LibrEduMethodSectionsEditionsFilesDownload

			Рисунки к заданию 3. 20
1.	3м	2м				2.	P
	q		P2					60°
B						M D	D	A	60°	C
		C	1м
	P1		м			45°
			1
		A
			1,5м	1,5м					B
3.		C				4.	r		r2
	B
						q
		30°							r1
	F			E		D
		M					G			P
	A
									Q
			Рисунки к заданию 3. 21
1.						2.
	2м	2м	2м
		q				A
P1
			M			2м			C
										D
							A	B
	B	C								К
			2м		60°
									E
		30°
						P2
3.						4.
		Р								B
				E		B
A		60°					A
			45°
		D
						q
				45°
						C
										101

Рисунки к заданию 3. 22

1.

2.

а

P

30° A

q

м

b

D

А

2

2

P1

В

M

2м

м

C

2

C

B

60°

2м

3м

К

В1

D1

3.

В

4.

2q

q

В

45°

45°

C

F

Е

C

D

D

Е

А

А

Рисунки к заданию 3. 23

1.

2.

C

C

D

P1

м

2м

q

3

45°

M

D

A

B

60°

A

B

P2

2м

3м

3.			4.
C			A	C1
		K
					C2
D
					B
	30°
30°	E O	P
B	A			60°	30°
					O

102

				Рисунки к заданию 3. 24
1.			q			2.
						P2	B
		C			60°
	P1			B
						30°
	45°	M					P
D				A
						C	D
	2м	2м	2м	3м	2м	A

3.	A	4.
	E	D
	O	A
C		B
		C
	60°
	B

1.

2м 2м
	q
C
M 3м	B
30°
	3м

3.

К

D 30°

A B

Рисунки к заданию 3. 25

	2.			E
		E	O
P1
A	B		D	B
		r
45°
	P2
3м		A	C	A
	4.	1/2ℓ		1/2ℓ
				x
			G

A	B
	1,6м

30° Е			О
	C		P
			0,5м
		Q

103

4 РАВНОВЕСИЕ ТЕЛ И СИСТЕМ ТЕЛ С УЧЕТОМ ТРЕНИЯ

При движении или стремлении двигать одно тело по поверхности другого в касательной плоскости поверхностей соприкосновения возникает сила, препятствующая движению тел относительно друг друга. Эту силу на-

зывают силой трения скольжения.

В теоретической механике обычно рассматривается сухое трение между поверхностями тел, т.е. такое трение, когда между телами нет смазки. Для сухого трения различают трение скольжения при покое или равновесии тела (трение сцепления) и трение скольжения при движении одного тела по поверхности другого с некоторой относительной скоростью.

Если тело находится в равновесии под действием плоской системы

активных сил на шероховатой поверхности, то реакция R этой поверхности зависит от активных сил не только по модулю, но и по направлению (рисунок

n

4.1). Разложим реакцию R

шероховатой по-

F1

верхности на составляющие,

одна из которых

F2

N направлена по общей нормали к поверхности

R

N

соприкосновения и является нормальной реак-

Fn

цией, а другая F ,

расположенная в касательной

плоскости к этим поверхностям, − силой трения

F

скольжения:

Рисунок 4.1

R

N F .

В инженерных расчѐтах обычно исполь-

зуют основные приближенные законы Кулона для сухого трения скольжения: 1. Сила трения скольжения находится в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей тел и направлена в сторону, противоположную направлению возможного или реального скольжения тела под действием приложенных сил. Сила трения при покое зависит от активных сил и еѐ модуль изменяется от нуля до максимального значения, которое достигается в

момент выхода тела из положения равновесия, т.е.:

0F Fmax.

2.Максимальная сила трения скольжения пропорциональна нормальному

давлению (нормальной реакции):

Fmax = f N,

где безразмерный коэффициент f называется коэффициентом трения скольжения. Он зависит от материалов и состояния поверхностей соприкасающихся тел (шероховатость, температура, влажность и т.п.) и определяется экспериментально. При движении коэффициент трения скольжения зависит от скорости скольжения: для большинства материалов с увеличением скоро-

104

сти значение коэффициента сначала незначительно уменьшается, а затем остаѐтся практически неизменным.

3. Максимальная сила трения в довольно широких пределах не зависит от площади соприкасающихся поверхностей.

