Башуров Методика решения математических задач 2011

в которых коэффициенты {ak (x)} – постоянные или функции только аргумента x, а правая часть может быть равной нулю (однородные уравнения) или отлична от нуля.

Теорема 10.1. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (10.7) состоит из общего решения однородного линейного дифференциального уравнения

	n−1
y(n)	+ ∑ak (x) y(k ) = 0	(10.8)
	0

и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения

(10.7).

Рассмотрим общее решение однородного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

	n−1
y(n)	+ ∑ak y(k ) = 0 .	(10.9)
	0

Вид его зависит от решения алгебраического уравнения

n−1
λn + ∑ak λk = 0 .	(10.10)
0

Случай 1. Если корни алгебраического уравнения (10.10) действительны и различны (перечислим их в порядке возрастания λ1 < λ2 < … < λn ), то общее решение дифференциального уравне-

n

ния (10.9) имеет вид y(x) = ∑Ck eλk x , где {Ck} – произвольные по-

1

стоянные.

Случай 2. Если корни алгебраического уравнения (10.10) действительны, но среди них встречаются кратные, то в общем решении дифференциального уравнения (10.9) кратному корню λ (кратности

m) отвечает группа слагаемых (C1 + C2х + Сm xm-1) eλx, а общее решение уравнения (10.9) имеет вид

n

y(x) = (C1 +C2 x +... +Cm xm−1 )eλx + ∑Ck eλk x .

m+1

Случай 3. Если среди корней алгебраического уравнения (10.10) встречается пара комплексно-сопряженных корней a + bi и a – bi кратности 1, то им отвечают два частных решения

121

C1 sin bxeax и C2 cosbxeax .

Случай 4. Если среди корней алгебраического уравнения (10.10) встречается пара комплексно-сопряженных корней кратности n, a + bi, то им отвечает группа частных решений вида

Pn−1 (x)sin bx eax , Qn−1 (x) cosbx eax ,

где Pn-1(x) и Qn-1(x) – полиномы степени n – 1.

Общая рекомендация при решении уравнений вида (10.9) заключается в том, что, последовательно перебирая все корни (в случае комплексных корней – группу комплексно-сопряженных корней с учетом их кратности), получаем последовательно все частные решения, отвечающие этим корням, и общее решение складывается из всех полученных. Убедитесь в конце решения (на этапе проверки), что в общее решение уравнения n-го порядка вошли ровно

nпроизвольных постоянных.

Вслучае уравнений высокого порядка (n > 1) с непостоянными коэффициентами универсальных способов нахождения общего решения не существует. Каждый случай такого удачного решения заносится в справочники или, учитывая важность для практики решения такого уравнения и не имея возможности выразить его аналитически, вводят «специальные функции», используют для них стандартное обозначение, и приближенное значение этой функции заносят в таблицы на подобии логарифмических. Ниже мы покажем, что нахождение приближенного решения не представляет сложностей.

Решение неоднородных линейных уравнений порядка выше одного заключается в нахождении решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения. Общее решение исходного уравнения согласно теореме

10.1состоит из суммы найденного общего решения однородного уравнения плюс найденное частное решение неоднородного.

Метод отыскания частного решения неоднородного линейного уравнения по аналогии с методом, использованным нами для решения неоднородных уравнений первого порядка, также называется методом «вариации произвольных постоянных».

122

Для решения неоднородных линейных уравнений второго порядка и выше поступают следующим образом: при каждом дифференцировании решения группа слагаемых, получающаяся дифференцированием «произвольных постоянных», приравнивается нулю. Поэтому при последнем дифференцировании эта дополнительная группа слагаемых содержит только первые производные «произвольных постоянных». Эта последняя группа слагаемых полагается равной правой части неоднородного уравнения. Вместе с приравненными нулю аналогичными группами на предыдущих этапах последняя группа, равная правой части уравнения, образуют систему линейных уравнений относительно первых производных «произвольных постоянных», которая легко решается и приводится

кгруппе дифференциальных уравнений первого порядка, каждое из которых содержит только одну «произвольную постоянную». Решив их, получим частное решение исходного уравнения.

