Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011
.pdfгде M i и M j -массовые числа i-го и j-го компонентов, q0 –
коэффициент разделения, приходящийся на разность массовых чисел, равную единице.
В этом случае формулы (2.405) – ( 2.406) могут быть представлены в виде
|
|
|
|
−Mk −Mn |
|
|
||
|
|
gk |
= q0 |
|
|
; |
(2.419) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
g |
i |
= qM * −Mi , |
|
(2.420) |
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
где |
M * = |
Mn + Mk |
. |
|
(2.421) |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Из (2.420)-( 2.420) непосредственно следует, что для всех компонентов с M i < M * величины gi >1, если же M i > M * , то gi <1. Анализ соотношений (2.393) и (2.394) показывает, что в
достаточно |
длинном R-каскаде (N − f +1 >>1, f −1 >>1) |
компоненты с |
gi >1 ( M i < M * ) обогащаются в отборе каскада, а |
компоненты |
gi <1 ( M i > M * ) обогащаются в отвале каскада. |
Возможность изменения числа компонентов, концентрируемых в потоках отбора или отвала за счет соответствующего выбора номеров ключевых компонентов (а, следовательно, и параметра
M * ), |
позволяет |
решить проблему обогащения |
смеси |
||
промежуточными |
|
компонентами. Например, при |
k = n +1 |
||
( M * = |
Mn + Mn+1 |
), как и в случае «слабого обогащения» в отборе |
|||
2 |
|||||
|
|
|
|
R-каскада обогащают все компоненты с номерами от 1 до n и «подавляются» с номерами от n+1 до m, и обедняется легкая группа.
Таким образом, величина параметра M * полностью определяет направление обогащения компонентов смеси в R-каскаде с немалыми обогащениями на ступенях.
По формулам (2.412) – (2.413) можно рассчитать концентрации компонентов в потоках отбора ciP и отвала ciW при заданных зна-
чениях c , f , N, g |
i |
(или M * ). Дальнейший расчет R-каскада |
iF |
|
|
|
|
301 |
(нахождение распределений потоков по формуле (2.395), концентраций по формуле (2.396) и коэффициента деления потока по ступеням каскада по формуле (2.397)) трудности не представляет. Более сложным является расчет R-каскада с заданными концентрациями обогащаемого ценного компонента с номером n в потоках
отбора и отвала cnP и cnW , который назовем целевым, так как в
этом случае требуется найти решение системы нелинейных алгебраических уравнений (2.401) – (2.402) при i=n относительно неизвестных N и f.
При решении системы (2.401) – (2.402) следует иметь в виду два следующих обстоятельства. Во-первых, при заданных величинах
ciF , f , N, q0 величины концентраций целевого компонента в по-
токах отбора и отвала будут существенным образом зависеть от номера опорного компонента ( k = n +1, ..., m ) или выбранной ве-
личины M * . Если же заданными величинами являются cnP и cnW
выбранные из области допустимых значений), то задача их нахождения может быть в принципе решена при различных значениях k
(или M * ), т.е. в разных R-каскадах, отличающихся друг от друга числами ступеней, характером распределения потока питания ступеней по длине каскада и, наконец, величиной суммарного потока. Во-вторых, для решения системы (2.401) – (2.402) необходимо предварительно определить области допустимых концентраций в
потоках отбора и отвала cnP и cnW при заданных параметрах
gi (i =1,m), q0 и ciF (i = 1, m) .
Для определения способа нахождения области существования решений системы (2.401) – (2.402) целесообразно выявить характер зависимости концентрации целевого компонента в потоке отбора
cnP от числа разделительных ступеней в отборной и отвальной
частях каскада, считая, что целевой компонент вместе с компонентами с номерами от 1 до n-1 обогащается на отборном («легком») конце каскада. Для выполнения последнего условия достаточно пронумеровать компоненты в порядке возрастания их массовых чисел, в качестве опорного принять компонент с номером k=n+1, а
302
в узлах квазиидеального каскада потребовать отсутствия смешения по относительной концентрации Rn,n+1 = cn cn+1 .