Многие задачи на равновесие тела на шероховатой поверхности удобно решать геометрически, для этого вводится понятие угла трения.

Угол отклонения реакции R от нормальной составляющей N изменяется от нуля до максимального значения max (рисунок 4.1).

Наибольший угол max между реакцией шероховатой поверхности, построенной на максимальной силе трения, и направлением нормальной реакции называют углом трения, т.е.:

	tg max =	Fmax	= f.
		N

Пример. Тело весом Р = 500 Н удерживается в равновесии на наклонной шероховатой плоскости. Коэффициент трения между телом и плоскостью ƒ = 0,8, = 60 . Определить значение силы F при равновесии тела.

Решение.

Возможны два случая предельного равновесия тела и соответственно

два предельных значения силы F .

Вариант первый. Сила F1 стремится сдвинуть тело вверх по по-

верхности, а сила Fтр будет направлена противоположно (рисунок 4.2). Составим уравнения равновесия для плоской сходящейся системы

сил:

n

X k

0 ,

F1 − Fтр − Р·sin = 0,

k

1

n Yk

0 ,

N − P·cos = 0.

k

1

x

F2

x

F1

F

N

тр

N

Fтр

y

y

P

P

Рисунок 4.2

Рисунок 4.3

105

Из второго уравнения находится N:

N = P cos , тогда Fтр = ƒ N = ƒ Pcos = 0,8 500 0,5 = 200 H.

Из первого уравнения определяется F1:

F1 = Fтр + Р sin = 200 + 500 0,86 = 630 H.

Вариант второй. Тело под действием силы тяжести стремится опуститься вниз по поверхности, а сила F2 удерживает тело. В этом случае на-

правление силы трения совпадает с направлением силы F2 (рисунок 4.3). Составим одно уравнение равновесия для этого случая:

n	X k 0 , F2 + Fтр − P·sin	= 0, где Fтр = ƒ·N = 200 Н.
k	1
	F2 = Р sin − Fтр = 500	0,86 – 200 = 230 Н.
Ответ: Сила F при равновесии тела должна удовлетворять условию
	230 Н F	630 Н.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

В каждом из 25 вариантов заданий содержится по 3 задачи. Рисунки к задачам по вариантам представлены на страницах 113 125. Первая и третья задачи имеют общее условие для всех вариантов, а вторая – индивидуальная в каждом.

В первой задаче рассматривается равновесие одного тела, пренебрегая его размерами, то есть образуется плоская сходящаяся система сил. Составленные уравнения равновесия соответствуют предельному равновесию тела.

Условие первой задачи для всех вариантов одинаковы, а исходные данные, рисунки, искомые величины различные. Рекомендации по решению задач см. на странице 10.

Во второй задаче предлагается рассмотреть предельное равновесие абсолютно твердого тела, к которому приложена плоская произвольная система сил. В зависимости от поставленного вопроса требуется составить одно, два или три уравнения равновесия плоской произвольной системы сил. Рекомендации по решению задач смотреть на странице 37.

В третьей задаче предлагается составная конструкция из двух или трех тел, в которой одна из внутренних связей является поверхностью с трением.

Условие задачи для всех вариантов одинаково, а исходные данные, рисунки и искомые величины различные.

Задача решается одним из известных способов решения составных конструкций. Рекомендации по решению задач смотреть на странице 75.

106

При решении всех задач следует указать, какое (минимальное или максимальное) значение коэффициента трения (при покое) или активной силы использовано при записи уравнений предельного равновесия.

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Тело А массой mА соединено гибкой нерастяжимой нитью, переброшенной через блок, с телом В массой mB. Тело А расположено на горизонтальной или наклоненной под углом к горизонту плоскости. Коэффициент трения между телом А и плоскостью fA. Тело В свободно подвешено на нити или опирается на плоскость, наклоненную под углом к горизонту. Коэффициент трения между телом В и плоскостью fB. Трением в блоках и шарнирах пренебречь.

Необходимые для расчѐта данные и искомые величины указаны в таблице 7 на странице 111. При нарушении предельного равновесия тела А считать, что тело В будет опускаться.

