LibrEduMethodSectionsEditionsFilesDownload

	X C	S k xk	, YC	S k yk	,	(6.3)
		S		S

где S – площадь фигуры;

– центра тяжести линии с координатами:

X		k xk	,	Y	k yk	, Z		k zk	,	(6.4)
	C			C			C

где ℓ – длина линии.

Методы определения положения центра тяжести тел

1.Метод симметрии. Если однородное тело имеет центр, ось или плоскость симметрии, то центр тяжести находится, соответственно, в центре, лежит на оси или в плоскости симметрии.

2.Метод разбиения. Применяется для определения положения центра тяжести сложных тел. Если тело можно разбить на конечное число простейших частей, центры тяжести которых известны, то координаты центра тяжести всего тела можно непосредственно вычислить по формулам (6.1 – 6.4). При этом число слагаемых в каждом из числителей будет равно числу частей, на которые разбито тело.

3.Метод дополнений. Это частный случай метода разбиений, который применяется для определения положения центра тяжести сложных тел, имеющих вырезы или пустоты, если известны центр тяжести тела без выреза

ицентры тяжести вырезаемых частей. В этом случае в формулах (6.1 – 6.4) Р, V, S, ℓ дополненных частей берутся с отрицательными знаками.

4.Метод интегрирования. Применяется, когда тело нельзя разбить на конечное число составных частей, центры тяжести которых известны. Этот метод является универсальным.

Координаты центров тяжести некоторых однородных тел

а) Центр тяжести площади треугольника – точка пересечения медиан. y

	B		X			xA	xB	xD			,
A				C			3
	C
					yA		yB	yD
			Y						,		(6.5)
			C				3
	D	x	где xA , xB , xD , yA , yB , yD				– координаты вер-
			шин треугольника в выбранной системе коор-

динат.

б) Центр тяжести дуги окружности лежит на оси симметрии Ох.

161

X C

OC

R

sin

,

(6.6)

C

где R – радиус дуги окружности,

x

− половина центрального угла, рад.

O

R

в) Центр тяжести площади кругового сек-

тора лежит на оси симметрии Ох.

XC

OC

2

R

sin

,

(6.7)

3

O

C

x

где R – радиус сектора,

R

− половина центрального угла, рад.

Задачи на определение координат центра тяжести сложных тел рекомендуется решать в следующем порядке.

1.Понять рисунок тела или плоской фигуры, положение центра тяжести которых требуется определить.

2.Выбрать систему координат, если она не задана на рисунке.

3.Разделить конструкцию, тело, плоскую фигуру на минимальное количество простейших элементов, или сначала дополнить сложную фигуру до простейшей, а затем разделить.

4.Вычислить длины, объемы или площади выделенных элементов и координаты их центров тяжести.

5.Используя формулы для определения координат центров тяжести сложных тел и фигур, вычислить координаты центра тяжести заданной конструкции или тела в принятой системе координат.

Пример. Определить координаты центра тяжести сложной тонкой однородной пластины изображенной на рисунке 6.2, если ОВ1 = R = 60 см,

ОВ = ОА = ОЕ = ОF = r = 30 см.

Решение.

Для решения задачи применяется метод дополнений. Разбиваем пластину на простейшие фигуры, центры тяжести которых можно вычислить:

1.Сектор ОЕ1В1;

2.Сектор ОАВ;

3.Прямоугольник ОВДЕ;

4.Треугольник ОЕF;

5. Прямоугольник ОВ1D1Е1.

162

Вычисляем площади (Sk) выделенных фигур:

S			3 r 2		3 3,14 0,62			0,84				м2,	S		r 2			3,14 0,32				0,07 м2,
	1	4			4									2	4				4
				2	2			1			2				2				2			2
		S3 r			0,09 м	, S4				r		0,045 м				, S5		R		0,36		м	.
								2

По формуле (6.7) определяем расстояния ОС1 и ОС2 и координаты точек С1, С2

у

	A
C1		C2
F	О	В	В1	х
	C4
		C3

ЕD≡С5

E1 D1

Рисунок 6.2

OC			2		R	sin		2									0,6		sin135			0,12 м,
1	3							3									0,75
x1 OC1 cos 45	0,12							2									0,08 м,			y1		OC1 cos 45 0,08 м,
								2
OC2	2	r		sin 45										2			0,3			2			0,18 м,
								3
	3 0,25																2 0,25 3,14
	x2 y2									OC2							cos 45			0,12 м.

Координаты точки С3: x3 = 0,15 м, y3 = − 0,15 м. Координаты точки С4 определяются по формуле (6.5):

x4 = − 0,1 м, y4 = − 0,1 м.

