих указанным условиям, выбирается функция, которая при наинизшем порядке полинома передаточной функции n обеспечивает наибольшую меру близости ρmin. В этом заключается суть оптимизации в про-

странстве параметров оператора.

18.2.1.Математический синтез аналоговых устройств

счастотными характеристиками ФНЧ

Процедуру математического синтеза проиллюстрируем на примере синтеза АУ с частотной характеристикой ФНЧ. Такая последовательность изложения объясняется тем, что синтез АУ с частотными характеристиками ФНЧ и ПФ можно свести к синтезу ФНЧ.

Нормированная АЧХ ФНЧ (см. рис. 4.1) обычно задается параметрами:

654Часть 4. Проектирование избирательных усилителей

граничной частотой fгр, равной частоте, при превышении которой искажения сигнала становятся больше предельнодопустимой величины;

полосой пропускания fп, определяемой разностью	fп =
= fв – fн. Для ФНЧ fп = fгр, так как fн = 0, fв = fгр;

неравномерностью АЧХ в полосе пропускания , определяемой допустимыми искажениями сигнала в заданной полосе частот;

коэффициентом Kf, характеризующим площадь усиления, т.е. добротность АУ.

Коэффициент Kf для ФНЧ определяется отношением частоты fз, соответствующей заданному значению нормированной АЧХ (на рис. 4.1 это Мз) вне полосы пропускания к граничной частоте,

т.е. Kf = fз/fгр = з/ гр. В теории фильтров частоту fз называют частотой заграждения, а коэффициент Kf = Kп – коэффициентом прямоугольности, так как при этом Kп характеризует близость реальной АЧХ к идеальной АЧХ в виде прямоугольной характеристики с Kп = 1. При синтезе широкополосных усилителей уровень Мз выбирают так, чтобы fз равнялась частоте единичного усиления f1, на которой модуль K(f1) = 1. При таком определении коэффициент Kf оказывается пропорциональным площади усиления АУ, которая определяется произведением Sf = Kfгр f1.

Наиболее часто синтез реализуется путем аппроксимации АЧХ на основании заданных параметров fгр, , Kп. Иногда при синтезе определяющими являются требования к фазовой характеристике, при этом аппроксимируют ФЧХ.

При реализуемых аппроксимациях удобным и простым является аппроксимация частотных характеристик полиномиальными функциями, имеющими для ФНЧ следующий вид:

M n2

H

n

( j )

2

1

,

( )

K

c2n

2n

c2(n 1)

2(n 1)

... c4

4

c2

2

1

где = / гр = f/fгр – нормированная частота; п – порядок передаточной функции, операторное выражение которой имеет вид

Hn ( p)			K		.
	b pn b		pn 1 ... b pk ... b p 1
	n	n 1	k	1

Глава 18. Избирательные усилители и этапы их проектирования

655

Полиномиальная аппроксимация получила наибольшее распространение, так как она связана со сравнительно простым расчетным аппаратом и при этом обеспечивает достаточную площадь усиления при относительно невысоком порядке полинома п. Не менее важной является и простота реализации АУ.

Аппроксимация полиномами Баттерворта. Эта аппрокси-

мация обеспечивает АЧХ, гладкую в полосе пропускания (рис. 4.5), и определяется функцией

	M n (ν) =	1		=	1	,	(18.2)
		1+ r2 B2	(ν)		1+ r2ν2n
		n

где Вп = νп – полином Баттерворта; ν = ω/ωгр = f/fгр – нормированная частота; r – коэффициент неравномерности, определяемый через неравномерность АЧХ соотношением

r =	1	−1 .	(18.3)
(1	− ε)2

Рис. 4.5. Нормированные амплитудно-частотные характеристики ФНЧ, аппроксимированных полиномами Баттерворта

Коэффициент прямоугольности можно определить из соотношения Kп = νз, где νз = fз/fгр – нормированная частота, соответствующая Мз. Поскольку в выражении Мп(ν) фигурирует частота ν, нормированная по граничной частоте fгр, то очевидно, что коэффициент Kп равняется нормированной граничной частоте полосы заграждения νз = fз/fгр. Действительно, в соответствии с определением коэффициента прямоугольности

Kп =	fз	=	fз2 − fз1	=	fз	= νз .
	fп		fв − fн		fгр

Таким образом, определив νз из соотношения

656	Часть 4. Проектирование избирательных усилителей

		Mз =						1	,			(18.4)
					1 + r2νз2п
получим
K		= ν		= 2n	1			1		≈	1 .	(18.5)
	п		з						−1
					r	2		2			n rMз
								Mз

Чем выше степень полинома п, тем меньше коэффииент Kп, т.е. тем ближе АЧХ к идеальной. При заданной п данная аппроксимация обеспечивает больший Kп, чем чебышевская (см. далее), однако линейность ФЧХ при данной аппроксимации лучше.

Процесс аппроксимации сводится к определению степени п, при которой коэффициент Kп ≤ Kп.доп. Можно сказать, что п и Kп связаны соотношением

	1		1			1				ln(rM		)
n =		ln							ln Kп −		з		.	(18.6)
				2			2
	2					M		−1		ln Kп
		r					з

Коэффициент r определяют из заданной неравномерности АХЧ по формуле (18.3).

Для конструирования передаточной функции требуется знать полюсы, которые могут быть определены из уравнений

		p	2n				p	2n		1
	1 + r2ν2n ≡1 + r2	к		= 0	или		к		= −		.
		jω					jω			r2
		гр					гр

Таким образом, получим формулу для определения полюсов

рk =

ωгр

n +1 + 2(k −1)

=

n

r

exp jπ

2n

=

ωгр

π

+

2k −1

+ j sin

π

+

2k −1

,

n

r

cos

1

n

1

2

2

n

k = 1, 2, …, п.

Полюсы расположены равномерно на окружности радиуса ωгр / n r в комплексной плоскости симметрично относительно

мнимой оси. При этом угол между соседними полюсами Δϕп = π/п. К аппроксимируемой АЧХ следует относить только те полюсы, которые лежат в левой полуплоскости, так как только при этом условии АУ будет работать устойчиво. Такое расположение по-

Глава 18. Избирательные усилители и этапы их проектирования

657

люсов является одним из условий, исключающих самовозбуждение АУ. Отсюда передаточная функция определяется выражением

	n
	(−1)n ∏pk						K
Hn ( p) = K	k =1	=								,
	n		d	n	sn + d	n−1	sn−1 +... + d	k	sk +... + d s +1
	∏( p − pk )								1
	k =1

где s = p/( ωгр / n r ) – нормированный оператор Лапласа. Коэффи-

циенты dk полинома Баттерворта табулированы (см. табл. 4.1 и 4.2 в приложении к части 4).

Отметим некоторые особенности аппроксимации полиномами Баттерворта.

1. Аппроксимация полиномами Баттерворта одновременно обеспечивает оптимальный синтез АЧХ, гладкой в полосе пропускания. Эта АЧХ оптимальна в том смысле, что при заданной элементной базе и прочих равных условиях она обеспечивает наибольшую полосу пропускания. Иначе говоря, при аппроксимации АЧХ полиномами Баттерворта частотная характеристика получается оптимальной по площади усиления, определяемой произведением Sf = Kfгр f1. Следовательно, при реализации усилителя с такой АЧХ для выбранной элементной базы будет получена наибольшая граничная частота fгр (при заданном коэффициенте усиления K) или наибольший коэффициент усиления K (при заданной граничной частоте fгр).