Задачи 4.01.2 - 4.25.2

4.01.2.К валу, радиус которого 10 см, приложена пара сил с моментом

М= 120 Н·м. К валу симметрично прижимаются две тормозные колодки. Коэффициент трения между поверхностью вала и колодками равен 0,4. Найти силу Q давления колодок на барабан для удержания вала в равновесии и давление оси барабана на подшипники.

4.02.2.Однородная тяжелая балка длиной 2 м опирается концом А на горизонтальную поверхность, а в точке В на гладкую вертикальную опору высотой h = 1 м. Найти наименьший коэффициент трения между балкой и плос-

костью, при котором возможно равновесие, если угол наклона балки = 60°.

4.03.2. Однородная тяжелая балка опирается одним концом на гладкий пол, а другим на негладкую наклонную плоскость, образующую с горизонтом угол . Найти, при каком угле балка будет находиться в равновесии, если коэффициент трения ее поверхности о наклонную плоскость равен f.

4.04.2. Вертикальный стержень весом 200 Н может двигаться в направляющих А и В, расстояние между которыми равно b = 1,5 м. Стержень поднимается силой, приложенной к кронштейну, вылет которого а = 0,2 м. Найти наименьшую величину силы Р для подъема стержня при условии, что в направляющих А и В возникает сила трения и коэффициент трения равен

f= 0,2. Толщиной стержня пренебречь.

4.05.2.Дверь отодвигается с трением в нижнем горизонтальном пазу АВ. Коэффициент трения f не более 0,3, ширина двери b = 0,6 м; центр тяжести С

107

находится на ее вертикальной оси симметрии. Определить высоту h, на которой следует поместить ручку двери, чтобы дверь при отодвигании не опрокинулась, если приложенная к ручке сила Р горизонтальна.

4.06.2. Доказать, что однородная тяжелая балка, прислоненная к негладкой вертикальной стене, не может находиться в равновесии, если другим концом опирается на гладкий пол.

4.07.2.Горизонтальный стержень АВ имеет отверстие на конце А, которым надет на вертикальный стержень СD. Толщина втулки а = 5 см. В точке

Вподвешен груз Р. Коэффициент трения между втулкой и стержнем СD f = 0,1. Пренебрегая весом конструкции, определить расстояние ℓ от оси стержня СD до точки подвеса груза Р, чтобы горизонтальный стержень не скользил вниз по вертикальному.

4.08.2.К вертикальной стене приставлена лестница АВ. Коэффициент трения лестницы о пол fA = 0,4, а о стену fB = 0,2. Вес лестницы 120 Н, вес стоя-

щего в середине лестницы человека 720 Н. Определить наибольший угол , составляемый лестницей со стеной в положении равновесия.

4.09.2. Тяжелый диск удерживается в равновесии нитью АВ и силой трения скольжения о стену в точке С. При каком соотношении между коэффициентом трения о стену и углом наклона нити возможно равновесие в таком положении?

4.10.2. Однородный тяжелый брус опирается в точке А на негладкий горизонтальный пол под углом = 45°, а другой конец удерживается веревкой. Коэффициент трения бруса о пол равен f. Под каким углом к горизонту следует натянуть веревку, чтобы конец бруса начал скользить по полу?

4.11.2. Рычаг АОВ прижимается силой Р = 100 Н к вращающемуся кулачку в точке В. Пренебрегая весом рычага, определить давление плеча ОВ на кулачок; величину силы трения между ними при коэффициенте трения f = 0,1 и горизонтальную силу давления рычага на шарнир О, при = 60°.

4.12.2.Однородная лестница АВ весом Р одним концом опирается на негладкий пол. Коэффициент трения лестницы о пол равен f. Под каким углом

кполу должна стоять лестница, чтобы по ней мог подняться доверху человек весом Q?

4.13.2.Однородная тяжелая плита длиной ℓ = 6 м лежит на двух опорах А

иВ. При каком максимальном угле наклона α балка будет сохранять равнове-

108

сие, если коэффициенты трения на опорах соответственно fA = 0,25, fB = 0, b = 3 м, d = 2 м?

4.14.2. К канату подъемной машины подвешен груз весом Р = 2000 Н. Радиус барабана r = 20 см, радиус тормозного барабана R = 25 см. Какую силу Q необходимо приложить к тормозным колодкам, чтобы удержать барабан в равновесии, если коэффициент трения между поверхностью барабана и колодками равен 0,4? Определить силу давления оси О барабана на подшипники.