Координаты точки С5 (совпадает с точкой D) x5 = 0,3 м, y5 = − 0,3 м.

163

Координаты центра тяжести всей пластины определяются по форму-

лам (6.3)

			X C			S1 x1		S2 x2		S3 x3		S4 x4		S5 x5
								S1	S2	S3		S4	S5
0,84 (			0,08 ) (	0,07 )			0,12 (		0,09 )		0,15		(	0,045 )		( 0,1)	0,36 0,3
				0,84 0,07 0,09 0,045 0,36
		0,024 м,
			YC		S1 y1			S2 y2		S3 y3		S4 y4		S5 y5
								S1	S2	S3		S4	S5
0,84 0,08			( 0,07 )	0,12			(	0,09 ) (		0,15 ) (			0,045 ) (			0,1)	0,36 ( 0,3 )
				0,84				0,07	0,09		0,045			0,36
− 0,11 м.

Ответ: ХС = 0,024 м, YС = − 0,11 м.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Данная тема содержит 25 вариантов заданий по 6 задач в каждом. Условия задач во всех вариантах одинаковые, а исходные параметры и рисунки различные. Рисунки к заданиям по вариантам представлены на страницах 171 - 183. Номер рисунка соответствует порядковому номеру задачи в задании.

Задача 1. Определить положение центра тяжести плоской фигуры состоящей из тонких однородных стержней. Оси координат выбрать самостоятельно. Исходные параметры заданы в таблице 9 на странице 166.

Задача 2. Определить положение центра тяжести пространственной конструкции, состоящей из тонких однородных стержней, относительно заданных осей координат. Исходные параметры заданы в таблице 10 на странице

167.

Задача 3. Определить положение центра тяжести плоской однородной фигуры. Оси координат выбрать самостоятельно. Исходные параметры заданы в таблице 11 на странице 168.

Задача 4. Определить положение центра тяжести однородного сложного тела. Оси координат выбрать самостоятельно. Исходные параметры заданы в таблице 12 на странице 169.

164

Задача 5. Определить положение центра тяжести плоского сечения, составленного из стандартных прокатных профилей (уголки, швеллеры, двутавры). Характеристики стандартных профилей приведены в таблицах А.1 А.4 справочного приложения А на страницах 184 – 185. Оси координат выбрать самостоятельно.

Задача 6. Однородная тонкая квадратная пластина с вырезами, закреплена в точке А сферическим шарниром, в точке В − цилиндрическим шарниром и удерживается в горизонтальном положении вертикальным стержнем ЕF. Определить координаты точки Е закрепления стержня при условии, что реакция шарнира В равна нулю, а реакция стержня была бы вдвое больше реакции шарнира А. Оси координат заданы. Исходные параметры приведены в таблице 13 на странице 170.

165

ТАБЛИЦА 9 Исходные данные к задачам 6.01.1 – 6.25.1

В метрах

Номер варианта	Линейные размеры
1	ОA1 = A1А = 0,8
2	ОА2 = 0,4, А2А1 = А1А = 0,2
3	ОA1 = А1А = 0,8
4	АВ = ВD = BF = AF = FE = 0,6
5	OA = AB = 1,5, OF = FE = 2
6	AB = BD = 0,8, DE = EF = 0,6
7	OA = 0,6, AB = 0,8
8	OA = 0,6, OF = OH = 0,8
9	AB = 0,8, OB = 0,6
10	AB = AE = 2R = 0,8
11	Радиусы всех дуг R = OA = 0,2; центры в точках O, A, B, F, G
12	Радиусы всех дуг R = OA = 0,4; центры в точках O, A, B, D, E
13	AB = BD = DE = 0,3
14	OA = OB = OD = R = 0,4
15	OE = OA = R = 0,2
16	O1A = O1B = r = 0,6, O2A = O2D = R = 0,9
17	O1A = O1B = r = 0,4, O2A = O2D = R = 0,8
18	O1A = 0,2, O2A = O2E = 0,4
19	AF = FE = R = 0,2; центры дуг – точки A, F, E
20	O1A = O1O2 = O2E = 0,2
21	O1A = R = 0,6, O2B = r = 0,3
22	AE = BE = R = 0,4, BO = OE = r = 0,2
23	OA = R = 0,2
24	O1A = O1B = R = 0,5, O2B = O2D = r = 0,3
25	O1B = O2B = R = 0,2