Таким образом, при аппроксимации АЧХ полиномами Баттерворта математический синтез завершается составлением оптимальной передаточной функции АУ.

2. Независимо от порядка полинома коэффициент dп при нормированном операторе s = p/( ωгр / n r ) старшей степени п все-

гда равняется единице. При этом нормированная передаточная функция имеет вид

h(s) =	Hn ( p)	=			1			.	(18.7)
	K		sn + d		sn−1 +... + d
				n−1		k	sk +... + d s +1
							1

658Часть 4. Проектирование избирательных усилителей

Ктакому виду можно приводить передаточную функцию любого АУ с частотной характеристикой ФНЧ, нормировав опе-

ратор р по коэффициенту n bn при старшей степени, т.е. заменив

в ненормированном выражении передаточной функции (не содержащей нули)

h( p) = bn pn + bn−1 pn−1 +...1+ bk pk +... + b1 p +1

оператор р на s = p n bn . Тогда получается выражение вида (18.7),

в котором безразмерные коэффициенты dk определяются соотношениями:

d

n−1

=

bn−1

, …, d

k

=

bk

, …,

d = b1 .

(n

b )n−1

(n b )k

1

n b

n

n

n

Такая нормировка примечательна тем, что нормировочный

коэффициент

n b

связан с коэффициентом

k

фр

= n K / b

, кото-

n

n

рый пропорционален произведению импульсных добротностей активных элементов, составляющих аналоговое устройство. Это обстоятельство создает определенные удобства на этапе оптими-

зации, так как в большинстве случаев отношение	n K / b – за-
	n

данная величина.

3. При аппроксимации полиномами Баттерворта граничная частота fгр оказывается связанной с коэффициентом bn и, соответственно, с частотой единичного усиления f1 соотношением

	fгр =	1	n	r		f1	.
		2π		bn		n K / r

Аппроксимация полиномами Чебышева. Аппроксимация по Баттерворту обеспечивает монотонную АЧХ, но с большим коэффициентом Kп. Более круто спадающие АЧХ вне полосы пропускания получаются при аппроксимации по Чебышеву. При этом в полосе пропускания АЧХ представляется равноволновой функцией с коэффициентом неравномерности r (рис. 4.6). Вне полосы пропускания АЧХ быстро и монотонно спадает, так как функции Чебышева резко возрастают при ν > 1.

Глава 18. Избирательные усилители и этапы их проектирования

659

Рис. 4.6. Нормированные амплитудно-частотные характеристики ФНЧ, аппроксимированные полиномами Чебышева

АХЧ, аппроксимированная полиномами Чебышева, имеет

вид			Mn (ν) = K(ν) =	1
					,	(18.8)
			Km	1 + r2Cn2 (ν)
где	Km	– максимальное значение			модуля	АЧХ K(ν);
r =	1		−1 – коэффициент неравномерности, который связан
	(1 − ε)2
с неравномерностью соотношением (18.3).
	Неравномерность АЧХ ε (см. рис. 4.6) определяется относи-
тельной		величиной наибольшего		отклонения АЧХ в полосе

пропускания от максимального значения модуля АЧХ, которое при данной нормировке равняется единице. При этом ε = (Km –

– Kmin)/Km. Отметим, что при нормировке АЧХ по Km на границе области средних частот (ν = 0) модуль М2т+1(0) = 1 и М2п(0) =

=1/ 1 + r2 соответственно для АЧХ, аппроксимированных нечетными и четными полиномами Чебышева. На граничной же

частоте (ν = 1) М2т+1(0) = М2т(0) =1/ 1 + r2Сп2 (0) =1/ 1 + r2 .

Полином Чебышева п-го порядка представляет собой функ-

цию вида		[(ν +	ν2 −1)п + (ν − ν2 −1)п].
Сп(ν) =	1			(18.9)
	2
В частности, первые шесть полиномов Чебышева				имеют
вид:			С2(ν) = 2ν2 – 1;
С1(ν) = ν;
С3(ν) = 4ν3 – 3ν;			С4(ν) = 8ν4 – 8ν2 +1;

С5(ν) = 16ν5 – 20ν3 + 5ν; С6(ν) = 32ν6 – 48ν4 + 18ν2 – 1.

660	Часть 4. Проектирование избирательных усилителей

Для удобства расчетов полиномы Чебышева можно представить тригонометрическими функциями в полосе пропускания и гиперболическими вне этой полосы:

Сп(ν) = cos[n(arccos ν)] для 0 ≤ ν ≤ 1;

Сп(ν) = сh[n(аrсh ν)] = сh[nln(ν + ν2 −1 )] для ν ≥ 1.

При выбранной нормированной частоте ν = f/fгр коэффициент прямоугольности совпадает с шириной полосы по уровню Мз и

определяется выражением

1

2

1

2

Kп ≡ νзch

,

ln T (M з) + T

(M з) −1

≈ c h

n

ln

rM

n

з

где T (Mз) =

1

1

−1 .

r

Mз2

Так же, как и при аппроксимации полиномами Баттерворта,

задаваясь Мз = 1/K, можно определить коэффициент Kf

через

частоту единичного усиления f1 по формуле

K f

≡

f

1

1

2

1

2

K .

≈ c h

ln

K

2

n

r

fгр

n

r

При этом связь между f1 и fгр определяется приближенным

соотношением

1

2

1

K

f1 ≈

2 fгрn

r

K = 2π n b

,

n

2

2

п

где b

=

.

r

n

ω

гр

С увеличением ε и п коэффициент Kf уменьшается. Таким образом, по допустимой неравномерности ε и заданному коэффициенту прямоугольности Kп определяют порядок полинома

	n =	ln[T (Mз) +	T 2 (Mз) −1]	≈	ln 2 − ln(rMз)		(18.10)
		ln(Kп +	Kп2 −1)		ln(Kп +	Kп2 −1)

и коэффициент неравномерности (см. (18.3)).

Глава 18. Избирательные усилители и этапы их проектирования

661

Передаточная функция имеет вид

n

n

sk

1

h( p) ( 1)

.

sn

d

sn 1 ... d

sk ... d s d

s s

k

k

0

k 1

n 1

1

Ее полюсы определяются из уравнения

1 + r2 Cn2 ( ) 1 r2Cn (s / j) 0,

где s = p/ гр – нормированный оператор.

Можно показать, что полюс sk = – k

j k имеет действи-

тельную и мнимую части, определяемые соотношениями:

1

k

shysin

(2k

1)

(n

M1

n

M 2 )sin

(2k 1)

;

2n

2

n

2n

r

1

k

ch ycos

(2k

1)

(n

M1

n

M

2 )cos

(2k 1)

,

2n

2

n

r

2n

1

1

1

1

1

1

2

где

y

arsh

ln

1

;

M

1

1 r

1

1;

2

n

r

n

r

1

r

M 2 1 r2 1 1 .

Простые множители, произведением которых определяется знаменатель передаточной функции h(s), и значения коэффициентов dk табулированы (табл. 4.3 и 4.4 в приложении к ч. 4).

Отметим, что АУ с характеристикой, определяемой полиномами Чебышева, при прочих равных условиях можно реализовать на элементах с меньшей добротностью, т.е. с более низкой частотой единичного усиления. Это получается в результате неравномерности АЧХ, допускаемой в полосе пропускания.