4.15.2. Однородная тяжелая плита длиной ℓ опирается одним концом на горизонтальную плоскость, а точкой С на гладкий выступ вертикальной опоры высотой а = 1/2ℓ. Коэффициент трения между плитой и полом f = 0,48. Определить наименьший угол α между плитой и полом, при котором плита удерживается в равновесии.

4.16.2. Однородная тяжелая плита АВ одним концом опирается на негладкую плоскость, наклоненную под углом α = 30° к горизонту, a другим на гладкий пол. Каким должен быть наименьший коэффициент трения между плитой и наклонной плоскостью, чтобы плита оставалась в равновесии?

4.17.2. Прямоугольная конструкция АВЕD весом Q и длиной ℓ = 1,5 м расположена на негладком полу стороной АВ. Центр тяжести С конструкции находится на вертикальной линии, отстоящей от стороны АD, на расстоянии b = 1/3ℓ. На высоте h = 2 м от пола к конструкции, параллельно полу, прикреплен канат для перемещения конструкции. При каком значении коэффициента трения f между полом и плоскостью АВ возможно опрокидывание конструкции при ее перемещении силой Р, приложенной к канату.

4.18.2. Стержень весом 200 Н может двигаться в вертикальных направляющих А и В, расстояние между которыми h = 1 м. К кронштейну, вылет которого а = 0,1 м, в точке С приложена вертикальная сила Р = 180 Н. Найти коэффициент трения между стержнем и направляющими, при котором стержень остается в равновесии, пренебрегая его толщиной.

4.19.2.Однородная плита весом 5 кН стоит на негладком полу под углом

α= 60° и опирается на гладкую стену. Коэффициент трения плиты о пол f = 0,6. Какую горизонтальную силу P нужно приложить к концу А плиты, чтобы вывести ее из равновесия?

4.20.2.Двойной рычаг АОВ с а = 0,6 м и b = 0,3 м концом В опирается на вал радиусом r = 0,2 м. Коэффициент трения между валом и рычагом 0,5. Чему должна быть равна минимальная сила P, приложенная к другому концу

109

рычага, чтобы удержать вал в равновесии, если к валу приложен вращающий момент М = 20 Н·м ?

4.21.2. На вертикальный стержень насажен самотормозящийся кронштейн АВ, толщина скользящей втулки которого а = 10 см. Вылет консоли кронштейна b = 1 м. Каким должен быть коэффициент трения между стержнем и втулкой, чтобы кронштейн не скользил по стержню, если на нем подвешен груз весом Р? Толщиной стержня пренебречь.

4.22.2. Однородный тяжелый стержень АВ опирается на негладкий пол в точке А и удерживается в наклонном положении, посредством каната, грузом весом Р. Каким должен быть коэффициент трения между концом стержня и полом при равновесии стержня при угле наклона стержня ?

4.23.2.Однородный цилиндр весом 200 Н удерживается в равновесии, посредством каната, грузом Р на негладкой плоскости, наклоненной под углом

α= 30° к горизонту. Определить вес груза Р и коэффициент трения между плоскостью и поверхностью цилиндра, пренебрегая трением качения.

4.24.2.К канату подъемной машины подвешен груз Р весом 50 кН. Радиус рабочего барабана R = 0,4 м, радиус тормозного барабана r = 0,3 м. Тормозная колодка прижимается силой Q = 100 кН. Определить коэффициент трения между поверхностью тормозного барабана и колодкой, а также горизонтальное давление оси барабана на опору при равновесии системы.

4.25.2. Однородная плита весом 20 кН лежит под углом α = 30° к горизонту на двух опорах в точках А и В. Коэффициент трения между поверхностью балки и опорой А fA = 0,5. Определить минимальный коэффициент трения fB между плитой и опорой В при равновесии плиты.

Задача 3. К тормозному барабану подъемной машины рычагом или стержнем прижимается тормозная колодка для удержания в равновесии поднимаемого груза. Коэффициент трения между поверхностями задан. Определить минимальное значение силы P и реакции опор механической системы в указанных точках при еѐ равновесии. Трением в шарнирных связях и блоках, массой блоков, колодок и канатов пренебречь. Необходимые для расчета данные приведены в таблице 8 на странице 112.

110