2. Известные математические описания. Модели. Задачи оптимизации

В данном разделе будем рассматривать задачи и методы оптимизации, использующие математические модели (модельный подход). Наиболее известны следующие математические описания (схемы задач оптимизации):

• удовлетворенческая (ограничительная) модель (схема) задачи оптимизации;

• скалярная модель оптимизации; критериально-ограничительная

• векторная оптимизация группа задач оптимизации;

• нечеткая (размытая) оптимизация;

• оптимизация на базе экспертных моделей;

• оптимизация на базе игровых моделей;

• оптимизация на базе бинарных отношений;

• оптимизация на языке функция выбора;

• неформальная оптимизация.

Оптимизационный подход представлен 9 методами и является универсальным во всех случаях и имеет свои ограниченные области применения.

Ограничивающие условия:

а) высокая чувствительность к неточности в исходных данных;

б) подход чувствителен к нарушению правил его правильного применения;

в) критерий оптимальности в задачах оптимизация не всегда точно отражает цель оптимизации;

г) необходимо увязывать частные цели между собой;

2.1 Удовлетворенческая (ограничительная) математическая модель (схема) оптимизации

Решение считается оптимальным, если оно удовлетворяет множеству недублирующих друг друга условий, выраженных математически в виде формул, неравенств, логических выражений, а также алгоритмов.

Один из вариантов данной схемы оптимизации можно представить в следующем виде:

здесь х₁, х₂, ... х_n– искомые переменные задачи

их можно записать:

f₁(^.),f₂(^.), …f_n(^.)

х₁* х₂* – заданные пределы изменения искомых переменных х_i

= {>, <, =, ≥, ≤}

Достоинства данной мат схемы: простота, наличие прикладных алгоритмов и компьютерных программ.

Недостатки: неполнота информации об интервалах значений от х₁* до х₂*, чувствительность к изменению исходных данных, отсутствие в данной схеме критерия оптимума, грубость в решении задачи.

Рассмотрим конкретный пример применения модели удовлетворенческой оптимизации.

Способы оперативного раскроя со второго проката на непрерывном стане.

Упрощено отобразим схему прокатного стана

НП – нагревательная печь;

Н1, Н2 – ножницы аварийные;

ЛН1, ЛН2 – летучие ножницы;

НХР1, НХР2 – ножницы холодной резки;

Х1, Х2 – холодильники.

К полученным готовым пруткам предъявляются следующие требования:

а) соблюдение условия кратности полос по длине готовых прутков;

б) обеспечение максимальной длины полосы, но не более чем длина холодильника;

в) ограниченность снизу длины кольцевой полосы l^п_min=U*τ_к , гдеτ_к – длительность срабатывания холодильника.

В зависимости от того с какой степенью удовлетворяются условия а, б и в различают несколько типов удовлетворенческого раскроя:

1. равномерный раскрой– раскат делится на одинаковое число полос равной длины, при этом удовлетворяется условиеl_min;

2. раскрой на крат– в начале часть полос берется максимально допустимой длины кратной заданному прутку. Затем отделяется полоса отличающася от первой на целое число крат. Затем концевая полоса произвольной длины, но больше чем l_min. Данный алгоритм удовлетворяет условию а, в и частично б;

3. универсальный алгоритм(удовлетворяет всем 3 условиям).