[ Будылин ] Основные вопросы по высшей математике в третьем семестре (с примерными ответами)

! "

! "!#$ " % #

"# &$' ($ ( )$ " (%$(*$ $ $ (%$

#$

%

+

,--. +

Основные вопросы по высшей математике в третьем семестре

Будылин А.М.

Содержание

4.1Линейные дифференциальные уравнения . . . . . . . 78

4.2Нелинейные дифференциальные уравнения . . . . . . 96

1 Введение

Данное учебное пособие посвящено основным вопросам по курсу математического анализа на физическом факультете в третьем семестре, а именно вопросам по теории кратного интегрирования,

1

включая интегрирование дифференциальных форм, и вопросам по теории дифференциальных уравнений.

Нет необходимости лишний раз подчёркивать важность упомянутых тем для полноценного становления современного физика. Безусловно, существует обширная отечественная учебная литература, посвященная упомянутым разделам высшей математики, однако общедоступные учебники как правило страдают одним из следующих двух недостатков: либо изложение материала в значительной степени устарело и не отвечает современным математическим штампам, либо оно ведётся на чрезмерно математизированном уровне, не вполне оправданном с точки зрения физика. Стоит отметить, что многие современные зарубежные учебные издания с успехом преодолели эти недостатки и их опыт хотелось бы заимствовать. Особенно это касается вопросов интегрирования дифференциальных форм, составляющих наиболее значительную часть курса.

Однако главным побудительным мотивом к написанию предлагаемого пособия явился переход от устного экзамена к письменному. Не затрагивая здесь мотивов, собственно оправдывающих эту реформу экзамена, отметим, что в рамках письменного экзамена по математическому анализу на первый план в теоретической части экзамена выступает умение студента-физика давать краткие (то есть без развернутых доказательств), но по существу содержательные ответы на основные вопросы курса. Как показала практика, далеко не каждый студент готов самостоятельно отобрать материал для составления такого ответа. Настоящее пособие содержит примерные ответы на основные вопросы курса. Оно предназначено студентам всех трёх потоков как образец для составления кратких ответов. Стоит подчеркнуть, что оно ни в коей мере не является подменой конспекта лекций и не достаточно для сдачи экзамена на повышенную оценку.

2

2Общий список основных вопросов по курсу

1.Что такое двойной интеграл? Перечислите его основные свойства.

2.Что такое тройной интеграл ? Перечислите его основные свойства.

3.Как свести двукратный интеграл к повторному?

4.Что такое аддитивная функция множества? Как определяется ее плотность. Как аддитивную функцию восстановить по плотности?

5.Что такое матрица Якоби и якобиан отображения R3 ! R3? Их геометрический смысл.

6.Опишите формулу замены переменных в кратном интеграле.

7.Как выглядит двукратный интеграл в полярных координатах? Дайте пример.

8.Как выглядит трехкратный интеграл в сферических координатах? Дайте пример.

9.Что такое несобственный кратный интеграл?

10.Что такое абсолютная сходимость несобственного интеграла?

11.Дайте признаки абсолютной сходимости двукратного интеграла в точке и на бесконечности.

12.Дайте признаки абсолютной сходимости трехкратного интеграла в точке и на бесконечности.

13.Сформулируйте теорему о непрерывной зависимости интеграла от параметра.

3

14.Что такое гладкая кривая на плоскости, в пространстве? Касательный вектор.

15.Что такое ориентация кривой? Параметризация, согласованная с ориентацией.

16.Определение и физический смысл криволинейного интеграла 1-ого рода.

17.Что такое гладкая поверхность? Как вычислить площадь гладкой поверхности?

18.Определение и физический смысл поверхностного интеграла 1-го рода.

19.Определение и физический смысл криволинейного интеграла 2-ого рода на плоскости.

20.Как записать криволинейный интеграл от дифференциальной формы на плоскости в терминах интеграла 1-го рода?

21.Дифференциальная 1-форма на плоскости. Интерпретация, интегрирование 1-формы.

22.Какие алгебраические операции над 0-, 1- и 2-формами на плоскости Вы знаете?

23.Что такое внешний дифференциал функции и 1-формы на плоскости?

24.Ориентация плоской области. Интегрирование 2-форм. Связь с двукратным интегралом.

25.Поясните формулу замены переменных в двукратном интеграле на языке форм.

26.Опишите формулу Грина на плоскости на языке форм.

4

27.Как записать формулу Грина в терминах криволинейного интеграла 1-ого рода?

