matan

(– ;+ ).

в) Определить знак второй производной на интервалах между найденными точками в области определения функции.

г) Сделать выводы о промежутках выпуклости и вогнутости со-

гласно признакам выпуклости и вогнутости:

если f (x) 0 на (a;b), то график вогнутый при x (a;b) , если f (x) 0 на (a;b), то график выпуклый при x (a;b)

д) Сделать выводы о наличии точек перегиба согласно достаточ-

номуусловию существования точек перегиба: eсли при пере-

ходе через подозрительную на перегиб точку вторая производная меняет знак, то в этой точке имеется перегиб графика функции.

Задача. Исследовать средствами дифференциального исчисления

	функцию	y	1	x3	4x2	8x	и построить ее график.
			2

Решение. Исследование будем проводить по следующей схеме.

1. Область определения функции.

В нашем примере это множество всех действительных чисел, то естьx

2. Четность и нечетность функции.

f ( x) 12 ( x)3 4( x)2 8( x) 12 x3 4x2 8x f (x).

Функция не обладает свойствами четности или нечетности. Следовательно, график функции не будет симметричен ни относительно оси Oу, ни относительно начала координат.

3. Периодичность функции.

Данная функция непериодическая, так как является многочленом.

4. Непрерывность функции.

На всей области определения данная функция непрерывна как многочлен.

5. Поведение функции на концах области определения.

Концами области определения являются и , так как x ( ; ). Найдем пределы функции при x .

f x

1

x3 4x2

x3

1

4

8

1

lim

lim

8x

lim

;

x2

x

x 2

x

2

x

2

f x

1

x3 4x2

x3

1

4

8

1

lim

lim

8x

lim

.

x2

x

x 2

x

2

x

2

31

Таким образом, слева, при x , график функции уходит неограниченно вниз, а справа, при x , – неограниченно вверх.

6. Интервалы монотонности и точки экстремума.

Вычислим производную функции и найдем критические точки. y 12 3x2 4 2x 8 32 x2 8x 8.

																				0.
Производная существует при любых x. Решим уравнение y
		3	x2 8x 8 0.
	2
	3x2 16x 16 0.
		D 162 4 3 16 64;
x	16 64						4		1	1	,	x		16 64					4.
1	6					3			3			2					6
Следовательно,
				y		3			x2 8x 8			3			4		x 4 .
													x
						2
												2			3

Точки	x	4	и	x 4	− критические. Они делят область опреде-
	1	3		2
ления функции на интервалы:							;	4		,	4		; 4		,	4; . Изо-
								3			3

бразим эти интервалы на числовой оси (рис. 2).

y

y

max min

											x
			4
					4
			3
					Рис.2

Поведение функции на каждом интервале определяется знаком производной. Для определения знака y на интервале достаточно взять любое значение х из рассматриваемого интервала и подставить его в производную y .

32

а) На интервале		;	4		выберем	число, например, x 0, и
			3

			3				4
подставим его в производную:	y (0)			0 4	0				0 .
			2				3

		;	4			0, следовательно,
Так как на интервале					производная y
			3

функция y возрастает на этом интервале (см. признаки монотон-
ности).
б) На интервале		4	;	4		возьмем	x 3 , подставим в произ-
		3

											3					4
													3 4		3		0.	Следовательно, на ин-
водную, получим y (3)
											2					3
тервале		4						функция убывает.
					;		4
		3										4;
в)		На					интервале								возьмем значение x 5 .				Видим,
				3					4
							5 4 5				0,			следовательно,				на интервале	4;
что y (5)
				2					3

функция возрастает.

Знаки первой производной проставим на рис. 3.При переходе через точку x 43 производная меняет знак с плюса на минус, зна-

чит, x 43 является точкой максимума (см. признак экстремума).

Найдем значение функции yв этой точке:

	4			1		4 3			4 2			4		128			20
ymax y								4			8					4		.
				2								3		27			27
	3					3			3

	1		20
Таким образом, график имеет максимум в точкеА 1		; 4		.
	3		27
При переходе через точку x 4 производная меняет знак с

минуса на плюс (рис. 2). Это означает, что x 4 – точка минимума.

ymin y 4 12 43 4 42 8 4 0.

