Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011

	18		21,490		290		0,444		0,00587		0,70355		0,13639		0,12517		0,02903
	19		17,278		233		0,448		0,00729		0,75139		0,12540		0,09896		0,01696
	20		14,097		191		0,452		0,00892		0,79061		0,11362		0,07709		0,00977
	21		11,631		157		0,454		0,01079		0,82246		0,10179		0,05939		0,00556
	22		9,678		131		0,456		0,01294		0,84811		0,09044		0,04537		0,00314
	23		8,105		110		0,458		0,01541		0,86857		0,07982		0,03443		0,00176
	24		6,823		92		0,459		0,01826		0,88467		0,07009		0,02600		0,00098
	25		5,766		78		0,460		0,02153		0,89706		0,06130		0,01955		0,00055
	26		4,889		66		0,461		0,02530		0,90629		0,05344		0,01466		0,00030
	27		4,155		56		0,462		0,02964		0,91276		0,04648		0,01096		0,00017
	28		3,538		48		0,463		0,03462		0,91677		0,04033		0,00818		0,00009
	29		3,018		41		0,464		0,04035		0,91856		0,03494		0,00610		0,00005
	30		2,577		35		0,464		0,04691		0,91829		0,03023		0,00454		0,00003
	31		2,202		30		0,465		0,05443		0,91606		0,02613		0,00338		0,00002
	32		1,884		25		0,466		0,06302		0,91191		0,02256		0,00251		0,00001
	33		1,612		22		0,467		0,07281		0,90587		0,01946		0,00186		0,00000
	34		1,379		19		0,468		0,08393		0,89790		0,01678		0,00139		0,00000
	35		1,180		16		0,469		0,09654		0,88798		0,01446		0,00103		0,00000
	36		1,009		14		0,470		0,11077		0,87602		0,01245		0,00076		0,00000
	37		0,862		12		0,471		0,12676		0,86195		0,01072		0,00057		0,00000
	38		0,735		10		0,473		0,14465		0,84570		0,00922		0,00042		0,00000
	39		0,626		8		0,474		0,16456		0,82719		0,00793		0,00031		0,00000
	40		0,531		7		0,476		0,18657		0,80637		0,00682		0,00023		0,00000
	41		0,448		6		0,478		0,21076		0,78320		0,00587		0,00018		0,00000
	42		0,376		5		0,480		0,23714		0,75769		0,00504		0,00013		0,00000
	43		0,312		4		0,482		0,25569		0,72988		0,00433		0,00010		0,00000
	44		0,256		3		0,485		0,29631		0,69989		0,00372		0,00008		0,00000
	45		0,205		3		0,487		0,32887		0,66788		0,00320		0,00006		0,00000
	46		0,159		2		0,490		0,36313		0,63408		0,00275		0,00004		0,00000
	47		0,116		2		0,492		0,39883		0,59877		0,00236		0,00003		0,00000
	48		0,076		1		0,495		0,43563		0,56232		0,00202		0,00003		0,00000
	49		0,038		1		0,498		0,47313		0,52511		0,00174		0,00002		0,00000

Коэффициент деления потоков θs монотонно растет от первой

до последней ступени; относительное изменение этой величины составляет ~25%. Результаты расчета позволяют оценить общее

311

количество одиночных разделительных аппаратов, необходимое для решения поставленной задачи.

Оптимизационный расчет R-каскада с заданными концентрациями cnP и cnW (n – номер целевого компонента)

сводится к нахождению параметра M * , при котором суммарный

поток минимален.

При решении этой задачи систему (2.410) – (2.412) с учетом

(2.408), (2.409), (2.420) и (2.421) целесообразно представить в виде

	P	m
		= ∑ c jF
	F
		j =1
	W	m
		= ∑ c jF
	F	j =1

	−(M * −M j ) f
	1−q0	,		(2.429)
	−(M * −M j )(N +1)
1−q0
	−(M * −M j )(N − f +1)
1−q0			,	(2.430)
	−(M * −M j )(N +1)
	1−q0

−(M * −M i ) f

m

−(M * −M j ) f

1−q0

1−q0

,(2.4

ciP = ciF

∑ c jF

−(M * −M i )(N +1)

−(M * −M j )(N +1)

j =1

1

1−q0

−q0

31)

−(M * −M j )(N − f +1)

−(M * −M

)(N − f +1)

m

i

1

−q0

, (2.4

ciW = ciF

1−q0

∑ c jF

−(M * −M i )(N +1)

−(M * −M j )(N +1)

j =1

1

1−q0

−q0

32)

а для суммарного потока использовать соотношение (2.397). Заданными величинами являются: состав исходной смеси

c jF ( j =		1,m)		,	массовые числа компонентов разделяемой смеси
M j ( j =			,		коэффициент разделения, приходящийся на едини-
	1,m)

цу разности массовых чисел q0 , концентрации целевого компонента (i = n) в потоках отбораcnP и отвала cnW , поток отбора P.

