Борман Теория каскадов для разделения бинарных 2011

	m
W ∑ 1
	j=1
L(s) =
		m
	P∑
		j=1

1

ω

ω

2 j

(ω2s j −ω1sj )cjW ,

+

1 j

gi

ω2 j −ω1 j

s =1, 2,…,

f −1

,

(2.452)

1

ω2s−j N −1

−ω1sj−N −1

1

+

cjP ,

ω2 j

−ω1 j

gi

s = f , f +1,…, N

ω ω

(ω2i

m

ω1 jω2 j

(ω2 j

−ω1 j )cjW ,

ω

−ω

−ω1i )ciW / ∑j=1 ω −ω

1i

2i

s

s

s

s

2i

1i

2 j

1 j

s =1, 2,…, f

−1,

(2.453)

Ci (s) =

ω2si−N −1 −ω1si−N −1

s−N −1

s−N −1

m

ω2 j

−ω1 j

−1

−1

ciP / ∑

cjP ,

−1

−1

ω2i −ω1i

j=1

ω2 j

−ω1 j

s = f , f +1,…, N.

ω ω

(ω2i

m

ω1 jω2 j

(ω2 j

−ω1 j )cjW ,

ω

−ω

−ω1i )ciW / ∑j=1 ω −ω

1i

2i

s

s

s

s

2i

1i

2 j

1 j

s =1, 2,…, f

−1,

(2.454)

Ci

(s) =

ω2si−N −1 −

ω1si−N −1

s−N −1

s−N −1

m ω2 j

−ω1 j

−1

−1

ciP / ∑

cjP ,

−1

−1

ω2i −

ω1i

j=1

ω2 j

−ω1 j

s = f , f +1,…, N.

Формулы (2.448) – (2.454) позволяют, например, при заданных величинах gi , f , N , y рассчитать квазиидеальный каскад с по-

терями на ступенях, т.е. определить значения WF , PF , значения концентраций компонентов в потоках отбора и отвала CiP , CiW , распределение потока на входе в ступень L(s) и концентрации компонентов Ci (s) по длине каскада.

Другую разделительную задачу – расчет параметров квазиидеального каскада с потерями при заданных концентрациях целевого

321

изотопа CiP и CiW решают по тому же алгоритму, который для случая y = 0 описан в разделе 2.4.6.2.

Рис. 2.34. Зависимость относительного изменения суммарного потока в R- каскаде при обогащении изотопа 180W в виде гексафторида вольфрама от коэффициента потерь y при заданных величинах концентрации целевого изотопа в по-

токе отбора C P (180) ≥ 0.5, и коэффициенте извлечения ( PCP (180) ≈ 0.9 )

FCF (180)

В качестве иллюстрации на рис. 2.34 представлена зависимость относительного изменения суммарного потока в R-каскаде, предназначенном для концентрирования изотопа 180W в виде WF6 , от коэффициента потерь y . Исходные данные расчета были приняты те

же, что и в работе [50] для случая отсутствия потерь ( y = 0 ).

Из представленной зависимости видно, что, например, при yln2 q0 = 5×10−3 , относительное увеличение (по сравнению со случаем отсутствия потерь y = 0 ) суммарного потока составляет

≈ 24,5% .

322

В случае малых потерь в разделительной ступени, когда выполнено условие y << ln q0 , раскладывая (2.441) и (2.442) в ряд, получаем

ω1i = y 1+ gi ,

1− gi

ω2i = gi (1− y 1+ gi ) 1− gi

i=1, 2,…, m ,

,i =1, 2,…, m .

(2.455)

(2.456)

Учитывая малость величины y по сравнению с единицей соотношения (2.455), (2.456) можно преобразовать к виду

	lnω1i = y	1+ gi		, i =1, 2,…, m ,						(2.457)
		1− gi
	lnω2i = ln gi	− y	1+ gi			,		i = 1, 2,…, m .		(2.458)
	Откуда находим, что		1− gi
					1+ gi
	ω1si = exp(y							s) ,		(2.459)
					1− gi
	ω2si = gis exp(−y						1+ gi		s) ,	(2.460)
							1− gi
	Подставляя (2.459) – (2.460) в (2.448) и (2.451) получим:

W

m

gNj

+1− f

exp[−yj

(N +1− f )]−exp[yj (N +1− f )]

=

∑

cjF , (2.461)

F

N +1

exp[−yj (N +1)]−exp[yj (N +1)]

j=1

g j

P

m

− f

exp(yj

f ) −exp(−yj

f )

= ∑

g j

cjF ,

(2.462)

F

−N −1

j=1 g j

exp[yj (N +1)]−exp[−yj (N +1)]

gN +1− f

exp

−y

N +1− f

−exp y

N +1− f

i

i (

)

i (

)

c

gN +1 exp[−y (N +1)] −exp[y (N +1)]

CiW =

iF

, (2.463)

i

i

i

m

gN +1− f

exp

−y

j

(

N +1

− f

−exp

y

j (

N +1− f

∑

j

)

)

cjF

N +1

exp[−yj (N +1)] −exp[ yj (N +1)]

j=1

g j

323

g− f exp(y f ) −exp(−y f )

i

i

i

ciF

CiP =

g−N −1 exp[y (N +1)]−exp[−y (N +1)]

i

i

i

,

(2.464)

m

− f

exp( yj

f ) −exp(−yj

f )

∑

g j

cjF

−N −1

exp[y j (N +1)]−exp[−y j (N +1)]

j=1 g j

i = 1, 2,…, m ,

~

g i

+ 1

где y i

=

y

.

g i

− 1

Если количество ступеней в каскаде достаточно велико, так что gif >>1, giN >>1, то из формулы (2.464) можно получить следующие асимптотические приближения для концентраций

компонентов, обогащаемых

по

направлению

к

«легкому»

(отборному) концу каскада ( gi > 0 )

g

i

−1

exp

−y

(N +1− f )

gi

+1

c

=

c .

(2.465)

g

−1

iP

j

iF

∑ exp

−y

(N +1

− f )

g j

+1

g j >0

Данное соотношение является обобщением на случай каскада с потерями формулы для предельных концентраций, полученной в работе [5]:

[ciP ]	=	ciF	.	(2.466)
пред.		∑ cjF

g j >0

[c (183)] P пред.

c (183) P

sP

Рис. 2.35. Зависимость величины cP (183)[cP (183)]пред. от длины обогатительной час- ти каскада

324

Из формулы (2.465) следует, что «потери» промежуточных компонентов по сравнению с крайними в достаточно длинном каскаде оказываются более значительными. Это объясняется тем, что распределения промежуточных компонентов в этом случае имеют максимум внутри каскада, где по сравнению со ступенями, близкими к концам, потоки питания ступеней и, следовательно, потери будут больше.

На рис. 2.35 представлена рассчитанная по формуле (2.465) зависимость отношения cP (183)[cP (183)]пред. , где [cP (183)]пред. –

предельное значение концентрации целевого изотопа 183W в потоке отбора R-каскада с потерями от длины обогатительной части

S	P	= N −1+ f ( M * =183,5; y / ln q = 5 ×10−3	; q	0	=1,16306).
		0

2.4.4.5.Квазиидеальный каскад с двумя питающими потоками

[63-66]

Каскады с дополнительными потоками отбора и питания представляют интерес по ряду факторов, в частности для получения высокообогащенных промежуточных компонентов.

Представляет практический интерес случай, когда противоточный каскад имеет две точки питания. При этом основной поток питания F, содержащий разделяемые компоненты с

концентрациями ciF , подается в первую точку (на вход ступени с

номером f). Во вторую точку питания (на вход ступени с номером p) подается поток E с концентрациями ci, E , (рис. 2.36). Возможен

случай, когда поток E не содержит разделяемые компоненты. Задачу разделения многокомпонентной смеси рассмотрим на

примере квазиидеального каскада с двумя точками подачи питания.

325

Рис. 2.36. Схема противоточного каскада с двумя питающими потоками

Как показано в разделе 2.4.6.1, обогащенный поток произвольного i-ого компонента может быть представлен в виде

G′(s) = A g s + B ,
i	i	i	i
		(2.467)
В рассматриваемом случае для определения констант	Ai		и Bi

помимо граничных условий (2.381) следует использовать уравнения баланса на входах в ступени с номерами f и p:

G′( f −1) +

1

G′( f +1) + Fc

−

gi +1

G ′

( f ) = 0,

(2.468)

i

i

i,F

i

gi

gi

G′( p −1) +

1

G′( p +1) + Ec

−

gi +1

G

′

( p) = 0 .