166

ТАБЛИЦА 10 Исходные данные к задачам 6.01.2 – 6.25.2

В метрах

	Номер	Линейные размеры
	варианта
	1	ОA = АA1 = 0,8, OB = 0,6
	2	ОO1 = OA = 0,8, OB = 0,6
	3	ОA = OD = 0,8, OE = 0,6
	4	OE = 2r = 0,6, AO = OB = 0,8
	5	OA = 0,4, BD = 0,2, AB = DE = 0,1, OK = KF = r = 0,2
	6	OA = 0,6, OF = FE = FG = АВ = BD = 0,8
	7	AB = BD = 0,6, OG = GF = 0,6, OA = 0,8
	8	OA = 0,8, OF = 0,6, FE = ED = 0,6
	9	OF = OB = BD = 0,6, OA = 0,8
	10	OF = 0,4, AB = 0,5, OA = 0,6
	11	OG = GB = 0,3, OF = 0,4, OA = 0,6
	12	OA = FG = 1, OB = OF = 0,6
	13	OF = OE = R = 0,6, AO = BD = 0,8
	14	OA = OB = R = 0,5, OE = O,3
	15	OA = OF = 0,4, AB = EF = 0,3, OD = 0,6
	16	OA = OH = 0,4, OE = AB = BD = GH = FG = 0,3
	17	OH = OD = HF = r = 0,4, OA = 0,3
	18	O1D = R = 0,2, OA = 0,3
	19	OA = 1,2, OE = 0,9, OB = 1,6, BD = 0,8
	20	OA = OF = DE = 0,8, OD = AB = 0,6
	21	OG = 0,1, GH = 0,2, OA = 0,4, OD = 0,5
	22	OA = AB = R = 0,4, OF = 0,3, OE = 0,8
	23	OA = АB = BD = R = 0,3, OF = 0,4
	24	OA = OF = GA = R = 0,3, OE = AB = 0,5, ED = 0,1
	25	OA = OD = R = 0,2, OB = 0,3

167

ТАБЛИЦА 11		Исходные данные к задачам 6.01.3 – 6.25.3
		В метрах
Номер		Линейные размеры
варианта
1		О1A = ED = 0,06, OA = 0,12
2		AF = 2AB = 0,24, OD = 0,12, OD1 = 0,09
3		ОA = OB = 0,9, OF = OG = 0,6, BD = 1,2
4		OD = OH = 0,6, AG = 2, AB = 1,5, EF = 0,9, BD = 0,2
5		R = 2, OD = OE = r = 1,4, OA = 1,2
6		R = 1,2, OA = OB = OD = 0,9
7		OA = R = 1,8, OА1 = OВ1 = 1,2
8		OB = R = 1, OA1 = 0,8
9		AB = EF = 0,3, OB = OD = 0,5AF = 0,4
10		OA = OF = 0,6, AB = 0,3, BD = 0,6, FE = 0,6
11		OG = OA = R = 0,2, AB = 0,3
12		BA = 0,3, AO = OH = 0,24, BD = 0,6, DE = 0,7, FG = 0,1
13		AF = 0,8, OF = 0,3, OE = OD = R = 0,4
14		BD = 0,4, OD = R = 0,3, DE = 0,8, AB = 0,9
15		OB = OD = R = 0,3, DE = 0,4, AB = 0,1, AF = 0,3
16		OB = OD = R = 0,6, OE = 0,9, AB = 0,8
17		AD = AE = 1,2, OB = OF = R = 0,3
18		OA = OE = R = 0,6, OB = 0,9, OD = 1,2
19		AB = 0,6, OD = OB = R = 0,2, OF = 0,6, DE = 0,2
20		AB = 0,8, DE = BD = R = 0,6, OE = OD = r = 0,3, DF = 0,6
21		DF = BD = DE = R = 0,6, AB = 0,8
22		OE = OD = R = 0,6, AB = 0,3, AE = 1,2
23		O1D = O3D = O3E = O2E = R = 0,6, AB = 0,15
24		AE = 0,6, AB = 0,55, OH = 0,25, OF = R = 0,21, AH = 0,3
25		AB = AE = 0,6, OF = R = 0,2, DK = 0,25, EM = 0,2