К неизвестным величинам относятся: полное число ступеней в каскаде N, номер ступени, на вход которой подают поток питания f,

312

M* – параметр, при оптимальном значении которого R-каскад имеет минимальный суммарный поток.

При решении оптимизационной задачи можно считать, что величина M* непрерывно меняется от самой легкой до самой тяжелой

массы разделяемой изотопной смеси M1 < M * < M m . Формально

это означает, что в рассмотрение вводятся фиктивные компоненты с массовыми числами, лежащими в диапазоне

M1 < Mi(фикт) < M m , с исчезающе малыми концентрациями

ci(фикт) → 0 .

На рис. 2.32 представлены зависимости относительного суммарного потока ∑ L / P от величины параметра M* при обогащении в R-каскаде промежуточного компонента 83Kr из природной смеси изотопов при различных концентрациях целевого компонента в потоке отбора (а: cnP =15%, б: 20%, в: 30%, г: 40%) и фиксированном значении концентрации целевого компонента в потоке отвала cnW =5%. Величина коэффициента q0 принята равной 1,1;

(c4P ) макс =44,7%.

Рис. 2.32. Зависимости относительного суммарного потока ΣL / P от величины

параметра M * при обогащении в R-каскаде промежуточного компонента 83Kr (n=4) из природной смеси изотопов криптона при различных концентрациях целевого компонента в потоке отбора

313

Приведенные зависимости подтверждают полученный ранее вывод для случая «слабого обогащения» (см. раздел 2.3.4.1) о том, что заданные значения концентрации целевого компонента в пото-

ках отбора cnP и отвала cnW могут быть получены в R-каскаде при значении параметра M * = (M * )опт , обеспечивающем мини-

мальный суммарный поток. Отметим, что в рассмотренном примере в случаях а, б и в минимальные потоки соответствуют R- каскадам, для которых в роли опорных выступают фиктивные ком-

поненты. Для R-каскада, для которого (M * )опт =83,5 (случай г),

имеет место несмешение			по относительной	концентрации
c(83 Kr) c(84 Kr) .	Численные исследования показали, что при
фиксированных значениях концентраций cnP и cnW				оптимальное
значение величина	(M * )	опт	от величины q0 практически не зави-

сит.

2.4.4.3.Оптимальный каскад с заданными концентрациями по целевому изотопу. Сравнение с R-каскадом

Одной из важных задач, представляющих как теоретический, так и практический интерес является определение параметров наилучшего (оптимального) каскада с заданными внешними концентрациями по целевому компоненту. Под наилучшим (оптимальным) каскадом будем понимать каскад, характеристики которого соответствуют критерию минимальности суммарного потока, то

N

есть ∑ Ls → min , без дополнительных требований, налагаемых s=1

на внешние и внутренние параметры каскада.

Особый интерес представляет сравнение оптимальных каскадов с R-каскадами, свойства которых рассмотрены в предыдущем разделе. Возможные подходы к оптимизации многокомпонентных каскадов с заданными внешними концентрациями целевого изотопа рассмотрены в работах [53 – 56]. Суть подхода, предложенного, например, в работе [53] состоит в следующем. Анализ соотноше-

314

ний (2.286) – (2.298) показывает, что если известны параметры внешнего питания ( F, cjF , j =1, m ), концентрации целевого компонента в потоках отбора cnP и отвала cnW , а также фиксированы

параметры N и f, то количество свободно выбираемых параметров каскада равно N-2. Эти параметры могут быть определены исходя из принятого критерия эффективности – минимума суммарного

потока в каскаде. В случае, когда коэффициенты разделения qij на

ступенях каскада являются константами, для решения задачи оп-

N

тимизации ∑ Ls → min при выполнении условий (2.286) – (2.298) s=1

в качестве свободных N-2 параметров предложено использовать отвальные концентрации на ступенях cs′′(s = 2, N −1) . При этом в

качестве целевого выбиран самый легкий компонент в номером 1. Исключение переменных преобразует критерий минимальности

N

суммарного потока ∑ Ls → min к следующему выражению s=1

N

∑ Ls (N, f ,c1 (2), ... ,c1(N −1)) → min . (2.433)

s=1

Для нахождения связи параметров каскада с величинами c1′′(2),c1′′(3),...c1′′(N −1) применяют итерационный подход, с по-

мощью которого уточняют значения неизвестных отвальных концентраций на ступенях по второму и всем последующим компо-

нентам. На каждой	итерации		по заданным		концентрациям
c1′′(2),c1′′(3),...c1′′(N −1)	и приближенно выбранным концентрациям
других компонентов находят потоки по формуле
	L′′=	J1,s −c1′(s −1)Ts		,	(2.434)
	s	c ′(s	−1) −c′′(s)
		1	1

где J1,s и Ts определяются соотношениями (2.292) и (2.293), а

c1′(s) рассчитывают по формуле (2.412).