(2.469)

i

i

iE

gi

i

gi

где величины gi определяются соотношениями (2.19) и (2.20).

Применение условий (2.381), (2.468) и (2.469) позволяет решение (2.467) для отдельных частей каскада записать в виде

	G′(s) = Wc		gi		(g s −1), 1 ≤ s ≤ f −1, i = 1, 2,..., m;
		iW gi −1
	i				i
	(2.470)

G′(s) = A g s + B , f ≤ s ≤ p −1, i =1, 2,..., m ;			(2.471)
i	i	i

где

gi

gi

p−N −2

Ai

=

PciP (1

− gi

)−

gi −1

p

f

gi

− gi

(2.472)

−WciW (gif −1 −1) +

gi

(FciF

+ EciE ), i =1, 2,..., m;

p

− gi

f

gi

326

B =

gi

Wc

g f −1

−1 +Fc

−

gi

gif

Pc

1

−g p−N −2

)

−

p

i

gi

−1

iW (

i

)

iF

−gi

f

iP (

i

gi −1 gi

−Wc

g

f

−1

−1

+

gif

Fc

+Ec

,

i =1,

2,...,m;

i

p

f (

iW (

)

iF

iE )

gi

− gi

Gi′(s) = PciP gig−i 1(1− gis−N −1 )

p ≤ s ≤ N, i =1, 2,..., m.

Используя уравнения баланса

PciP +WciW − FciF − EciE = 0,

i= 1, 2,..., m

ирешения (2.470), (2.471), (2.472), получим

m

(1− g

− f )Fc

+(1− g− p )Ec

jE

P = ∑

j

jF

j

,

−N −1

j=1

1− g j

m

(1− g N +1− f

)Fc

jF

+(1− g N +1− p )Ec

jE

W = ∑

j

j

.

N +1

j=1

1− g j

(1− g− f )Fc +(1− g

− p )Ec

i

iF

i

iE

ciP

=

1− g−j n−1

, i =1, 2,..., m,

m

(1− g−j

f

)FcjF

+(1− g jp )EcjE

∑

−N −1

j=1

1− g j

(1− g N +1− f

)Fc

jF

+(1− g N +1− p )Ec

i

i

iE

ciW =

1− giN +1

,

i =1, 2,..., m.

m

(1− giN +1− f

)FcjF

+(1− giN +1−p )EcjE

∑

N +1

j=1

1− g j

(2.473)

(2.474)

(2.475)

(2.476)

(2.477)

(2.478)

(2.479)

Распределения L(s), ci (s)

и θ(s)

по

отдельным

участкам

каскада можно найти, используя очевидные соотношения

m

m

1

+ g j

1

+ g

G′(s)

∑G′j (s)

L(s) = ∑G′j (s)

, ci

(s) =

i

, θ(s) =

j=1

i

.

g j

gi

L(s)

L(s)

j=1

327

Суммирование величины L(s) по всем ступеням каскада дает:

∑L(s) =	∑ g j +1			[PciP (N − p +1) −
N	m
s=1	j=1	g j −1		(2.480)
−WciW f +(FciF −WciW )( p − f )].
Если заданы величины	ciF ,ciE ,			N, f , p, gi и два внешних

потока (например, F и E), то, формулы (2.470)-( 2.481) позволяют провести полный расчет квазиидеального каскада с двумя точками питания.

Если в квазиидеальном каскаде выполнены условия несмешения относительных концентраций n-го и k-го компонентов, то с учетом соотношений (2.477), (2.478), (2.403)-(2.407) легко получить

f =

1

ln

RF

nk

,

(2.481)

ln g

W

n

R

nk

p − f

=

1

ln

RE

nk

,

(2.482)

ln g

RF

n

nk

N − p +1 =

1

ln

RP

nk

,

(2.483)

ln g

RE

n

nk

где

RF

=

cnF

,

RW

=

cnW

,

RE

=

cnE

,

RP

=

cnP

,

а g

n

nk

cnF

nk

cnW

nk

cnE

nk

cnP

определяется соотношением (2.407).