Взаключение отметим, что если требуется синтезировать передаточную функцию, имеющую нули, то используется более сложная аппроксимация, например инверсными полиномами Чебышева или Кауэра [2].

Вряде устройств предъявляются определенные требования к ФЧХ. Так, при селекции сигналов необходима высокая линейность ФЧХ для обеспечения одинакового группового времени

задержки tз = – ( )/ . Наиболее распространенный способ получения линейной ФЧХ – аппроксимация по Тейлору.

662Часть 4. Проектирование избирательных усилителей

18.2.2.Преобразование частоты – синтез аналоговых устройств с частотными характеристиками

фильтра верхних частот и полосового фильтра

При синтезе АУ с указанными частотными характеристиками используют те же аппроксимации, что и для ФНЧ, применив преобразование переменной ω, т.е. преобразование частоты. Суть преобразования частоты сводится к замене ω в аппроксимирующей функции для прототипа ФНЧ частотой ω для ФВЧ или полосовых фильтров (ПФ), которую связывают с определенным соотношением преобразования (здесь и в последующем изложением параметры прототипа ФНЧ отмечены чертой).

Синтез АУ с частотными характеристиками ФВЧ. Пере-

даточную функцию АУ с характеристиками ФВЧ можно получить из передаточной функции ФНЧ преобразованием вида

р = ωн2 / р, что равносильно преобразованию частоты по закону ω = −ωн2 / ω. При этом частоте − ωгр соответствует нижняя гра-

ничная частота ωн ФВЧ. Действительно, ωгр = −ωн2 / ωн и –ωгр = ωн.

Смысл такого преобразования частоты заключается в том, что это – отображение НЧ характеристики в область низших частот. Поскольку это преобразование проводится изменением знака, то частотная характеристика ФВЧ получается отображением частотной характеристики прототипа – ФНЧ, простираемой в область «отрицательных частот», не имеющих физического смысла. Следовательно, характеристике ФВЧ в истинной полосе пропускания, т.е. в диапазоне частот ωн = ωгр ≤ ω < ∞, соответствует характери-

стика ФНЧ в фиктивной полосе пропускания ( − ωгр ≤ ω ≤ 0 ), а ха-

рактеристика в	истинной	полосе заграждения ФВЧ
(0 ≤ ω ≤ ωгр = ωн )	совпадает с	характеристикой НЧ-прототипа в

фиктивной полосе заграждения ( − ∞ < ω ≤ ωгр ) [3]. При этом АЧХ прототипа М(−ω) = М(ω) , а ФЧХ ϕ(−ω) = −ϕ(ω). Для фильтра

верхних частот АЧХ и ФЧХ описываются теми же функциями, что и упрототипаФНЧ, однакобезразмернаячастотадляФВЧоказывается обратнойвеличиной ν спротивоположнымзнаком:

Глава 18. Избирательные усилители и этапы их проектирования

663

ω

− ω2 / ω

1

1

ν =

=

н

= −

= −

.

ω

ω

ω/ ω

ν

гр

гр

н

Передаточную функцию ФВЧ можно получить соответст-

вующей функции ФНЧ преобразованием вида

ωгр2

ω2

р =

≡

н

,

(18.11)

р

р

т.е. hФВЧ(р) = hФНЧ( ω2

/ р) . При этом простые множители прини-

н

мают вид

р/ рk

1

=

1

=

.

р − р

ω

2

/ р − р

2

k

k

р − ω / р

k

гр

н

Из последнего соотношения следует, что при переходе к

ФНЧ каждый полюс прототипа

рk преобразуется в ωн2 / рk , а в

числителе появляется нуль – р/ рk . Последнее дает п-кратный

нуль в начале координат и постоянный множитель в знаменателе, равный произведению всех корней знаменателя ФНЧ. Таким образом, передаточная функция ФВЧ имеет вид

	n	n		рk			рп
hФВЧ( p) = (−1)		∏				=		.
			ω2	/ р − р			п
		k =1	гр		k		∏( p − pk )
							k =1

Полюс ФВЧ

ω2

ω2

ω2

р

=

гр

=

гр

=

гр

(−σ

− jω ) = −σ

+ jω .

− σ

+ jω

σ2

+ ω2

k

р

k

k

k

k

k

k

k

k

k

Из последнего уравнения следует, что:

• устойчивость элемента с передаточной функцией ФНЧ не

ω2

нарушается, так как − σk

= −σk

гр

< 0 ;

σ2

+ ω2

k

k

•

добротность полюсов,

определяемая

отношением модуля

|pk| =

σ2

+ ω2

к удвоенной величине действительной части 2σk,

k

k

не изменяется:

Q =

| p

k

|

=

ωгр2

/ | pk

|

=

| p

k

|

;

ω2 σ

/ | p

|2

k

2σ

k

2

k

k

2σ

k

гр

664Часть 4. Проектирование избирательных усилителей

•мнимые части полюсов меняют знак: ωk = −ωk ;

•модули полюсов (собственные частоты) ФНЧ и ФВЧ связаны соотношением |pk| = ωгр2 / | рk | , т.е. полюсы ФНЧ, лежащие

вне круга радиусом ωгр = ωн , переходят в полюсы, лежащие внут-

ри круга радиусом ωн, и наоборот.

Поскольку добротность полюсов, как мы отметили, сохраняется, то стабильность характеристик ФВЧ примерно такая же, как и у прототипа ФНЧ, хотя их схемотехническая реализация разная.

Отметим, что преобразование частоты приводит к заметному изменению линейности ФЧХ. Действительно,

∂ϕ(ω)

∂ϕ(ω)

∂ω

∂ϕ(ω)

∂

ω2

ω2

∂ϕ(ω)

=

=

−

н

=

н

.

∂ω

∂ω ∂ω

ω

∂ω ∂ω

∂ω ∂ω

Синтез АУ с частотными характеристиками полосового фильтра. Полосовая АЧХ (см. рис. 4.3) характеризуется следующими параметрами:

• нижней fн и верхней fв граничными частотами полосы пропускания fп = fв – fн, определяемой на уровне ε нормированной АЧХ;

• центральной частотой f0 = fн fв ;

•относительнойравномерностью АЧХв полосе пропускания ε;

•коэффициентом прямоугольности полосовой характеристики, определяемым относительным расширением АЧХ при переходе к некоторому более низкому уровню Мз:

Kп =	fз	=	fз2 − fз1	.
	fп		fв − fн

Передаточную функцию ПФ тоже можно получить из передаточной функции прототипа ФНЧ преобразованием

р = р +	ω2	,	(18.12)
	0
	р

что равносильно преобразованию частоты по закону

ω = ω− ω02 .

ω

Глава 18. Избирательные усилители и этапы их проектирования

665

Это преобразование переводит точку ω = 0 характеристики ФНЧ в ω = ω0 для полосового фильтра; точку ω → ∞ в две точки: ω = 0 и ω → ∞; наконец, точки ω = −ωгр и ω = ωгр – в частоты

среза ω = ωн и ω = ωв. При этом граничные частоты ПФ связаны с граничной частотой ФНЧ соотношениями

ω2

2

ω

2

ω

− ωгр = ωн −

0

гр

−

гр

(18.13)

ω

→ ωн =

ω0

+

2

2

;

н

ω2

2

ω

2

ω

ωгр = ωв −

0

→ ωв =

гр

+

гр

(18.14)

ω

ω0

+

2

2 .