33

В точке B(4;0) график функции имеет минимум.

7. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Найдем производную второго порядка от рассматриваемой функ-

ции y	1	x	3	4x	2	8x .	Так как y			3	x	2	8x 8,	то
	2									2

	3x 8.Вторая производная существует при любых значениях x.
y
						0:
Найдем точки, где y
								3x – 8 = 0 x	8	.
									3
		Значениех=8/3				является единственным, подозрительным на
перегиб. Эта точка					делит область определения ( ; ) на интер-
			8			8
валы		;		и			;	(см. рис. 4).
			3			3

а) На интервале		;	8		выберем любое число, например,
			3

x 0		3x 8. Получим
	и подставим его во вторую производную y
	3 0 8 0, значит, на этом интервале график функции вы-
y (0)

пуклый (см. признак выпуклости и вогнутости).

		8
б) На интервале			;	возьмем, например,	x 5 и подста-
		3

	3 5 8 0, значит,
вим во вторую производную. Получим y (5)

на этом интервале график функции вогнутый.Знаки второй производной проставим на рис. 3.

y		перегиб

y

8

x

3

Рис. 3

34

																										8
	Так как при переходе через точку x 3
																															вторая производная												y	ме-
	няет знак, то x					8		– точка перегиба (см. условие перегиба).
						3
								8					1						8 3						8					2						8			64		10
				yперегиб				y															4											8						2		.
													2																												27
								3											3						3											3 27
	Таким образом, точкаС											2	2			;		2		10			– единственная точка перегиба.
													3							27
	8. Точки пересечения графика с осями координат.
	На оси			Oудля							всех								точек								выполнено													условие			х	=
	0,поэтому y 0					1		03		4 02 8 0 0. Получена точка пересечения
						2
	с осью Oу:(0;0). Для всех точек на оси																																	Oxвыполняется условие
	y 0, тогда
	1																													1
			x3	4x2 8x 0 ,									то есть												x									x2 4x 8 0.
	2																													2
	Произведение равно нулю, когда один из множителей равен
	нулю, в нашем случае x 0																	или				1		x2	4x 8 0.Решим это квадрат-
																						2
															1
	ное уравнение: D 42									4								8 0;							x1,2							4 0						4.
													2																					1
	Значения функции в точках x 0 и																														x 4 были найдены ранее:
	y(0) 0,			y(4) 0.Таким образом, график функции пересекает ось Оx в

точках (0;0) и (4;0).

9. Дополнительные точки.

Для более точного построения графика можно найти дополнительные точки. Например, найдем значение функции yпри x 5 :

y 5 12 53 4 52 8 5 52 2,5.

D 5; 2,5 – дополнительная точка для построения графика.

Выпишем результаты исследования функции y 12 x3 4x2 8x . 1. Область определения ( ; ) .

35

2. lim y ,	lim y .
x	x
3. Функция возрастает на промежутках			; 1	1			и	4;	,
				3

		1
убывает на промежутке	1		;	4	.
		3
						1			20
4. Максимум функции в точкеА 1							;	4			, минимум – в точке
						3			27

В(4;0).
5. График выпуклый на интервале											;2	2		и вогнутый на
												3
		2
интервале	2		;	.
		3
					2			10
6. Точка перегиба С 2						;	2
					3			27

7.Точки пересечения с осями координат: (0;0), (4;0).

8.Дополнительная точкаD 5; 2,5 .

Построим график функции (рис. 4). На плоскости Oxy отметим все характерные точки: точки пересечения с осями координат, точки экстремумов, точку перегиба, а также дополнительную точку.

y

5 A

4

3

2 C D

1

–1

0

1

2

3

4

5

x

Рис. 4

36

В силу непрерывности функции соединим все отмеченные точки плавной кривой, продолжив график влево вниз и вправо вверх согласно поведению функции на концах области определения и учитывая характер монотонности и выпуклости графика функции.

Неопределенный интеграл

Задачи 31– 40

Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

31.а) x3 9x 1 dx; x

б) cos 2x 5 dx;

7

в) x2 4 5x3 dx;

г) (2x 4)e 7xdx.