Для получения конкретного частного решения, которое на практике зачастую и приходится искать, требуется каким-то образом однозначно определить значения «произвольных постоянных».

Для их определения требуется к дифференциальному уравнению добавить некоторое количество дополнительных соотношений, ко-

торые диктуются реальными задачами и часто имеют вид обычных алгебраических уравнений, содержащих производные искомой функции и саму функцию в отдельных точках. Если уравнение n-го порядка, то общее решение содержит также n произвольных постоянных и, следовательно, дополнительных соотношений также должно быть n. Если все эти дополнительные уравнения относятся

кодной точке, то говорят, что для дифференциального уравнения поставлена «задача Коши». Если эти дополнительные уравнения отнесены к концам промежутка, на котором ищется решение, то говорят, что для дифференциального уравнения поставлена «краевая задача».

Для уравнения первого порядка возможна только задача Коши, которая формулируется следующим образом: найти решение уравнения

y (x) = f (x, y) ,	(10.11)
′

которое при x = x0 удовлетворяет равенству

123

y(x0) = y0,

(10.12)

где x0 и y0 – некоторые заданные числа.

Поскольку общее решение уравнения (10.11) содержит одну произвольную постоянную C, его можно записать в виде

y = ϕ(x,C).

Дифференцируя его и подставляя в (10.12), получим алгебраическое уравнение для нахождения произвольной постоянной, тем самым отыскав нужное частное решение

ϕ(x0,C) = y0.

Для уравнения второго порядка задача Коши заключается в добавлении к исходному дифференциальному уравнению двух условий y(x0) = y0 и y′(x0 ) = y0′ . Кроме задачи Коши, можно рассматри-

вать краевую задачу, которая заключается в том, что решение исходного дифференциального уравнения должно удовлетворять следующим двум условиям: y(x0) = y0 и y(x1) = y1.

Решение задачи Коши для уравнения второго порядка ничем принципиально не отличается от аналогичной задачи для уравне-

ния первого порядка. Разница состоит только в том, что дополнительных условий – два, и оба они имеют вид (10.12) и вместо одно-

го алгебраического уравнения для одной произвольной постоянной приходится решать алгебраическую систему для двух постоянных, состоящую из двух уравнений.

Относительно задачи Коши имеет место теорема Пикара– Линделефа, которую можно сформулировать следующим образом.

Теорема 10.2. Если в уравнении y(n) (x) = f (x, y, y′,..., y(n−1) )

правая часть непрерывна и дифференцируема в прямоугольнике {x0 – a, x0 + a; y0 – b, y0 + b} (рис. 10.1) то задача Коши для этого уравнения

y(x0)=y0, y′(x0 ) = y0′ ,…, y(n−1) (x0 ) = y0(n−1) ,

где y0 и y'0 – заданные числа, имеет единственное решение в указанной области.

Относительно краевой задачи дело обстоит значительно сложнее. Во-первых, для произвольного уравнения второго порядка из непрерывности коэффициентов уравнения и его правой части не следует существование решения. Во-вторых, если решение и есть,

124

то оно может быть не единственным. Теорем на этот счeт не суще-

ствует.

y

y0 – b y0

y0 – b

x0 – a x0 x0+a

x

Рис. 10.1

Часто вопрос решения краевой задачи облегчается, если общее решение уравнения удалось выразить через элементарные функции. Например, если решение записано в виде y = f(x,C1,C2) и требуется найти решение, которое при x = x0 равняется y0, а при x = x1 равно y1, подставляем заданные значения x0, x1 в решение, получаем систему из двух алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных C1 и C2. Разрешимость этой системы и обусловливает возможность решения поставленной краевой задачи.

2. Рассмотрим приближенные методы решения задачи Коши для уравнения первого порядка и краевой задачи для уравнения второго порядка. Все сказанное относительно приближенного решения задачи Коши для уравнения первого порядка переносится практически без изменений на уравнения высокого порядка.

Пусть задача Коши имеет вид: найти на промежутке [a,b] реше-

ние уравнения
y′ = f (x, y) ,	(10.13)

которое при x = a принимает значение y0.