в

Значит, ширина полосы пропускания

ωп = ωв − ωн = ωгр = ωп

совпадает с шириной полосы пропускания ФНЧ-прототипа. Следует знать, что вообще ширина полосы АЧХ полосового

фильтра по любому уровню М ≤ 1 совпадает с шириной полосы ФНЧ-прототипа по тому же уровню. Так, ширина полосы по уровню Мз, определяемому разностью Δωз = ωз2 – ωз1, действительно остается неизменной, т.е. ωз = ωз = ωз . В этом нетруд-

но убедиться, рассчитав частоты ωз1 и ωз2 по формулам, получен-

ным аналогично (18.13) и (18.14):

ω

2

ωз 2

−

ωз

;

ω

= ω

2

ωз 2

ωз

,

= ω +

2

+

+

2

з1

0

2

з2

0

2

а затем определив разность Δωз = ωз2 – ωз1 = ωз .

Таким образом, коэффициент прямоугольности АЧХ полосового фильтра Kп равен коэффициенту Kп своего ФНЧ-прототипа, если уровень Мз, по которому определяется расширение АЧХ, одинаковой величины.

АЧХ полосового фильтра геометрически симметрична относительно своей центральной частоты ω0 = ωнωв . Действитель-

но, так как произведение граничных частот по любому заданному уровню остается неизменным, т.е.

		ω2		ω	2		ω		ω2		ω	2		ω		= ω2	,
ω ×ω =			+	1		−	2	×		+	1		+	2
1 2		0		2			2		0		2			2		0

666	Часть 4. Проектирование избирательных усилителей

то и произведение ωнωв = ω02 , что свидетельствует о геометриче-

ской симметрии АЧХ относительно ω0.

АЧХ и ФЧХ полосового фильтра можно получить из соответствующих соотношений, полученных для прототипа, преобразовав нормированную частоту по формуле

ω

1

ω2

ω

ω

ω

1

1

1

1

ν ≡

=

ω−

0

=

0

−

0

=

ν −

=

ν −

,

ω

ω

ω

ω

ω

ω

δω

ν

δf

ν

гр

гр

гр

0

где

δω =

ω0

=

ωп =

1

;

δf

=

fп =

1

– относительная полоса

ω

Q

Q

ω

f

0

гр

0

пропускания; ν = ω/ω0 = f/f0.

Преобразование частоты не сохраняет линейность ФЧХ, однако для узкополосных характеристик (δf << 1) отклонение ФЧХ невелико:

∂ϕ

∂ϕ

∂ω

∂ϕ

∂

ω2

∂ϕ

ω

2

=

=

ω−

0

=

1

+

0

.

∂ω ∂ω ∂ω

∂ω

ω

∂ω

ω

∂ω

Существенным отличием преобразования частоты для ПФ от аналогичной операции ФВЧ является то, что при этом добротность полюсов не сохраняется – она повышается. При подстанов-

ке р = р + ω02 / р в передаточную функцию h( p) можно убедить-

ся, что это преобразование порождает п-кратный нуль в начале координат и удваивает число полюсов. При этом если передаточная функция ФНЧ-прототипа имеет порядок п, то передаточная функция ПФ будет иметь порядок 2п. Действительно, передаточная функция ФНЧ

n

pk

hn ( p) = (−1)n ∏

p − pk

k =1

при подстановке р = р + ω2

/ р принимает вид

0

n

n

pk

n

n

ppk

h2n ( p) = (−1)

∏

= (−1)

∏

.

2

2

2

k =1 p +

ω0

− pk

k =1

p

− ppk + ω0

p

Полюсы передаточной функции h2n(р) определяются из уравнения p2 − ppk + ω02 = 0, k =1, 2, …, п. Следовательно:

Глава 18. Избирательные усилители и этапы их проектирования

667

1) каждый вещественный полюс

pk

= −σk порождает пару

вещественных или комплексно-сопряженных полюсов:

p

k1

= 1

(−σ

k

+ σ

2

− 4ω2 ) ; p

k 2

=

1 (−σ

k

− σ2

− 4ω2 ) ,

2

k

0

2

k

0

если σk ≥ 2ω0, или

p

k1

= 1 (−σ

k

+ j 4ω2

− σ2 ) ; p

k 2

=

1 (−σ

k

− j 4ω2

− σ2 ) ;

2

0

k

2

0

k

2) каждая пара комплексно-сопряженных полюсов ФНЧ-

прототипа

pk = −σk ± jωk

порождает

две

пары

комплексно-

сопряженных полюсов:

σ

k

ω

ω

pk1,2 = −

k

k

;

2

Aω

1 +

± jAω0 1 + 2Aω

0

0

σ

k

ω

ω

pk 3,4

= −

k

k

,

2

Aω

1 −

± jAω0 1 − 2Aω

0

0

| pk |

2

2

2

| pk

2

1

ωk

2

где A =

1

−

ωk

|

2

1

2ω

+

ω

+1 −

2ω

+

2

ω

.

0

0

0

0

В узкополосных ПФ, для которых справедливо неравенство δω = δf << 1, эти выражения заметно упрощаются, поскольку

| pk | / ω0 <<1 и А 1:

σ

k

ω

ω

pk1,2

−

+

k

+

k

;

2

2ω

2ω

1

± jω0 1

0

0

σ

k

ω

ω

pk 3,4

−

−

k

−

k

2

1

2ω

± jω0 1

2ω

.

0

0

Из этих соотношений следует, что если ω0 >>1/ 2 | pk | , то добротность полюсов ПФ значительно больше, чем у НЧ-прототипа:

Q	ω0 >> Q =		| pk | =	σk2 + ωk2 .
k	σk	k	2σk	2σk
Увеличение добротности приводит к повышению чувстви-

тельности характеристик узкополосных ПФ по сравнению с ФНЧ и ФВЧ.

668Часть 4. Проектирование избирательных усилителей

18.3.Схемотехнический синтез избирательных усилителей

Схемотехнический синтез схемы избирательного усилителя, суть которого заключается в составлении электронной цепи, соответствующей заданной математической модели, выполняется в два этапа. Первый из них – структурный синтез, а второй – па-

раметрический (см. п. 1.3).

На этапе структурного синтеза, исходя из передаточной функции, которая была получена на стадии математического синтеза, устанавливается схема АУ, состоящая из соответствующих элементов и звеньев, на основе которых можно реализовать АУ с заданными характеристиками.

Как отмечалось, структурный синтез импульсных и широкополосных усилителей реализуется эвристическим способом. В устройствах, предназначенных для фильтрации сигналов, эту процедуру можно реализовать аналитическим путем, проведя перестановку и замену реактивных элементов в соответствии с законом преобразования оператора Лапласа р по формулам (18.11)

и (18.12), что равносильно преобразованию частоты ω = −ωн2 / ω

и ω = ω− ω2	/ ω. Именно таким способом проводится структур-
0

ный синтез звеньев ФВЧ и ПФ в последующих разделах.

На этапе параметрического синтеза, основываясь на системе уравнений, связывающих коэффициенты полиномов передаточной функции с параметрами реализуемой схемы с коэффициентами передаточной функции, полученной на стадии математического синтеза, определяют параметры активных звеньев, пассивных элементов, цепей обратных связей, корректирующих цепей и т.д., обеспечивающие реализацию АУ с заданными характеристиками.