Далее проводят последовательный расчет всех внутренних параметров каскада, начиная, например, с первой отвальной ступени.

315

Для этого используют рекуррентные соотношения для ступеней, основывающиеся на формулах (2.286) – (2.298). В конце расчета проверяют выполнение граничных условий на отборном конце каскада. Если они не выполняются, то итерационный процесс продол-

жают до выполнения этих условий.
В	процедуре	оптимизации	перебор	концентраций
c1′′(2),c1′′(3),...c1′′(N −1)		целесообразно проводить с использовани-

ем известных методов нелинейного программирования и, если необходимо, сочетать их с методом случайного поиска [57, 58].

В работе [56] для сравнения R-каскада и оптимального каскада с одинаковыми концевыми концентрациями целевого компонента в качестве разделяемой смеси рассмотрена 4-компонентная модельная смесь со следующими параметрами: M1=298, M2=299, M3=300,

M4=301, c1F =10%, c2F =30%, c3F =30%, c4F =30%. За целевой принят самый легкий компонент (n=1), q0=2. Концентрации целевого компонента в потоках отбора c1P =91,42% и отвала c1W =0,33% были получены из предварительного расчета R-каскада с несмеше-

нием по относительной концентрации R12 = c1c2 (M * = 298,5) с

10 ступенями в отборной и 9 ступенями в отвальной секциях каскада. Расчет показывает, что "наилучшим" R-каскадом для задан-

ных концентраций оказывается каскад с (M * )опт =298,6. Сравнение

характеристик R-каскада и оптимального каскада, разделяющих 4-х компонентную модельную смесь (M1=298, M2=299, M3=300 и

M4=301, c1F=10%, c2F=30%, c3F=30%, c4F=310%, q0=2) при фиксиро-

ванных значениях целевого компонента (n=1) на концах каскада c1P=91,42%, c1W=0,33%приведено в табл. 2.14.

Таблица 2.14 Сравнение оптимального и R-каскадов при одинаковых

значениях концентрации целевого компонента в потоках отбора и отвала

	Каскад		N		f		∑ L / P
	M*=298,5		19		10		306,12
	(M*)опт=298,6		19,71 (~20)		8,46 (~8)		302,26
	Оптимальный		18		8		298,5
		316

В табл. 2.14 приведены характеристики двух R-каскадов с M*=298,5 и (M*)опт=298,6, а также каскада с оптимизированными по критерию минимальности суммарного потока параметрами с указанными выше концентрациями целевого компонента в потоках отбора и отвала. Как видно из приведенных в таблице данных, значения суммарных потоков во всех рассмотренных случаях близки друг к другу. Превышение суммарного потока R-каскада с M*=298,5 над суммарным потоком оптимального каскада составля-

ет 2,6%, а в случае (M*)опт=298,6 – на 1,26%.

В работах [54, 55] также приведены результаты расчета центробежных каскадов для обогащения изотопов 28Si в виде тетрафторида кремния SiF4 с массовыми числами компонентов M1=104, M2=105, M3=106 и концентрациями компонентов в потоке питания

c1F =92,21%, c2F =4,70%, c3F =3,09%. Коэффициент разделения на единицу разности массовых чисел принят равным q0= 3 . Для

R-каскада с	несмешением по относительной концентрации
R13 = c1 / c3	(M*=105) с числом ступеней N=81 и подачей потока

питания в ступень с номером f=21 были найдены следующие концевые концентрации целевого компонента c1P =98,71%,

c2W =1,4·10-2 %, а относительный суммарный поток в каскаде был

равен ∑ L / P =291,8.

Параметры оптимального каскада с заданными внешними концентрациями целевого компонента c1P =98,71%, c2W =1,4·10-2 %

оказались равны N=42 и f=38, а суммарный поток ∑ L / P =51,1. Расчет показывает, что характеристики наилучшего R-каскада были равны: (M*)опт=104,5, что означает несмешение по относительной концентрации R12 = c1 / c2 , N=45 и f=41, ∑ L / P =51,17. Таким

образом различие в величинах суммарного потока в оптимальном и

R-каскадах с (M*)опт не превышает 0,14%, в то время как в R- каскаде с M*=105 он в несколько раз больше.

Отсюда следует важный вывод. Опираясь на теорию модельных каскадов для разделения многокомпонентных изотопных (в частности R-каскадов), можно получать исходные данные (начальные приближения) для определения оптимальных параметров много-

317

ступенчатых разделительных установок с заданными внешними концентрациями целевого изотопа.

