- •1. Характеристика основных подходов к задачам оптимизации
- •1.1. Модельный подход к постановке и решению задачи оптимизации
- •1.1.1 Применение математической модели оптимизации
- •1.2. Применение физической модели объекта оптимизации
- •1.1.3 Совместное применение (комбинирование) физической и математических моделей
- •1.1.4 Инженерный метод решения практических задач оптимизации
- •1.2. Варианты натурно-модельного подхода к задачам оптимизации
- •1.2.1. Оптимизация на базе натурно-модельных блоков пересчетными моделями
- •1.2.2. Оптимизация на базе натурного объекта и частичной физической модели
- •1.2.3. Оптимизация на базе совместно использования натурной части о. О.(объекта оптимизации), частичной физической модели оо и частичной математической модели оо
- •1.3. Натурный подход к оптимизации
- •2. Известные математические описания. Модели. Задачи оптимизации
- •2.1 Удовлетворенческая (ограничительная) математическая модель (схема) оптимизации
- •2.2. Математическая постановка (модель) задачи скалярной оптимизации
- •2.3. Математическая постановка (модель) задач векторной оптимизации
- •2.3.1. Приведение многокритериальной задачи к одной или нескольким совместно решаемых задач скалярной оптимизации
- •2.3.7. Математическая схема (модель) задач нечеткой (размытой) оптимизации
- •2.4 Экспертная система
- •2.5. Процедуры оптимизации решений на основе отбора альтернатив.
- •Классификация задач скалярной оптимизации
- •Некоторые типовые задачи скалярного математического программирования
- •Раздел 3. Некоторые алгоритмы решения задач оптимизации
- •3.1 Поисковые (прямые) алгоритмы оптимизации
- •Алгоритм полного перебора (алгоритм сеток)
- •3.1.2 Алгоритм покоординатного поиска
- •3.1.3 Градиентный алгоритм поиска оптимума с использование реверса (возврата назад)
- •3.1.4 Поиск оптимума в многокритериальном пространстве.
- •Оптимизация решений с использованием теории статистических решений (тср)
- •Случай 1.
- •Случай 2
- •Некоторые процедуры Парето-оптимизации
Оптимизация решений с использованием теории статистических решений (тср)
Предположение, что отсутствует противодействие ЛПР, а неопределенность ситуации обусловлены неполным знанием действительности со стороны ЛПР.
Рассмотрим критерии и процедуры принятия решений для 2-х случаев:
Когда ЛПР неизвестны.
Когда ЛПР имеют более полную информацию по влиянию внешней среды, т.е. знает вероятности тех или иных влияний окружающей среды.
Случай 1.
- ЛПР имеет информацию о возможных состояниях внешней среды
- ЛПР не имеет информации о том состоянии, которое реализуется в настоящий момент.
Дано:
- множество состояний внешней среды: Е1, Е2,...,Еj,...Ed
- варианты возможных решений, которые выбирает ЛПР. A1, A2, Ai,...,Am.
- ЛПР может количественно оценить эффективность вариантов решений. Аi:
yij=fj(Ai), где j=1,d; i=1,m. Здесь fi — частная функция (полезность) i-ого варианта решений
Требуется:
- выбрать оптимальный вариант решения А*.
Процедура оптимального выбора решения в условиях полной неопределенности (случай 1) опирается на следующую матрицу частных эффективностей вариантов решений:
Ai\Ej |
E1 |
... |
Ej |
... |
Ed |
A1 |
y11 |
... |
y1j |
... |
y1d |
.... |
... |
... |
... |
... |
... |
Aj |
yi1 |
... |
yij |
... |
yid |
... |
.. |
... |
... |
... |
... |
An |
ym1 |
... |
ymj |
... |
ymd |
Функция fj(Ai) характеризует возможность достижения цели (возможный доход, который может быть получен) при выборе решения Ai при состоянии среды Ej
Примечания.
В некоторых задачах решений вместо функции эффективности применяют функции потерь, которая аналогичная функция эффективности.
Процедура принятия решений в данном случае строится по аналогии с решением задач векторной оптимизации путем построения обобщенного критерия оптимальности, при этом функции частной эффективности аналогичны частным критериям векторной оптимизации.
Рассмотрим возможные обобщенные критерии и правила выбора оптимального решения для случайных вариантов.
1) Критерий и правило принятия решений исходя из равнозначности влияния внешней среды — критерий Лапласа. Математическая запись выглядит следующим образом:
Рекомендация для ЛПР состоит в том, что следует выбирать тот вариант Ai, который имеет максимальную среднюю эффективность
2)Критерий и правило оптимизма.
Данное правило ориентирует ЛПР на выбор решения по максимальной эффективности. Поэтому называется правилом оптимизма.
3) Критерий и правило принятия решений оптимизма.
4) Критерий и правило пессимизма
(критерий Вальда).
5) Критерий Сэвиджа
6) Критерий взвешенного оптимизма-пессимизма (кр. Гурвица)
Пример
Выбор наилучшего проекта строительства предприятия.
-Известно 5 вариантов строительства А1, А2,...,А5. Качество этих вариантов оценивается экспертами.
Критерии:
-f1-расчетная прибыль
-f2-затраты на строительство
-f3-экологический ущерб от строительства
-f4-удволетворенность жителей района или города
Каждый из этих критериев оценивается по 5 бальной шкале
В результате была построена следующая таблица принятия решений
A\E |
E1 |
E2 |
E3 |
E4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
A1 |
4 |
3 |
4 |
3 |
3.5 |
4 |
3 |
1 |
1 |
3.5 |
A2 |
5 |
3 |
3 |
3 |
3.5 |
5 |
3 |
3 |
1 |
4.0 |
A3 |
2 |
4 |
2 |
4 |
3.0 |
4 |
2 |
2 |
3 |
3.0 |
A4 |
5 |
3 |
2 |
3 |
3.25 |
5 |
2 |
2 |
2 |
3.6 |
A5 |
4 |
4 |
3 |
4 |
3.75 |
4 |
3 |
3 |
1 |
3.5 |
1 — правило лапласа
2 — правило оптимизма
3 — правило осторожности
4 — правил пессимизма
5 — правило Сэвиджа
6 — правило Гурвица
Окончательное решение по данному примеру выбирает ЛПР основываясь на сравнении математических схем и полученных вариантов решений