Схемотехнический синтез переплетается с завершающей процедурой – анализом, целью которого является установление варианта схемы, обладающего наименьшей чувствительностью к разбросу, нестабильности параметров элементов схемы и превосходящего остальные варианты по технологическим, масс– габаритным и экономическим показателям. Таким образом, наряду с верификацией [4], т.е. анализом, с целью установления соот-

Глава 18. Избирательные усилители и этапы их проектирования

669

ветствия синтезированной схемы требованиям ТЗ, производится оптимизация как структуры схемы, так и параметров элементов. Первая из этих операций производится при структурной верификации, когда анализируются различные варианты синтезированных структурных схем (для выбора оптимальной из них). Вторая операция реализуется при параметрической верификации, когда анализируются синтезированные схемы с целью оптимизации параметров элементов схемы, а также учета влияния параметров, которые не были учтены при упрощении синтеза.

18.3.1. Структурный синтез базовых элементов активных фильтров

Для реализации активных фильтров наряду с аналоговыми усилителями применяют базовые элементы, структура которых определяется на основании их математических моделей, рассмотренных в п. 18.2.

В аналоговых устройствах, предназначенных для фильтрации сигналов, таких, как ФНЧ, ФВЧ и ПФ, требуемые характеристики реализуются, как правило, применением реактивных элементов: конденсаторов и индуктивных звеньев. Воспользоваться же действующими в транзисторах и ИОУ паразитными реактивностями для формирования требуемых характеристик не рекомендуется, так как существенный разброс паразитных элементов заметно осложняет решение проблемы фильтрации на этой основе.

Рассмотрим базовые элементы указанных фильтров. Элементы ФНЧ. Одним из основных элементов ФНЧ явля-

ется апериодическое звено с передаточной функцией первой степени

	На.з( р) =	Kа.з		,	(18.15)
		рτа.з +1
	с коэффициентом усиления Kа.з	и постоянной			времени τа.з =

=1/2πfгр. Такую передаточную функцию имеют усилительные каскады на биполярных и униполярных транзисторах [4], у которых верхняя граничная частота fв = fгр и, соответственно, постоянная времени в области высших частот τа.з определяются инерционностью транзисторов и паразитными реактивностями, шунтирующими выход схемы. На основе ИОУ, охватив его отрица-

670	Часть 4. Проектирование избирательных усилителей

тельной обратной связью, можно реализовать апериодическое звено более высокого порядка.

На рис. 4.7 (а и в) представлены схемы замещения звеньев ФНЧ, первая из которых построена на конденсаторе Сп, а вторая

– на индуктивной катушке Lп. В этих схемах усилитель представлен источником напряжения U&вх (эквивалентным выходному на-

пряжению усилителя при холостом ходе) с выходным сопротивлением Rвых = R1. Нагрузкой элемента является сопротивление R2.

Рис. 4.7. Схемы замещения звеньев ФНЧ-прототипа с конденсатором (а) и индуктивным звеном (в) и соответствующие им элементы ФВЧ (б, г)

Постоянные времени апериодических звеньев на рис. 4.7 определяются соотношениями

τа.з = Сп(R1||R2); τа.з = Lп/(R1 + R2).

Апериодическое звено, используемое в активных RC- фильтрах, как правило, реализуют на ИОУ, охватив его обратной связью в виде резистивно-емкостной цепи. Такой способ организации, во-первых, обеспечивает высокую степень стабильности характеристик элемента (благодаря действию обратной связи) и, во-вторых, исключает необходимость использования громоздкой индуктивной катушки L.

Наиболее просто реализуется инвертирующее апериодическое звено (рис. 4.8, а), в котором как усиливаемый сигнал Uд, так и цепь обратной связи, состоящей из резистора Rо.с и конденсатора С, подключаются к инвертирующему входу ИОУ. При этом происходит инвертирование сигнала и обеспечивается охват ИОУ отрицательной обратной связью в области низших и средних частот.

Глава 18. Избирательные усилители и этапы их проектирования		671

аб

Рис. 4.8. Схемы инвертирующего (а) и неинвертирующего (б) апериодических звеньев на ИОУ с резистивно-емкостной цепью обратной связи

Коэффициент усиления такого звена определяется приближенным отношением

K&а.з ≈ −	Zo.c	=	Kа.з	,
	R
			1 + jωτа.з
где Kа.з ≈ −Ro.c / R – коэффициент			усиления в области средних

частот; τа.з = Rо.сС – постоянная времени обратной связи, величиной которой определяется граничная частота апериодического звена: fгр =1/ 2πτа.з .

Разумеется, что представленными соотношениями можно воспользоваться, если частота единичного усиления ИОУ f1ис не менее чем на два порядка превышает fгр.

Если не требуется инвертировать сигнал Uд, то его подают на неинвертирующий вход ИОУ (см. рис. 4.8, б). Цепь обратной связи Rо.сС непосредственно к этому выводу подключать нельзя, так как в этом случае ИОУ оказывается охваченным положительной обратной связью, что приводит к самовозбуждению ИОУ. При этом вместо усилителя образуется генератор.

Чтобы охватить ИОУ1 в канале прямой передачи отрицательной обратной связью, необходимо производить инвертирование сигнала обратной связи Uо.с. В схеме на рис. 4.8, б эту операцию производит инвертор на ИОУ2, к выходу которого подключается цепь обратной связи апериодического звена Rо.сС. Параметры неинвертирующего апериодического звена определяются с учетом

672	Часть 4. Проектирование избирательных усилителей

коэффициента передачи инвертора Kинв ≈ Rинв1 / Rинв2 следующими

формулами: Kа.з ≈ KинвRо.с / R ; τа.з ≈ KинвRо.сС, где обычно Kинв ≈ 1. Для реализации многозвенных ФНЧ используется второй элемент, представляющий собой интегратор с передаточной

функцией

Ни( р) = ±	ωе.и	,	(18.16)
	р

где ωе.и – частота единичного усиления. Для инвертирующего интегратора ωе.и =1/ RC , для неинвертирующего ωе.и =1/ KинвRC.

Интеграторы строятся по таким же структурным схемам, как и апериодические звенья (см. рис. 4.8), с той лишь разницей, что резистор Rо.с в канал обратной связи не включают.

Многозвенные активные фильтры можно реализовать каскадным включением активных звеньев или включением взаимосвязанных звеньев. Особенностью каскадной реализации является то, что в схеме не применяются перекрестные обратные связи или общие обратные связи, охватывающие устройство в целом. Используются только обратные связи в каждом звене в отдельности для получения соответствующих параметров и характеристик, а также для их стабилизации.

Современные активные фильтры строят по структуре взаимосвязанных звеньев, так как при этом достигается более высокая стабильность характеристик АУ, снижается их чувствительность к разбросу параметров звеньев и элементов схемы. Такие фильтры реализуют применением многопетлевых обратных связей, из которых наиболее распространенной структурой является схема с перекрестными связями через звено. Цепи обратных связей, охватывающих пару звеньев (первое и второе, второе и третье и т.д.), здесь как бы «прыгают» друг через друга. Это так называемая LF- структура, получившая название от первых букв английских слов Leap Frog, что переводится как «чехарда». Входное и выходное звенья построены на апериодических звеньях, а промежуточные звенья, как правило, на интеграторах.