28.Условия независимости криволинейного интеграла на плоскости от пути интегрирования.

29.Когда 1-форма на плоскости является дифференциалом функции? Как найти первообразную (точной) 1-формы на плоскости?

30.Ориентация поверхности и области в трехмерном пространстве.

31.Всякая ли поверхность допускает ориентацию?

32.Что такое согласованные ориентации кривой и ее края?

33.Что такое согласованные ориентации поверхности и ее края в пространстве?

34.Что такое согласованные ориентации области и ее границы в трехмерном пространстве?

35.Какие дифференциальные формы бывают в трехмерном пространстве? Их интерпретация.

36.Какие алгебраические операции над дифференциальными формами в пространстве Вы знаете?

37.Что такое внешний дифференциал формы в пространстве?

38.Что такое внутреннее произведение формы на вектор?

39.Поверхностный интеграл 2-ого рода: интеграл от 2-формы по поверхности, определение.

40.Как записать поверхностный интеграл 2-ого рода через интеграл 1-ого рода?

5

41.Интеграл от 3-формы по области в трехмерном пространстве, определение, связь с трехкратным интегралом.

42.Поясните формулу замены переменных в трехкратном интеграле на языке форм.

43.Каков общий вид формулы Стокса для множеств в трехмерном пространстве?

44.Специальный случай формулы Стокса: интеграл от дифференциала функции по кривой (формула Ньютона-Лейбница)

45.Специальный случай общей формулы Стокса: интеграл от дифференциала 1-формы по поверхности (классическая формула Стокса)

46.Специальный случай формулы Стокса: интеграл от дифференциала 2-формы по области (формула Гаусса - Остроградского).

47.Дайте определение точной и замкнутой дифференциальных форм в пространстве. Первообразная (потенциал) формы.

48.Когда дифференциальная форма в пространстве является точной?

49.Как найти первообразную точной 1-формы в пространстве?

50.Как найти первообразную точной 2-формы в пространстве?

51.Что такое градиент функции? Явная формула в декартовых координатах.

52.Что такое ротор векторного поля? Дайте явную формулу в декартовых координатах? В чем состоит физический смысл ротора?

6

53.Что такое дивергенция векторного поля? Дайте явную формулу в декартовых координатах. В чем состоит физический смысл дивергенции.

54.Определение оператора Лапласа, явная формула в декартовых координатах.

55.Что такое оператор "набла"?

56.Что такое коэффициенты Ламе? Чему равны коэффициенты Ламе для сферических координат?

57.Чему равен оператор Лапласа в ортогональных криволинейных координатах? Какой смысл имеют коэффициенты Ламе?

58.Что такое потенциальное векторное поле и как найти его потенциал?

59.Что такое соленоидальное векторное поле и как найти его векторный потенциал?

60.Как получить общее решение линейного дифференциального уравнения 1-ого порядка? Дайте формулу для решения задачи Коши.

61.Что можно сказать о структуре множества решений однородного и неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-ого порядка?

62.Что Вы знаете о вронскиане для дифференциального уравнения 2-ого порядка?

63.Как найти общее решение линейного однородного уравнения 2-ого порядка, если известно одно его частное решение?

64.Как найти решение линейного неоднородного уравнения 2-ого порядка, если известно общее решение однородного уравнения?

7

65.Что можно сказать о структуре множества решений однородного и неоднородного линейного дифференциального уравнения n - ого порядка?

66.Что Вы знаете о вронскиане для дифференциального уравнения n - ого порядка?

67.Дать формулу общего решения дифференциального уравнения вида (D k1)r1 (D k2)r2y = 0:

68.В чем состоит метод неопределенных коэффициентов для линейного дифференциального уравнения n - ого порядка?

69.Что такое линейная система двух дифференциальных уравнений 1-ого порядка и что можно сказать о структуре множества решений этой системы, однородной и неоднородной? Как такая система связана со скалярным уравнением?

70.Что Вы знаете о вронскиане для системы линейных дифференциальных уравнений 1-ого порядка?

71.Какие уравнения описывают линейные колебания в механических системах и электрических цепях?

72.Что такое резонанс?

73.Что такое разрешающий оператор (резольвента) задачи Коши для системы линейных уравнений? Опишите его свойства? В чем его значение?

74.Дайте формулу для разрешающего оператора линейной системы двух уравнений в терминах решений однородной системы.

75.Что такое матричная экспонента? Как ее вычислить?

76.Как построить решения однородной системы 1-ого порядка с постоянными коэффициентами? Дайте общую формулу для

8