На рис. 2.29 представлена зависимость концентрации cnP в по-
токе отбора целевых компонентов n=4 (83Kr) (рис. 2.29,а) и n=5 (84Kr) (рис. 2.29,б) от числа разделительных ступеней в обогатительной части квазиидеального каскада с несмешением по относи-
тельной концентрации Rn,n+1 = cn cn+1 при фиксированном числе
ступеней в отвальной части каскада в случае разделения природной смеси изотопов криптона (см. табл. 2.3). Коэффициент разделения, приходящийся на единичную разность массовых чисел q0, в расчетах был принят равным 1,2. Из приведенных зависимостей следует,
что на величину cnP существенно влияет длина отвальной части каскада.
а) б)
Рис. 2.29. Зависимость концентрации целевых компонентов: а – n=4 (83Kr) и б – n=5 (84Kr) в потоке отбора cnP от числа разделительных ступеней в обогатительной части квазиидеального каскада с несмешением по относительной концентрации Rn,n+1 = cn cn+1 при фиксированном числе ступеней в отвальной части:
1 ступень (1), 5 (2), 20 (3) и 200 (4) ступеней для случая разделения природной смеси изотопов криптона и q0=1,2
Рис. 2.30 иллюстрирует зависимость относительного приращения концентрации целевого компонента cnP −cnF cnF от длины обогатительной части каскада при фиксированном числе ступеней
303
в отвальной части для случая разделения природной смеси изотопов криптона при различных значениях параметра
h = |
m |
c |
n |
|
и номера целевого компонента n, равного 3,4,5 |
∑ |
− ∑ c |
iF |
|||
|
i=n+1 |
iF |
i=1 |
|
соответственно. Как можно видеть из полученных зависимостей, при фиксированном конечном числе ступеней в отвальной части каскада обогащение целевого компонента на «легком» (отборном) конце каскада целесообразно проводить при выполнении условия
h = |
m |
c |
n |
|
>0. При этом, чем больше величина h, тем выше |
∑ |
− ∑ c |
iF |
|||
|
i=n+1 |
iF |
i=1 |
|
концентрация целевого компонента в потоке отбора.
Рис. 2.30. Зависимость относительного приращения концентрации целевого компонента cnP −cnF cnF от длины обогатительной части каскада при фикси-
рованном числе ступеней в отвальной части (f=10) для случая разделения природной смеси изотопов криптона при различных значениях параметра
h = |
m |
ciF |
n |
: 0,7158 (1) 0,486 (2), -0,654 (3) и номере целевого компонента |
∑ |
− ∑ ciF |
|||
|
i=n+1 |
|
i=1 |
n, равном 3,4,5 соответственно; q0=1,2 |
|
|
|
|
При фиксированном числе ступеней в отвальной части квазиидеального каскада максимальная концентрация целевого компонента в потоке отбора может быть найдена предельным переходом N → ∞ в формуле (2.393)
304
cmax ≈ |
1 |
− g− f |
c . |
|
|
n |
(2.422) |
||
n |
|
|||
nP |
− gn− f )ciF |
nF |
|
|
|
∑(1 |
|
|
i=1
Концентрацию целевого компонента в потоке отвала можно рассчитать по формуле
cnW |
= |
|
gn− f |
cnF . |
(2.423) |
m |
n |
||||
|
|
∑ciF + ∑ gi− f ciF |
|
|
|
|
|
i=n+1 |
i=1 |
|
|
С уменьшением числа ступеней в обогатительной части каскада при фиксированной величине f концентрация целевого компонента
в потоке отбора cnP снижается.