33.а) 2 3x2 xx dx; x

б) cos(2x 1)dx;

в) 1 x dx;

x

г) (3x 2)cos7xdx.

35. а) x2 x3 x 1 dx; x2

	32.а)		x4 2			x		10	dx;
				3 x
	б)
				4 6x dx;
	в)		etg x		dx;
		cos2 x

г) x2 ln(3x)dx.

34.а) x 23x2 1 dx; x

б) e3 2xdx;

x2

в) (3 2x3)2 dx;

г) (5 x)sin 6xdx.

36.а) 5x2 x2 3 dx; x

б)			2x 3				dx;		б)
					5
в) x		3		e	x4 2	dx;		в)

	1
	(3 2x)5 dx;
	1	dx;
	(x 1)ln2
		(x 1)

37

г) lnx63x dx.

37. а) x5 x 1 dx;

3 x

б) (9x 5)4 dx;

в) x cos(x2 1)dx;

г) (4x 1) e 3xdx.

39.а) x6 1 dx;

3x2

б) e 0,5x 1dx;

в) x2 e3x dx; x3 e3x

г) x4 ln(6x) dx.

г) (3 2x)sin5xdx.

x4 9 3

5

38.а)

x

dx;

x2

б) cos(2 3x) dx;

в)

3 tgx

dx;

cos2 x

г) (5x 2)cos5xdx.

x2 33

4

40.а)

x

dx;

x

1 3x

б) sin

dx;

4

в)

2 ln x

dx;

x

г) (2 x)

e 5xdx.

Методические указания к решению задач 31 –40

Функция F(x) называется первообразной функции f (x) , если

F (x) f (x).

Множество всех первообразных функции f (x) задается формулой F(x)+C, гдеС – произвольное число, и называется неоп-

ределенным интегралом от функции f (x) :

f (x)dx F(x) C .

Свойства неопределенного интеграла

1. ( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx;

38

2. k f (x)dx k f (x)dx ,

где k – постоянная, отличная от нуля.

Таблица интегралов.

1.

dx x C;2.

1

dx ln

x

C;

x dx

x 1

x

3.

C, 1;

1

4.

exdx ex C; 5.

axdx

ax

C;

6. sin x

dx cos x C;7.

ln a

cos x dx sin x C;

8.

1

dx ctg x C; 9.

1

dx tg x C;

sin2 x

cos2 x

10.

1

dx arcsin x C;

11.

1

dx arcsin

x

C;

a

1 x2

a2 x2

12.

1

dx arctg x C;13.

1

dx

1

arctg

x

C;

1 x2

a2 x2

a

a

14.

1

dx

1

x a

C.

ln

x2 a2

x a

2a

1

15.

dx ln

x

x2 a2

C;

x2 a2

Примечание. Формулы верны, когда переменная х является независимой переменной, а также когда х является функцией другой переменной: х = х(t).

39

Основные методы интегрирования

Идея всех методов интегрирования заключается в приведении искомого интеграла к табличному интегралу или сумме табличных интегралов.

1) Непосредственное интегрирование.

Интеграл приводится к табличному виду путем алгебраических или тригонометрических преобразований.

2) Замена переменной (интегрирование подстановкой).

Сведение интеграла к табличному виду осуществляется с помощью подстановки t = (x). Тогда дифференциал dt равен

dt (x)dx.

Рекомендации по введению новой переменной даны ниже в примерах.

Обратите внимание! Интегрирование – это операция, обратная дифференцированию. Если интеграл взят правильно, то производная от интеграла равна подынтегральной функции:

f (x)dx F(x) C f (x) .

Задача. Найтинеопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

Решение. В контрольной работе интеграл, обозначенный буквойа берется методом непосредственного интегрирования. При этом используются табличные интегралы от степенных функций:

x dx

x 1

C,

1;

dx

ln

x

C.

1

x

Используются также правила действий со степенями.

										1
	3 3		2 6x4					3x3										6x4
а)		x												2
							dx														dx
	3							4						4				4
					4
				x
								x 3						x 3				x 3

40