Учитывая, что решения уравнений квазиидеального каскада (2.470), (2.471) должны совпадать при s = f , используя

соотношения (2.481) – (2.483), уравнения баланса (2.475) и

m	m	m	m
очевидные связи ∑cjW =1,	∑cjF =1,	∑cjE =1 и	∑cjP =1,
j=1	j=1	j=1	j=1

получим

PciP (RnkP )−di +WciW (RnkW )−di −FciF (RnkF )−di −EciE (RnkE )−di =0 ,(2.484)

где di = ln qik −1. ln gn

328

Суммарный поток каскада с учетом соотношений (2.481)-(2.483) и уравнений баланса по каскаду можно представить в виде

N

∑

s=1

m		P			W			F	E
L(s) = ∑	PciP	ln Rnk	+WciW ln Rnk − FciF					ln Rnk	− EciE ln Rnk	= 0	.(2.485
j=1				g j	−1		ln gn
				g j	+1

)

Если заданными величинами при "проектировочном" расчете (на заданные концентрации целевого (ценного) компонента clP и

clW ) являются: номера опорных компонентов (n, k), концентрации компонентов в потоках питания ciE , ciF , величины gi , то для

решения задачи имеем m уравнений покомпонентного баланса (2.475), (m-2) уравнений вида (2.484) (уравнений H-баланса) и два уравнения, связывающие величины концентраций в потоках отбора

		m		m
и отвала:		∑cjP =1	и	∑cjW =1,	т.е.	всегоm + (m − 2) + 2 = 2m
		j=1		j=1		(m-1)-концентраций ciP
уравнений.		Неизвестные параметры:
(i ≠ n) ,	(m-1)-концентраций ciW ,				(i ≠ n) и четыре величины
потоков	P,W,F, и		E,	т.е. всего	(m −1) + (m −1) + 4 = (2m + 2)

параметра. Следовательно, для замыкания системы уравнений необходимо задать (2m + 2) − 2 = 2 параметра, например, E и P.

После решения указанной системы с использованием (2.481) – (2.483) могут быть вычислены величины f, p и N, далее–

	m	1 + g j			1+ g	i		G′
распределения	L(s) = ∑ L′j (s)		, ci	(s) =				i	,
		g j			gi			L(s)
	j =1

m

∑L′j (s)

θ(s) = j =1L(s) , где функции Li′(s) для отдельных участков

каскада определяются формулами (2.470), (2.472), (2.475) и, наконец, по формуле (2.485) – суммарный поток в каскаде.

Представляет практический интерес разделения в R-каскаде m- компонентной изотопной смеси с малым содержанием (m − 2)

329

компонентов (минорные компоненты). В этом случае сумма концентраций двух основных (опорных) компонентов примерно

равна единице, т.е. cn +ck ≈1, т.е. Rnk ≈ 1−cncn .

Если n-й опорный компонент одновременно является целевым,

то величины	RP	≈			cnP	,	RW	≈	cnW	(и, следовательно, величины
	nk		1		−cnP		nk		ckW

f, p и N) заданы.

Формулы для расчета концентраций минорных компонентов в потоках отбора и отвала легко получить, используя соотношения (2.484) и уравнения покомпонентного баланса (2.475):

c

−di

−

c

−di

nE

nW

c

= c

1

−cnE

1−cnW

E ,

i ≠ n, k, (2.486)

iP

iE

c

−di

−

c

−di

P

nP

nW

1

−cnP

1−cnW

ciW

=

cnF

−cnW

×

c

−c

−

E

(c

−c

)

P

nP

nF

nE

nF

c

nE

−di

c

−di

(2.487)

−

nW

×

c

1−

1

−cnE

1

−cnW

E

, i ≠ n, k

−di

−di

iE

cnP

cnW

P

−

1

−cnP

1

−cnW

Из соотношений (2.486), (2.487) следует, что величина f E = EP

является свободным параметром, который может меняться в

			fE		E		cnP	−cnW
	пределах	0 ≤		≤		=			. Максимальное значение
							cnE −cnW
					P max

параметра fE соответствует случаю, когда поток основного питания E принимает значение, равное нулю.

330