На рис. 4.9 показана структурная схема трехзвенного ФНЧ с перекрестными связями. Здесь используются инвертирующие апериодические звенья. Но чтобы перекрестные обратные связи,

Глава 18. Избирательные усилители и этапы их проектирования

673

реализуемые передачей выходного напряжения интегратора на инвертирующий вход апериодического звена, а во второй паре – передачей выходного напряжения второго апериодического звена на вход интегратора, были отрицательными, при использовании на входе и выходе инвертирующих апериодических звеньев промежуточный интегратор должен быть неинвертирующим звеном.

Рис. 4.9. Схема трехзвенного ФНЧ с перекрестными связями, построенного по LF-структуре

В двухзвенном ФНЧ используют инвертирующее и неинвертирующее апериодические звенья с тем, чтобы общая обратная связь, охватывающая эти звенья, была отрицательной.

Элементы ФВЧ. Схему элементов ФВЧ и ПФ можно получить из схемы ФНЧ-прототипа, произведя перестановку и замену реактивных элементов в соответствии с законом преобразования оператора Лапласа р или частоты ω (см. п. 18.2). Для перехода от моделей элементов ФНЧ, описываемых выражением (18.15), в виде электрических цепей (см. рис. 4.7, а и в), в первой из которых в качестве реактивного элемента используется конденсатор Сп, шунтирующий выход, а во второй – индуктивное звено Lп, включенное последовательно с выходом к моделям звеньев ФВЧ необходимо производить замену емкости эквивалентной индуктивностью и наоборот. Так, конденсатор Сп, шунтирующий выход, т.е. параллельно включенный, надо заменить экви-

валентной индуктивностью L = 1/(Сп ωн2 ) (см. рис. 4.7, г), а последовательно включенную индуктивность Lп – емкостью C = l/(Lп ωн2 ) (рис. 4.7, б).

674	Часть 4. Проектирование избирательных усилителей

Если речь идет о схемотехническом синтезе цепей, состоящих из разделительных элементов (конденсаторов, межкаскадных трансформаторов) и блокирующих конденсаторов, то на этапе составления конфигурации схемы указанные преобразования с прототипом не требуется производить, так как в этом случае место расположения и схемы включения реактивных элементов известны.

Синтез и проектирование усилителей с характеристиками ФВЧ производят по тем же табличным данным (см. табл. 4.1 и 4.2), что и ФНЧ, преобразованием вида p = ωн2 / р ( р и р – операторы в передаточных функциях ФНЧ и ФВЧ соответственно; ωн = ωгр – нижняя граничная частота ФВЧ). Смысл такого преобразования заключается также в том, что на основании элементов прототипа ФНЧ можно установить структуру ФВЧ. Например, преобразование передаточной функции апериодического звена показывает, что в качестве элемента ФВЧ надо использовать усилитель с дифференцирующей цепью.

На рис. 4.10 представлена структурная схема ФВЧ с передаточной функцией второго порядка, которая реализуется охватом общей обратной связью через делитель Rо.с1 Rо.с2 усилителя с двумя дифференцирующими RC-цепями.

Рис. 4.10. Схема двухзвенного ФВЧ

ФВЧ реализован на двух ИОУ, охваченных местными обратными связями через делители R2–Rо.с2 и R4–R3, при помощи которых устанавливают требуемые значения коэффициентов усиления, определяемых приближенными соотношениями:

			R2				R4
		+			,	KиII ≈		+1,
	KиI ≈ − 1		R				R
			o.c				3

где Ro.c = Ro.c1||Ro.c2.

Рис. 4.11. АЧХ и ФЧХ активного резонатора

Глава 18. Избирательные усилители и этапы их проектирования

675

Элементы ПФ. Базовыми элементами ПФ являются резонансное звено с передаточной функцией

Hp ( p) = ±

Km

(18.17)

p

ω

1 + Q

+

p

ω

p

p

p

и активный резонатор

pωАР

Н

( p) = ±δω

.

(18.18)

AР

e p2 + ω2

АР

Первый из этих элементов, АЧХ которого практически совпадает с АЧХ резонансного усилителя (см. рис. 4.4), характеризуется коэффициентом усиления Km на резонансной частоте ωр и добротностью резонансной характеристики Qр = ωр/Δωп = fр/ fп, величина которой обратно пропорциональна полосе пропускания

фильтра fп, определяемой на уровне Km / 2 . Параметрами, ха-

рактеризующими активный резонатор (частотные характеристики которого показаны на рис. 4.11), являются резонансная частота ωАр и полоса пропускания Δωе, устанавливаемая на единичном уровне, через которую определяется δωе =

= ωе/ωАр.

Как показано на рис. 4.11, на резонансной частоте ωАр коэффициент передачи активного резонатора стремится к бесконечности. В действительности он ограничивается предельным усилением активного элемента – усилителя.

Числовые значения данных параметров устанавливают при математическом синтезе на основании требований к фильтру, указанных в ТЗ.

Структурные схемы элементов ПФ также можно составлять, производя перестановку и замену реактивных цепей ФНЧпрототипа, т.е. в схемах апериодического звена и интегратора с

676	Часть 4. Проектирование избирательных усилителей

передаточными функциями (18.15) и (18.16) в соответствии с законом преобразования оператора Лапласа р по формуле (18.12)

p = р + ωн2 / р .

При преобразовании апериодических звеньев ФНЧпрототипа в резонансные звенья ПФ конденсатор Сп (рис. 4.12, а) надо заменить параллельным LC-контуром (рис. 4.12, б). В этом нетрудно убедиться, проведя преобразование

			2			1
		р +	ω0		= Ср +		,
	Сп р = Сп		р			Lp

где емкость LC-контура С = Сп и индуктивность L =1/(Cпω02 ) определяются параметрами элемента ФНЧ-прототипа: Сп и ω0.

Рис. 4.12. Схемы замещения апериодических звеньев ФНЧ-прототипа

сконденсатором (а) и индуктивным элементом (в)

исоответствующие им схемы звеньев полосового фильтра

спаралльельным (б) и последовательным (г) LC-контуром

Аналогично в схеме апериодического звена ФНЧ-прототипа с последовательно включенной индуктивностью Lп (рис. 4.12, в) надо ее заменить последовательным LC-контуром, представив резонансное звено ПФ в виде схемы (рис. 4.12, г) с параметрами

L = Lп и С =1/(Lпω02 ) , полученными на основании преобразования

			2			1
		р +	ω0		= Lр +		.
	Lп р = Lп		р			Cp

Второе звено ПФ – активный резонатор – тоже реализуют преобразованием звена ФНЧ-прототипа – интегратора, переда-

Глава 18. Избирательные усилители и этапы их проектирования

677

точная функция которого Ни( р ) определяется формулой (18.16).

При этом математические модели интеграторов можно получить из моделей ФНЧ, преобразовав их в интеграторы следующим образом:

– для схемы на рис. 4.12, а с конденсатором Сп

	U			1					еи
Ни( р)		вых								,
				pRCп 1				p
	IR

где частота единичного усилителя интегратора еи 1/(RCп) ;

– для схемы на рис. 4.11, в с индуктивной цепью Lп

Ни(

р

)

1

e

и

Lп

p

1

p

R

с частотой единичного усиления еи R / Lп .