Рассмотрим два предельных случая. В первом обогатительная секция состоит всего из одной ступени, на вход которой подают поток питания. В этом случае выражения для определения концентраций в потоках отбора и отвала (2.393) и (2.394) приводятся к виду
|
min |
|
|
1− gn− f |
|
|
|
m |
|
1− gi− f |
|
|
|
||||
cnP |
≈ |
|
|
cnF |
∑ |
|
|
|
ciF , |
(2.424) |
|||||||
|
− f −1 |
|
− f −1 |
||||||||||||||
|
|
|
1− gn |
|
|
|
i=1 |
|
1− gi |
|
|
|
|||||
c |
|
≈ |
|
1− g |
n |
c |
|
m 1− g |
i |
c . |
|
||||||
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
(2.424) |
|||||||||
|
1− gnf +1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
nW |
|
|
|
nF |
i=11 |
− gif +1 |
iF |
|
Во втором случае при стремлении f → ∞ формула (2.422) для
определения концентрации целевого компонента в потоке отбора приводится к известному виду [5]
n |
|
cnPmax ≈ сnF ∑ciF , |
(2.426) |
i=1 |
|
а при стремлении f → 0 формула (2.422) будет иметь вид
n |
ln gi |
|
|
|
cnPmax ≈ сnF ∑ |
ciF . |
(2.427) |
||
|
||||
i=1 |
ln gn |
|
При этом отношение логарифмов параметров gi и gn в формуле (2.427) будет больше или равно 1: ln gi ln gn ≥1 (i =1,2, ... , n) . Из
формул (2.422) и (2.427) следует, что допустимую концентрацию
305
целевого компонента в потоке отбора можно рассчитать по соотношению
n |
ln gi |
|
n |
|
|
cnF ∑ |
ciF < cnPmax < cnF |
∑ciF . |
(2.428) |
||
|
|||||
i=1 |
ln gn |
i=1 |
|
Таким образом, формулы (2.422) – (2.428) при возможных значениях длин отборной и отвальной частей каскада позволяют построить кривые, ограничивающие область существования решения системы (2.412) – (2.413) (рис. 2.31).
Отметим, что поведение кривой, описывающей ограничение на cnP сверху при заданной величине cnW , которое рассчитывается
по формулам (2.422) и (2.423), не зависит от величины коэффициента разделения, приходящегося на единицу массовых чисел q0, и определяется только исходным составом разделяемой смеси.
Сравнение величин концентраций, рассчитанных по формулам (2.426), (2.427), показывает, что в квазиидеальном каскаде с немалой отвальной частью (f−1>>1) можно достичь заметно большего обогащения промежуточного компонента по сравнению со случаем отсутствия отвальной части. В некоторых случаях в каскаде без отвальной части промежуточные компоненты почти не обогащаются. Такой случай имеет место, например, при обогащении изотопа 84Kr из природной смеси в каскаде с несмешением по относитель-
ной концентрации R56 = c5 c6 (рис. 2.29, n=5).
Рис. 2.31. Область допустимых значений концентрации целевого компонен-
та в потоке отбора cnP и отвала cnW квазиидеального каскада при равенстве относительной концентрации R45 = c4 c5 в потоках, поступающих
на вход ступеней, для коэффициента разделения, приходящегося на единичную разность массовых чисел q0, равного 1,1 (1), 1,3 (2) (кривые, описывающие ограничение сверху для случаев 1 и 2 совпадают)
306
В случае «слабого обогащения» на ступенях каскада формулы
(2.422), (2.423), (2.426), (2.427) переходят в соответствующие соот-
ношения для Q-каскада, приведенные в разделе 2.3.4.1.