2.4.4.4.Квазиидеальный каскад с потерями рабочего вещества на ступенях [59-62]

Схема каскада для разделения многокомпонентных смесей с потерями рабочего вещества приведена на рис. 2.33.

Так же, как и в случае разделения бинарных смесей, будем считать, что потери на каждой ступени каскада Ls пропорциональны

потоку на ее входе, т.е.
Ls = yL(s) ,	(2.435)
где y – величина, называемая коэффициентом потерь,	которую

принимают одинаковой для всех ступеней каскада.

Уравнение коммутации потоков на входе в произвольную s -ую ступень в этом случае имеет вид:

'	(s −1)	"	(s +1)	'	"		, i =1, 2,…, m. (2.436)
Gi		+Gi		= (1+ y) Gi	(s) +Gi	(s)
с учетом:

G" =	G'		G =	g	+1		G' ,
	i	,		i				(2.437)
i	gi		i	gi			i

соотношения (2.436) для квазиидеального каскада могут быть переписаны в виде:

Gi' (s −1) +	1	Gi' (s +1) = (1+	1	)(1+ y)Gi' (s), i =1, 2,…, m , (2.438)
	gi		gi

где gi - константы.

Рис. 2.33. Схема противоточного разделительного каскада с потерями в «узлах» каскада

318

G'

(0) = G' (N +1) = 0,

i

i

1

1

G'

( f −1) +

G' ( f +1)

−(1+

)(1

+ y)G' ( f ) + Fc

= 0,

i

i

gi

i

iF

gi

'

(N) = PciP ,

Gi

(2.439)

G'

(1) = g

i

(1)Wc ,

i

iW

i =1, 2,…, m.

Кроме того, решения уравнений (2.438) для отборной и отвальной частей каскада должны совпадать при s = f .

Фундаментальные решения уравнений (2.438) могут быть записаны в виде

Gi' (s) = Aiω1si + Biω2si , i =1, 2,…, m ,

(2.440)

где Ai и Bi – константы, которые должны быть найдены из граничных условий, а ω1i ,ω2i являются решениями квадратных уравнений

ωi2 −(gi +1)(1+ y)ωi + gi = 0 ,

(2.441)

имеющими вид

ω =	(gi		+1)(1+ y) +	((gi +1)(1+ y))2 −4gi	,		(2.442)
1				2
ω2 =		(gi	+1)(1+ y) −	((gi +1)(1+ y))2 −4gi		,	(2.443)
				2

i =1, 2,…, m .

Использование граничных условий (2.439) позволяет решение уравнений (2.438) записать в виде:

для отвальной части каскада

Gi' (s) =WciW	ω1iω2i				(ω2si −ω1si ) ,	(2.444)
	ω	2i	−ω
				1i

s =1, 2,…, f −1, i =1, 2,…, m .

319

	Wc	=	ωN +1− f	−ωN +1− f	Fc ,
			2i	1i		(2.445)
			ωN +1	−ωN +1
	iW				iF
			2i	1i

s =1, 2,…, f −1, i =1, 2,…, m .

для отборной части каскада

G' (s) = Pc		ωs−N −1	−ωs−N −1
		2i	1i	,
i	iP	ω−1	−ω−1
		2i	1i

s = f ,…, N , i =1, 2,…, m .

	PcP	=	ω− f	−ω− f	Fc ,
			2i	1i
			ω−N −1	−ω−N −1
	iP				iF
			2i	1i

s = f ,…, N , i =1, 2,…, m .

m

Учитывая, что ∑cj =1, из (2.445) – (2.447) получаем:

j=1

W

m

ω2Nj+1− f −ω1Nj +1− f

=

∑

ciF ,

F

ω

N +1

−ω

N

+1

j=1

2 j

1 j

P

m

ω2−jf −ω1−j f

= ∑

ciF ,

F

ω

−N

−1

−ω

−N −1

j=1

2 j

1 j

ciW =

ωN +1− f

−ωN +1− f

m

ω2Nj+1− f −ω1Nj +1− f

ωN

+1

−ωN +1 ciF

∑

ωN +1 −ωN +1 cjF ,

2i

1i

2i

1i

j=1

2 j

1 j

ω− f

−ω− f

m

ω2−jf

−ω1−jf

ciP =

2i

1i

ciF

∑

cjF ,

ω−N −1

−

ω−N −1

ω−N −1

−ω

−N −1

2i

1i

j=1

2 j

1 j

(2.446)

(2.447)

(2.448)

(2.449)

(2.450)

(2.451)

Далее, используя решения (2.444) (2.446) и соотношения (2.437), можно определить распределение потоков L(s) , концентраций

компонентов ci (s) и коэффициента деления потока θ(s) по длине квазиидеального каскада с потерями на ступенях.

320