168

ТАБЛИЦА 12 Исходные данные к задачам 6.01.4 – 6.25.4

В метрах

	Номер варианта	Линейные размеры
	1	AA1= 0,2, AD = 0,5, DB = 1,2, B1F = 0,3, EE1 = 1, E1F1= 0,1
	2	AE = A1K = 0,6, ED = 0,9, R = 0,3, r = 0,2, AA1 = 0,1
	3	HO = OK = 0,6, AB = 0,5, A1F = 0,3, r = 0,2, HF = AA1 = 0,3
	4	AL= 0,4, LL1= 0,5, BD = 0,2, GH = 0,1, GF = FE = 0,2
	5	AB = 2R = 0,6, AA1= 0,3, BD = EF = 0,2, D1E1= 0,4, DD1 = 0,1
	6	AE = 0,5, EF = 0,3, AA1 = 0,4, A1A2 = 0,5, FF1 = 0,3, AB = 1
	7	AE = AA1= 1,6, ED = 2, FF2 = FF1 = E1E3 = 0,8, EE2 = 0,2
	8	OA1 = R = AE = 0,6, EE1 = 0,2, ED = 1
	9	AA1 = 0,5, AE = 0,4, ED = 0,6, OG = 0,25, OE1 = 0,3
	10	AE = 0,4, ED = 0,6, AA1= 0,5, EE2 = E1E3 = 0,1, E2F = 0,3, FF1= 0,2
	11	AE = 1, AB = 0,6, AA1=A1F = 0,3, OM = R = 0,3, LD1= 0,1, FF1= 0,4
	12	AE = R = 0,3, ED = 0,5, OF = r = 0,24, OE = 0,2
	13	AE = A1E1 = R = 0,9, E1H = E1F = r = 0,6, ED = 1, EE1 = 0,3
	14	AB = AG = 0,5, AH = 0,25, OD = OE = R = 0,1, AA1= 1, OH = 0,25
	15	AB = AE = 0,6, F1B1 = A1F = 0,3, OG = R = 0,3, AA1= 0,1
	16	AB = AF = 0,8, O2D2 = R = 0,6, DD2 = D2D1 = 0,4
	17	О1А = О2В = R = 0,2, O1O2 = O2O3 = 0,3
	18	OA = R = 0,3, AA1 = 0,5
	19	OB = R = 0,3, AB = 0,4, AE = 0,5, EE1 = BB1 = 0,5
	20	AB = AG = 0,4, GG1 = 0,6, EE2 = 0,3, O1D1 = R = 0,3
	21	AG = 0,3, OH = 0,15, GG1 = 1, OD = r = 0,12, AH = HG
	22	OA = OE = R = 0,3, AB = 0,45, BD = 0,39, AA1 = 0,6
	23	R = 0,15, AE = AA1 = 0,4, FF1 = 0,1, B1F1 = 0,52, AB = 0,45,
		OA = OD, OB = OE
	24	AB = AK = 0,5, BD = DE = GH = 0,1, GF = 0,4, AA1 = 0,8
	25	AB = AG = 0,5, BD = GF = 0,14, AA1 = 0,7, D1D2 = 0,3

169

ТАБЛИЦА 13 Исходные данные к задачам 6.01.6 – 6.25.6

В метрах

	Номер	Линейные размеры
	варианта
	1	OA = R = 0,3, OH = OB = 0,6
	2	AM = 0,6, АВ = AD = HG = R = 0,3
	3	AB = 0,6, DG = KH = R = 0,3
	4	AB = 0,6, GH = AL = R = 0,3
	5	OA = OH = 0,6, OB = R = 0,3, AL = GH = 0,3
	6	AK = AD = 0,6, DB = R = 0,3
	7	AB = AK = 0,6, DG = HG = R = 0,3
	8	OD = OK = 0,6, AD = R = 0,3, KH = 0,3
	9	OA = OH = 0,6, DG = R = 0,3
	10	AB = OA = R = 0,3, KH = HG = 0,3
	11	OB = OK = 0,6, GD = AK = R = 0,3
	12	OB = OG = 0,6, AD = AG = R = 0,3
	13	AB = BO = OD = DG = GH = R = 0,3
	14	AB = AK = 0,6, GH = HK = R = 0,3
	15	OG = GH = R = 0,6, AK = KH = 0,6
	16	BD = DH = R = 0,6, AK = 0,6
	17	OH = AL = R = 0,6, OB = AD = 0,5
	18	OG =1,2, OA = GB = R = 0,6
	19	AH = HK = R = 0,6, KG = GL = LB = 0,6
	20	HG = GO = R = 0,6, OD = 1,2
	21	HB = BK = R = 0,6, HG = GL = 0,6
	22	GD = DA = R = 0,6, HL = LG = 0,6
	23	LG = GK = R = 0,6, BD = DL = 0,6
	24	KA = AL = R = 0,6, LB = BD = 0,6
	25	OD = DB = R = 0,6, BH = HK = 0,6

170