По формулам (2.423), (2.425) для расчета концентрации целевого компонента в потоке отвала при заданной концентрации в пото-
ке отбора cnP можно определить минимальную длину отвальной
секции каскада и тем самым максимально возможную концентрацию целевого компонента в потоке отвала, при которой возможно получить заданное обогащение. Поскольку при (f−1)→(f−1)min воз-
растает длина обогатительной части каскада giN → ∞ при ( i =1,n ;
giN → ∞ при i = n +1, m ) суммарный поток в квазиидеальном
каскаде (или в частном случае R-каскада) в соответствии с соотношением (2.397) будет стремиться к бесконечности. В то же время
требуемая концентрация в потоке отбора cnP может быть получена
при любых значениях (f−1)→(f−1)min. Причем с ростом величины (f−1) длина обогатительной части (N−f+1) будет уменьшаться. При (f−1)→ (то есть при cnW →0) суммарный поток в каскаде будет
неограниченно возрастать. Другими словами, при фиксированной концентрации целевого компонента в отборе в интервале значений, определяющих длину отвальной части (f−1)min <(f−1)< , находится оптимальное число ступеней, при котором суммарный поток в квазиидеальном каскаде (или R-каскаде, являющемся частным его случаем) будет минимален. Чем большее обогащение в квазиидеальном каскаде необходимо получить, тем больше будет величина (f−1)min, т.е. тем больше должна быть длина отвальной части, при которой суммарный поток в каскаде минимален. В силу того, что целевой компонент в отвальной части обедняется, его оптимальная концентрация в потоке отвала будет также уменьшаться с ростом концентрации целевого компонента в потоке отбора.
Наличие оптимальной отвальной части в каскадах для разделения многокомпонентных изотопных смесей существенно отличает их от каскадов для разделения бинарных смесей, в которых минимум суммарного потока всегда соответствует случаю отсутствия отвальной части и в которых нет ограничения на предельную концентрацию обогащаемого компонента.
307
При заданных величинах M * , q0 , cjF |
( j =1, 2,..., m) |
алгоритм расчета R-каскада на заданные концентрации целевого
компонента cnP и cnW |
имеет следующий вид: |
|
|
|
|
1. Рассчитывают |
все значения параметра |
d j |
= |
ln qjk |
−1 |
|
|||||
|
|
|
|
ln gn |
(n – номер целевого компонента, k-номер «опорного» компонента). 2. Задают требуемые концентрации целевого компонента в
отводимых из каскада потоках cnP , cnW из определенной заранее
области допустимых значений.
3. Решая систему (2.412) – (2.413) для ключевого (целевого) компонента, находят величины относительных концентраций RnkP и
RnkW .
4.По соотношениям (2.412) – (2.413) рассчитывают остальные концентрации компонентов в отводимых из каскада потоках F/P и W/P по формулам (2.410), (2.411), а по соотношениям (2.408) – (2.409) величины N и f.
5.Расчет суммарного потока проводят по формуле (2.417).
Вкачестве иллюстрации ниже приведены результаты расчета R-каскада для обогащения потока изотопа 180W (в виде гексафторида вольфрама) с использованием газовых центрифуг, полученные в работе [61].
Исходные данные расчета:
1.Коэффициент разделения ступени, приходящийся на
единичную разность массовых чисел q0 …………………1,16306
2.Поток питания одиночной центрифуги, г W/сек…...…0,074
3.Концентрации компонентов в потоке питания:
cF (180) …………………………………………...0,00140 cF (182) …………………………………………...0,26416 cF (183) ……………………………………….......0,14440 cF (184) …………………………………………...0,30618 cF (186) …………………………………………...0,28417
4. Величина M * ………………………………………........…...181
308
5.Поток отбора, кг·W/сут………………………………………1,0
6.Концентрация целевого изотопа (180W)
впотоке отбора…………………………………………..….≥0,5
7.Коэффициент извлечения целевого изотопа,
PcP (180) , %...................................................................…...~90 FcF (180)
Результаты расчета:
1.Число ступеней в обогатительной
части каскада, N-f+1…………………………………….……..35
2.Число ступеней в обеднительной части каскада, f-1….....….14
3.Концентрации компонентов в потоке отбора:
cP (180) …………………………………………….0,5194
cP (182) …………………………………………...0,48756 cP (183) …………………………………………...0,00148 cP (184) …………………………………………...0,00002 cP (186) …………………………………………...0,00000 4. Концентрации компонентов в потоке отвала:
cW (180) …………………………………………...0,00014 cW (182) …………………………………………...0,26361 cW (183) …………………………………………...0,14444 cW (184) …………………………………………...0,30693 cW (186) …………………………………………...0,28487
5.Поток отвала, W, кг·W/сут………………………….......…..406
6.Поток питания F, кг·W/сут…………………………..…..…407
7.Число центрифуг, соединенных в параллель в «головной» ступени каскада (s=f)…………………………………………...645
8.Суммарное число центрифуг в обогатительной части каскада………………………………………………………..……3210
9.Суммарное число центрифуг в обеднительной части каскада……………………………………………………........…..7018
10.Общее число центрифуг в каскаде………………...........10228
Втабл. 2.13 представлены распределения концентраций
компонентов, величин Ls и θs по ступеням каскада.
