2.3. Математическая постановка (модель) задач векторной оптимизации

Решение задачи считается оптимальным, если оно принадлежит области допустимых решений и соответствовать компромиссу между несколькими критериями оптимальности. Критерий оптимальности Q= {Q₁,Q₂, ...Q_s, ...Q_p} →opt, при этомQ₁=Q₁(A₁,X),Q₂=Q₂(A₂,X), ...Q_p=Q_p(A_p,X), гдеX={x₁,x₂,x₃, ...x_n}.

Ограничения:

Q₁, Q₂, Q₁→ max, Q₂→ min.

QQ₁Q₂

А

В область компромиссов

х_ах_в х

ОДР

Q₁ Q₂

Область компромиссов

Q₃

Главным вопросом векторной оптимизации является математическое описание компромисса и процедуры выбора компромиссных решений, при этом возможны следующие частные случаи задач векторной оптимизации:

2.3.1. Приведение многокритериальной задачи к одной или нескольким совместно решаемых задач скалярной оптимизации

а) введение суперкритерия (обобщенного критерия)

Q_об=Q_об(Q₁, ...Q_p)

Аддитивная свертка.

α_s– коэффициент важностиs-того критерия

0≤ α_s≤1

Q^нможет быть получена следующим образом:

Q_min→min

Нормализация позволяет получить единый диапазон значений [0,1] и привести этот критерий к безразмерному виду.

б) мультипликативная

в)

2.3.2. оптимизация по наиболее важному критерию

• упорядочить частные критерии по убыванию их важности;

• принять первый критерий за единственный критерий оптимальности;

• все прочие критерии преобразовать в ограничения;

• решить полученную однокритериальную задачу.

2.3.3 лексико-графический способ

• упорядочить критерии по убыванию важности;

• решить задачу оптимизации по 1 критерию, отбросив условно все остальные;

• перейти ко 2 критерию, при условии, что найденный оптимум по 1 не изменяет;

• и т.д.

2.3.4 оптимизация с использованием уступок

• упорядочить критерии по убыванию важности;

• найти оптимум по 1 критерию, при отбрасывании прочих критериев;

• назначить уступку по найденному оптимальному решению по 1 критерию;

• оптимизировать 2 критерий в пределах заданной уступки при отбрасывании прочих критериев;

• и т.д.

Q₂ A

B ΔQ₂

ОДР

Q₁

Q_1A Q_1B

Q1→max

Q2→min

2.3.5 способ идеальной точки

Для отыскания оптимального решения исходная задача ВО заменяется задачей формирования идеального решения и введение единственного критерия — критерия расстояния от ОДР до идеального решения:

• задать или установить идеальное решение в пространстве критериев оптимальности;

• установить показатель количественной оценки расстояния между произвольной точкой ОДР и идеальной точкой;

• найти оптимум по критерию расстояния.

Q₂ А (х_а)

ОДР

Q₁

–квадратичное расстояние

–модульное расстояние

Коэффициенты важности

В данном способе необходимо нормализовать (нормировать) частные критерии.

x_i*≤x_i≤x_i**

x_i∈X

2.3.6. Отыскание оптимума по Парето

Оптимальным по Парето считается такое решение задачи, которое по всем частным критериям не хуже других допустимых решений и хотя бы по одному критерию лучше.

Q₂ 5

4

ОДР 3

1 2

Q

На практике для нахождения оптимального Парето решения необходимо отбросить те варианты решений, которые по всем решениям хуже прочих решений.

Достоинства данной математической схемы: адекватность практическим задачам оптимизации, наличие известных методик и программных продуктов,

Недостатки: сложность реализации, необходимость обязательного решения ЛПР.