Модели активных резонаторов тоже составляют преобразованием оператора p р 02 / р , представив их функцией (18.18)

НAр( p) e		p 0
	p	2 2
		0

с частотой единичного усиления активного резонатора

	еи			1		и	еи		R
е				Ар	С R	е				L
	0				п		0		Ар	п

соответственно для схемы с конденсатором Сп и индуктивной

цепью Lп.

Математические модели базовых элементов ПФ на активных RC-цепях также составляют на основании преобразования оператора р , как и в элементах на LC-контурах, но с той лишь разни-

цей, что структурную схему RC-элементов ПФ можно реализовать применением частотно-избирательной обратной связи [1].

На рис. 4.13 представлены структурные схемы резонансных звеньев, у которых в канал прямой передачи включено апериодическое звено на ИОУ1, а в канале обратной связи интегратор на ИОУ2. Эти схемы составлены на основании преобразования оператора Лапласа p р н2 / р в модели элемента ФНЧ-прототипа апериодического звена следующим образом:

					Kа.з					На.з ( р)
Нр.з( р) [На.з ( р)]			р	р 02 / р							,
					2	/ р) а.з 1			1	На.з( р)Ни( р)
					( р 0

678	Часть 4. Проектирование избирательных усилителей

где На.з(р) = Kа.з/(рτа.з + 1) и Ни(р) = ωеи/р – передаточные функции апериодического звена в канале прямой передачи и интегра-

тора с частотой единичного усиления в канале обратной связи.

Рис. 4.13. Структурные схемы инвертирующего (а) и неинвертирующего (б) резонансных звеньев с включением интеграторов в канал

обратной связи

В схеме на рис. 4.13, а используется инвертирующее апериодическое звено с постоянной времени τа.з = Rо.сС1. При этом, чтобы реализовать отрицательную обратную связь, применяется неинвертирующий интегратор с частотой единичного усиления

			ωеи =	1	,
		Rинв1		RиCиKинв
	где Kинв ≈		– коэффициент передачи инвертора на ИОУ3.
		Rинв2

Схема на рис. 4.13, б построена на неинвертирующем апериодическом звене с постоянной времени τа.з= Rо.сС1Kинв, в котором выходное напряжение ИОУ1 инвертируется посредством схемы на ИОУ3, обеспечивая тем самым отрицательную обратную связь через цепь Rо.с–С1 в апериодическом звене. При этом преобразо-

Глава 18. Избирательные усилители и этапы их проектирования

679

вание апериодического звена в резонансное реализуется при помощи инвертирующего интегратора на ИОУ2 с частотой единичного усиления

ωеи = 1 .

RиCи

В многозвенных ПФ входные и выходные звенья строят на RC-резонансных звеньях, а промежуточные звенья, как правило, на активных резонаторах, структурные схемы которых отличаются от схем на рис. 4.13 тем, что в них как в канал обратной связи, так и в канал прямой передачи включают интеграторы. При этом

винвертирующем активном резонаторе в канале прямой передачи используют инвертирующий интегратор. В канале же обратной связи применяют неинвертирующий интегратор с тем, чтобы

врезонаторе реализовать отрицательную обратную связь. В неинвертирующем активном резонаторе, наоборот, в канале прямой передачи действует неинвертирующий интегратор, а в канале обратной связи – инвертирующий.

18.3.2. Параметрический синтез активных фильтров

На этапе параметрического синтеза активных фильтров, как и при проектировании импульсных и широкополосных усилителей, по синтезированной схеме фильтра составляют ее передаточную функцию Hc(s). Она отличается от подобной функции H(s), составленной при математическом синтезе тем, что коэффициенты передаточной функции схемы Hс(s) являются функциями от параметров элементов схемы (сопротивлений, резисторов, емкостей конденсаторов, индуктивностей и т.д.), тогда как для передаточной функции математической модели H(s) указаны числовые значения этих же параметров. Сопоставив первые из них dkс и gтс с числовыми значениями коэффициентов dk и gm функции H(s), получают систему уравнений, из которых определяют параметры активных звеньев, пассивных элементов, цепей обратных связей и т.д., обеспечивающих реализацию проектируемого фильтра с требуемыми характеристиками.

Наиболее просто реализуется параметрический синтез активного ФНЧ, используемого не в качестве прототипа при проек-

680	Часть 4. Проектирование избирательных усилителей

тировании ФВЧ и ПФ, а для подавления высокочастотных помех и шумов. Составив на основании полиномов Баттерворта или Чебышева математическую модель ФНЧ, далее с помощью указанной системы уравнений определяют параметры элементов схемы. Параметрический синтез ФНЧ будет рассмотрен в гл. 19.

Параметрический синтез ФВЧ и ПФ целесообразно проводить также на основании преобразования оператора р или часто-

ты подстановкой в передаточную функцию ФНЧ-прототипа для ФВЧ ω = −ωн2 / ω и для ПФ ω = ω− ω02 / ω. Техника этих преобра-

зований подробно рассмотрена в п. 18.2.2.

Числовые значения параметров в ФВЧ и ПФ устанавливают на этапе математического синтеза по данным ТЗ. Обычно к ним относят:

•коэффициент усиления входного напряжения;

•нижнюю граничную частоту ФВЧ и полосу пропускания ПФ с указанием верхней fв и нижней fн частот;

•частоту заграждения fз ФВЧ и полосу заграждения ПФ на заданном уровне Мз для определения коэффициента прямоугольности;

•допустимую неравномерность АЧХ.

Математические модели ФНЧ-прототипа и проектируемых ФВЧ и ПФ так же, как и передаточные функции схем этих фильтров, удобно нормировать множителем ωнор = ωгр (где ωгр – верх-

няя граничная частота ФНЧ-прототипа), который считают равным нижней граничной частоте ФВЧ ( ωн = ωгр ) и ширине полосы

пропускания ПФ (Δωп = ωв – ωн = ωгр ).

По данным, указанным выше, аппроксимируют математическую модель ФНЧ-прототипа полиномами Баттерворта или Чебышева, на основании которой проводят структурный и параметрический синтез схемы прототипа. Порядок аппроксимирующих полиномов определяют на основании формул (18.6) или (18.10). При определении коэффициента прямоугольности подставляют

–1/νз = = −ωгр / ωз = − fгр / fз , представив их в виде

1

1

1

ln(rM

)

n =

ln

−1

ln

−

з

,

2

2

M

1− ln νз

з

νз

Глава 18. Избирательные усилители и этапы их проектирования							681
n =	ln[T (M з) +	Т2 (Мз) −1]		ln 2	− ln(rMз)	,
	ln[(1 + 1 − νз2 ) / νз]			ln[(1 −	1 − νз2 ) / νз]

первым из которых определяют порядок полиномов Баттерворта (приняв r = 1), а вторым – Чебышева. Отметим, что коэффициент прямоугольности ФНЧ и ПФ тоже определяется нормированной частотой заграждения νз с той лишь разницей, что для ФНЧ и ПФ νз = Kп, тогда как при определении для ФВЧ порядка п подставляется обратная величина –1/νз = fн/fз. Дело в том, что безразмерная частота ФВЧ оказывается обратной величиной ν с противоположным знаком (см. п. 18.2.2).