309
В рассмотренном примере в качестве целевого компонента выступает изотоп 180W, а в качестве опорного изотоп 182W. Если концентрация целевого изотопа 180W, являющегося крайним компонентом, меняется монотонно от первой до последней ступени каскада, то концентрация изотопа 182W достигает максимального значения на ступени с номером s=29 и далее убывает по направлению к «легкому» концу каскада. Другими словами, «отделение» целевого изотопа 180W от остальных компонентов смеси происходит на участке каскада с номерами ступеней s от 29 до 49. Из табл. 2.13 видно, что поток Ls имеет максимальное
значение в «головной» ступени каскада (s=15) и убывает по направлению к «легкому» и «тяжелому» концам каскада.
Таблица 2.13 Концентрации компонентов, величины потоков и коэффициенты среза на
ступенях R-каскада для концентрирования 180W
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
|
|
|
Число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ls, |
|
цен- |
|
|
|
|
cs (180) |
|
cs (182) |
|
cs (183) |
|
cs (184) |
|
cs (186) |
|
|
|
сту- |
|
|
|
θ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
трифуг |
|
s |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
пени, |
|
гWF6/c |
|
в сту- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
пени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
12,655 |
171 |
0,399 |
0,00019 |
0,24489 |
0,15111 |
0,301196 |
0,25186 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
21,206 |
287 |
0,403 |
0,00024 |
0,32278 |
0,15683 |
0,29473 |
0,22092 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
27,261 |
368 |
0,407 |
0,00031 |
0,35579 |
0,16304 |
0,28590 |
0,19767 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
31,721 |
429 |
0,410 |
0,00038 |
0,38054 |
0,16214 |
0,27664 |
0,18030 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
35,115 |
475 |
0,413 |
0,00047 |
0,40183 |
0,16274 |
0,26766 |
0,16730 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
37,765 |
510 |
0,415 |
0,00057 |
0,42007 |
0,16250 |
0,25938 |
0,15749 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
39,877 |
539 |
0,416 |
0,00069 |
0,43563 |
0,16172 |
0,25196 |
0,15001 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
41,588 |
562 |
0,418 |
0,00083 |
0,44888 |
0,16061 |
0,24545 |
0,14423 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
42,990 |
581 |
0,419 |
0,00098 |
0,46816 |
0,15934 |
0,23981 |
0,13970 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
44,152 |
597 |
0,420 |
0,00117 |
0,46976 |
0,15801 |
0,23496 |
0,13610 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
45,123 |
610 |
0,421 |
0,00138 |
0,47791 |
0,15667 |
0,23082 |
0,13321 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
45,940 |
621 |
0,421 |
0,00163 |
0,48483 |
0,15539 |
0,22729 |
0,13086 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
46,631 |
630 |
0,422 |
0,00192 |
0,49070 |
0,15418 |
0,22427 |
0,12893 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
47,220 |
638 |
0,422 |
0,00226 |
0,49567 |
0,15305 |
0,22170 |
0,12732 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
47,725 |
645 |
0,423 |
0,00265 |
0,49987 |
0,15201 |
0,21249 |
0,12598 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
35,467 |
479 |
0,432 |
0,00356 |
0,57784 |
0,15121 |
0,18773 |
0,07965 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
27,255 |
368 |
0,439 |
0,00463 |
0,64592 |
0,14547 |
0,15528 |
0,04871 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
310