Разобьем указанный промежуток на N отрезков одинаковой

b −a

длины h = N и точки деления перенумеруем, начиная от левого

конца промежутка [a, b] и заканчивая правым концом этого промежутка. При этом точке a присвоен номер 0, а точке b – номер N.

125

dy

Заменив дифференциальный оператор dx его приближенным

выражением (yk+1–yk)/h и положив в правой части уравнения (10.13) x = a = x0 и y = y0, получим простое алгебраическое уравнение, решив которое, находим приближенное значение решения в точке

x = x1, которое мы обозначим через y1. Затем, заменяя x и y в правой части уравнения (10.13) вновь полученными значениями x1 = x0+h и

y = y1, повторим процесс нахождения приближенного решения в следующей точке x1. И так до тех пор, пока мы не достигнем правого конца отрезка [a,b]. Этот способ приближенного решения задачи Коши носит название «явного метода Эйлера», он прост для реализации.

Существует множество других способов приближенного решения задачи Коши как для уравнения первого порядка, так и более высокого порядка. Все они используют замену производных разностными операторами (как это мы делали для уравнения первого порядка), но детали методов находятся в компетенции науки, носящей название «Вычислительная математика».

Точность полученного приближенного решения регулируется параметром h, который называется шагом интегрирования: чем меньше шаг, тем точнее решение (зато больше вычислительной работы а, значит, и возрастание вычислительной ошибки). Но мы опять пытаемся вторгнуться на территорию «Вычислительной математики».

Приближенные методы решения краевой задачи не могут быть построены по аналогии с приближенными методами решения задачи Коши – не хватает «начальных данных» для начала процедуры последовательного вычисления приближенного решения – их требуется не одно значение, как это можно получить из постановки краевой задачи, а два в начальной точке. Метод пристрелки (так он называется по аналогии с артиллерийской стрельбой) заключается в том, что мы домысливаем недостающее условие (одно то уже есть – оно задано) и решаем полученную задачу Коши. Понятно, что получить заданное краевой задачей значение решения на другом конце не удается (если удалось – вы замечательный стрелок!). Вы меняете как-то дополнительное условие на левом конце, кото-

126

рое придумали и повторяете расчет и т.д. до тех пор, пока вам не покажется, что вы попали в нужную точку.

3. Рассмотрим системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами

dy1

= a

y + a

y

2

+... + a

y

n

+ f (x),

11

1 12

1n

1

dx

(10.14)

..........................................................

dy

n

= an1 y1 + an2 y2 +... + ann yn + fn (x).

dx

Эту систему

в

матричном

виде

можно

записать так

a

a

...a

dY

= AY + F , где матрица имеет вид: A

11

12

1n

, вектор-

=

..................

dx

a

n1

a

...a

n2

nn

столбец F состоит из правых частей системы (10.14):

f

1

f2

(10.15)

F =

,

fn

а компонентами вектора-столбца Y являются искомые функции y1(x), y2 (x),..., yn (x) .

Если вектор-столбец F, определяемый (10.15), состоит из нулей, то система (10.14) называется однородной. Ее можно представить в

матричном виде
	dY	= AY .	(10.16)
	dx

Как и для одного уравнения, так и для системы уравнений общее решение системы (10.14) состоит из общего решения однород-

ной системы (10.16) и частного решения исходной системы (10.14). Также, как и в случае одного уравнения, где произвол в общем решении определяется числом произвольных постоянных, равным порядку дифференциального уравнения, произвол в системе из n

уравнений определяется числом уравнений в системе, и общее решение системы (10.16) может быть записано в виде

127

n
Y = ∑CkYk .	(10.17)
k =1

Нахождение отдельных частных решений, входящих в (10.17), заключается в следующем:

а) рассматривается характеристическое уравнение для параметра λ

	a11 −λ		a12	...	a1n
	a21	a22 −λ		...	a2n	= 0 .	(10.18)
	...		...	...	...
	an1		an2	... ann −λ
Значение параметра λ, удовлетворяющее уравнению (10.18), на-
зывается собственным числом;
б) для каждого собственного числа λk находится «собственный
вектор» Yk, т.е. какое-нибудь решение однородной системы
			AYk	= λkYk .			(10.19)
Пусть решение этой системы для собственного числа λk пред-
		b
		1k
~		b2k
ставлено вектором Y =			. Частное решение системы диффе-
		b
		nk

ренциальных уравнений записывается в виде Yk = eλk xYk .