После структурного синтеза ФВЧ и ПФ, реализуемого преобразованием частоты, приступают к параметрическому синтезу. Как было показано в п. 18.3.1, для построения ФВЧ используют дифференцирующий усилитель, построенный на основе апериодического звена ФНЧ-прототипа заменой конденсатора Сп экви-

валентной индуктивностью L =1/(Cпωн2 ) (см. рис. 4.7, г), а последовательно включенную индуктивность Lп в схеме ФНЧ – емкостью С =1/(Lпωн2 ) (см. рис. 4.7,б). На основании этих данных

проводят параметрический синтез, рассчитав индуктивность L или емкость С. Предпочтительно реализуется схема с конденсатором (см. рис. 4.7, б), так как индуктивность L в схеме (рис. 4.7, г) оказывается громоздкой.

Для увеличения частоты заграждения fз ФВЧ применяют многозвенные фильтры (см. рис. 4.10), методика проектирования которых будет рассмотрена в гл. 20.

Аналогично проводится параметрический синтез ПФ. Как было показано в п. 18.3.1, при преобразовании апериодического звена ФНЧ-прототипа с конденсатором Сп (см. рис. 4.12, а) в резонансное звено ПФ этот конденсатор надо заменить параллельным LC-контуром (см. рис. 4.12, б). В этой схеме емкость конден-

сатора С = Сп, а индуктивность L =1/(Cпωн2 ) , значения которых определяют параметром элемента прототипа Сп и резонансной частотой ω0, указанной в ТЗ. Так же в схеме апериодического звена прототипа с последовательно включенной индуктивностью Lп (см. рис. 4.12, в) надо ее заменить последовательным LC-

682	Часть 4. Проектирование избирательных усилителей

контуром, представив резонансное звено ПФ в виде элемента (см. рис. 4.12, г) с параметрами L = Lп и С =1/(Lпωн2 ) .

При составлении схемы замещения ФНЧ-прототипа числовые значения ее элементов определяют по данным для ПФ, указанным в ТЗ. В схеме на рис. 4.12, а с конденсатором Сп включают резистор R с сопротивлением R = Qpωp/Сп, где Qр – доброт-

ность резонансного звена, ωр = ω0 – резонансная частота парал-
лельного LC-контура (см. рис. 4.12, б) с L =1/(C ω2 ) и характе-
			п	н
ристическим сопротивлением ρ ≡		L / C =1/ Cпωр . В схеме про-
тотипа на рис. 4.12, в с индуктивностью Lп сопротивление рези-
стора	R = ωp L / Qр , а в преобразованной схеме			ПФ (см. рис.
4.12,г) емкость конденсатора С =1/(L ω2 ) . При этом добротность
		п	р
последовательного LС-контура Qр		и	его резонансная частота
ωр =1/	LC должны быть указаны в ТЗ.

Возможности параметрического синтеза на основе преобразования частоты особенно ощутимо проявляются при проектировании многозвенных ПФ на RC-элементах [1, 6]. Как отмечалось в п. 18.3.1, структурную схему резонансного звена, являющегося одним из основных элементов ПФ, можно реализовать охватом обратной связью ФНЧ-прототипа, включив в канал прямой передачи двухвходовое апериодическое звено, а в канал обратной связи – интегратор (см. рис. 4.13). При этом на основании данных ТЗ, установив параметры ФНЧ-прототипа в соответствии с формулами

ω =	ωр	; ω	=	ωрQp		; Kа.з = Km,
	Q
гр		eин		K	m
	p

можно реализовать резонансное звено с передаточной функцией

	Н( р) =			Km				.
				p		ωp
	1		+ Q		+
				ω		p
			p
				p

Таким же способом проводят параметрический синтез многозвенных ПФ, особенности проектирования которых будут рассмотрены в гл. 21.

Глава 18. Избирательные усилители и этапы их проектирования

683

Следует отметить, что реализация избирательных усилителей на активных RC-фильтрах преобразованием частоты значительно упрощает решение важной проблемы, а именно: точной настройки резонансных частот звеньев фильтра. При этом отдельно настраивают звенья ФНЧ-прототипа, изменяя емкости конденсаторов С или сопротивления резисторов R, определяющих верхнюю граничную частоту апериодического звена ωгр =1/(CR), устанавливают требуемую величину ωгр = ωp / Qp .

Аналогично устанавливают частоту единичного усиления интегратора, равную ωeин = ωpQp / Km , подстройкой конденсатора Син

или резистора Rин, определяющих ωeин =1/ СинRин .

Такой способ настройки существенно упрощает эту процедуру, обеспечивая при этом высокую точность воспроизведения частотных характеристик усилителя в целом.

18.4. Анализ эскизных проектов избирательных усилителей

В избирательных усилителях отклонения АЧХ и ФЧХ, обусловленные разбросом параметров элементов схемы и их нестабильностью, целесообразно характеризовать через чувствительности основных параметров звеньев, к числу которых относятся граничные частоты ωв и ωн, резонансная частота ωр и добротность Qр. Зная указанные величины и зависимости ωв, ωн, ωр и Qр от параметров элементов схемы, можно определить чувствительность АЧХ или ФЧХ по известным формулам [1, 6].

Следует иметь в виду, что узкополосные полосовые фильтры особенно чувствительны к разбросу и нестабильности параметров элементов, определяющих резонансные частоты, поскольку даже при незначительном изменении резонансных частот звеньев наблюдается заметная деформация частотной характеристики. В этом нетрудно убедиться, анализируя чувствительность АЧХ к резонансным частотам:

	M	M	ω		ω ω			SνMкp (ν)
			0				0
	Sωp1	= Sνp N =	ω		ω +				ν	;
							ω
			п		0

684	Часть 4. Проектирование избирательных усилителей

	M		ω		ω ω			SωM (ν)
			0		0			еk
	Sωpk	=				+ ω			,
			ω		ω			ν
			п		0
		k = 2, 3, …, N – 1.
Здесь SνM	и SνM – чувствительности АЧХ ФНЧ-прототипа.
кp	ek

Чувствительность АЧХ к элементам схемы, от которых резонансные частоты не зависят, остается такой же, как у ФНЧ. При этом чувствительности к резонансным частотам более чем на порядок превышают чувствительности к добротностям и коэффициентам усиления. Поэтому последними можно пренебречь и считать

	N	ν	q	x
М(ν) Мном(ν) 1	+ ∑SνMp qm ∑Sxmp			m	,
				xm
	q=1

	где S	νp q		∂ln νpq	– чувствительность резонансной частоты к па-
		xm		∂ln xm

раметрам элементов схемы хт. Так, для активных RC-фильтров, построенных на резонансных звеньях или активных резонаторах,

Sω′p q = Sω′′p q = Sω′p q = Sωp q = −0,5 .
R q	R q	C q	Kинв

При анализе эскизных проектов проверяется также влияние параметров АИМС на частотные характеристики фильтра. Наиболее важным является учет доминирующих полюсов передаточной функции АИМС, определяемых частотой единичного усиления f1ис и верхней граничной частотой fв.ис микросхемы. Целесообразно оценить влияние указанных частот, которые определяются коэффициентами b2ис и b1ис, уже на этапе схемотехнического синтеза с тем, чтобы сократить объем повторных расчетов. При анализе же определяется изменение резонансных частот звеньев, обусловленное нестабильностью частот f1ис и fв.ис. В случае необходимости более обстоятельный учет этих частот проводится при моделировании фильтра.

Учет возможных перегрузок АИМС как по выходу, так и по входу тоже целесообразно проводить на этапе схемотехнического синтеза. Более подробно анализ эскизных проектов приводится в разделах, посвященных проектированию конкретных схем.