Если собственные числа все действительны и различны (в этом случае их число равно порядку системы (10.14)), то каждому соб-

ственному числу λ1, ..., λn отвечает свое частное решение Y1, ..., Yn, отличное от других подобных частных решений. Общее решение системы однородных уравнений можно записать в виде

	n	λ	x ~
	Y (x) = ∑Cke			(10.20)
		k	Yk .

k=1

Вслучае кратных корней уравнения (10.20) структура частного

решения (собственного вектора) усложняется. Желающие более

128

глубоко ознакомиться с методикой решения линейных систем могут обратиться к [1] или [4].

Частное решение системы (10.14) находится методом «вариации произвольных постоянных». Для этого найденное общее решение однородной системы (10.20) подставляем в исходную неоднородную систему (10.14) и считаем произвольные постоянные C1…Cn функциями x. Производные уже этих функций произвольных «постоянных» удовлетворяют системе

n
∑Ck′eλk xYk	= F .	(10.21)
k =1
Разрешая эту систему относительно Ck′ , получим ровно n про-
стых соотношений вида Ck′ =Φk (x) ,	после интегрирования кото-

рых получаем частное решение, которое можно представить векто-

	C
	1
	C2
ром-столбцом		.
Cn

4. Очень часто механические системы и электрические схемы характеризуются двумя параметрами x и y, изменение во времени которых описываются системой уравнений

dx			= P(x, y)
				(10.22)
dt		.
dy			= Q(x, y)
dt

В нормальном состоянии системе (механической, электриче-

ской и т.д.) отвечает точка равновесия (0,0) системы уравнений

(10.22) (это означает, что P(0, 0) = 0 и Q(0, 0) = 0). Внешние или внутренние причины выводят систему (механическую и т.д.) из состояния покоя. В дальнейшем, выведенная из состояния покоя механическая система начинает «двигаться», что означает изменение параметров x, y во времени согласно системе уравнений (10.22).

Очень важным является вопрос: вернется ли устройство в нормальное состояние или, как говорят инженеры, система пойдет

129

вразнос? Ответ на этот вопрос дает исследование поведения решения системы (10.22) в окрестности точки покоя (0,0).

Разложим функции P(x,y) и Q(x,y) в окрестности точки (0,0) в

ряд Тейлора, помня, что P(0,0) и Q(0,0) равны нулю:

P(x, y) =

∂P

x +

∂P

y...,

∂x

∂y

Q(x, y) =

∂Q

x +

∂Q

y...

∂x

∂y

Обозначим для удобства производные, вычисляемые в точке

(0, 0), следующим образом:

∂P

= a,

∂P

= b,

∂Q

= c,

∂Q

= d .

∂y

∂x

∂y

∂x

Оставляя в разложении Тейлора только слагаемые, содержащие x и y в первой степени, и деля первое уравнение системы на второе,

	получим	dx	=	ax + by	– однородное дифференциальное уравне-
		dy		cx + dy

ние, рассмотренное нами выше. Решение этого уравнения выражается элементарной функцией. Приведем графики, иллюстрирующие поведение решения при различных параметрах a, b, c, d (рис. 10.2). Последние мы будем представлять в плоскости (x, y),

называемой «фазовой». Для удобства введем обозначения: C = – (a + d), B = ad – bc.

C2

1.4 > D . Поведение решения представлено на рис. 10.2: а –

при С > 0, б – при С < 0.

2.D > 0 C2 < D . Поведение решения изображено на рис. 10.2: 4

в– при C > 0, г – при C < 0.

3.C = 0 D > 0 . Решение представлено на рис. 10.2, д.

4.D < 0. Решение представлено на рис. 10.2, е.

Параметры, при которых система стремится вернуться в состояние покоя или остается в некоторой окрестности точки (0, 0), определяют устойчивую к возмущениям систему. В противном случае система называется неустойчивой.

130