matan

x 2

x 1

3.Четные, нечетные функции.

4.Монотонные, периодические функции

Типовые задачи

1. Найти область определения функций:

													3
							y 3	5 x
1.	y	x	2	2x 8		2.
													x 3
3.				2		4.	y arccos			x 1
	y lg x				3
										5

2. Данные функции записать в виде цепи равенств, каждое звено которой содержит основную элементарную функцию (степенную, показательную, логарифмическую, тригонометрическую):

1.	y			3x 1 7		2.	y lg sin 3x
					2				x	2
3.				2x x		4.		2
	y						y sin
			3

3. Вычислить частное значение функций:

а) f (x) при x = 0, x = 2, x = –2.

							1
б) f (x) 2x	2x 2		2x 6		2x				при x=0, x=1.
							2
в) f (x) ex 1при x = 0, x = 1,						x a , x =–1.
									2

Тема 3. Предел функции

Основные вопросы

1.Понятие предела функции в точке и на бесконечности, их графические пояснения. Односторонние пределы.

2.Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства и взаимная связь.

3.Первый и второй замечательные пределы. Число е.

71

4.Определение эквивалентных бесконечно-малых, привести примеры эквивалентных бесконечно-малых.

5.Понятие непрерывности функции в точке. Точки разрыва, их виды.

Типовые задачи

1.Вычислить пределы функций:

3x7 5x5 2

2x2 7

а)

lim

;

б)

lim

x 2

;

x 1 7x6 3x 4

x 5x2 6x 4

3x3

e

sin 3 x

1

в)

lim

;

г)

lim

;

x 2 x

2

x0 x 2 x3

tg 2 2x

2n 1

2n 4

д) lim

;

е) lim

;

x0 x sin 5x

n 2n 1

2. Исследовать на непрерывность функцию схематически ее график.

	y	2x		,	изобразить
		x 1

Тема 4. Производная функции

Основные вопросы

1.Понятие производной и дифференциала функции.

2.Геометрический, механический и экономический смысл производной.

3.Производные второго порядка и выше.

Типовые задачи

1. Найти производные функций:

а) y 5x 4 ;б) y arctg(2x 3)

x3

в) y 3 - x2 ;г) y = x2ln(3x-1).

5x 1

72

							1					е) y 2x 1 10 .
д) y 3 x2
							2		.
							x
							1					з) y ex xa .
ж) y 3 x2
								x2 .

Тема 5. Приложения производной

Основные вопросы

1.Признаки возрастания и убывания функции.

2.Необходимые и достаточные условия экстремума функции.

3.Признаки выпуклости и вогнутости графика функции.

4.Необходимые и достаточные условия перегиба графика функции.

Типовые задачи

1. Исследовать функции средствами дифференциального исчисления и построить их графики:

а) y = x3 - 9x2; б) y xe x; в) y xlnx..

2. Составить уравнение касательной, проведенной к графику функ-

ции y 4x x2 в точке x = 1. Результаты изобразить графически. 3. Найти пределы функций по правилу Лопиталя:

a) lim	2x2		15x 18	; б) lim	e3x 1	.
	x	2	4x 12		sin2x
x 6				x 0

Тема 6. Неопределенный интеграл

Основные вопросы

1.Первообразная. Неопределенный интеграл

2.Свойства неопределенного интеграла.

3.Формула интегрирования по частям.

Типовые задачи

73

1. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить диффе-

ренцированием.

x cos 4x2 dx ;

б)

2x3

а)

dx

;

5

x x

dx

;

в)

3 7x 5

x 2

г)

x 2,5

dx ;

д)

x

2

sin xdx ;

е)

1 ln x

dx .

x

x2

5x

6

Тема 7. Определенный интеграл

Основные вопросы

1.Определѐнный интеграл, его геометрический смысл.

2.Формула Ньютона-Лейбница.

3.Нахождение площади плоской фигуры.

4.Основные методы интегрирования.

Типовые задачи

1.Вычислить площади фигур, ограниченных линиями. Сделать чертеж.

а)	у = х2,	у = 0, х = 2;
б)	y = x3,	у = 8;

2.Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями. Сделать чертеж.

а)	y = x2,
		y = x ;
б)	y = 4 – x2,	у = х2 – 2x.

Тема 8. Дифференциальные уравнения первого порядка

Основные вопросы

1.Обыкновенные дифференциальные уравнения, их общее и частные решения.

2.Задача Коши для ДУ первого порядка.

74

3.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

4.Линейные уравнения первого порядка. Метод Бернулли решения линейного уравнения первого порядка.

Типовые задачи

1. Решить дифференциальные уравнения:

а)		3	y	x	г)				sin 2x
	y		x			y cos x ysin x
б)		y tg x ctg x			д)
	y					2x 1 y y x
в)		y cos x sin 2x			е)	xy y e	x	0
	y

2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условиюу= у0прих= х0:

а)

y y sin x e cos x sin 2x,

y0 3,

x0 .

2

б)

y 2xy 2xe x2 ,

y0 5,

x0 0.

в)

y y

e x

,

y0 2,

x0 0.

x2

1

г)

y 3

y

x3ex ,

y0 e,

x0 1.

x

д)

y 2

y

1

,

y 1,

x 3.

x

x2

0

0

Тема 9. Дифференциальные уравнения высших порядков

Основные вопросы

1.ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

2.Структура общего решения линейного неоднородного уравнения (ЛНДУ) второго порядка.

75

3.ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Типовые задачи

1. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

а)	y 3y 2y 0,	y(0)=2,
б)	y 2 y y 0,	y(2)=1,
в)	y 4y 4 y 0,	y(0)=0,
г)	y 5y 6 y 0,	y(1)=7,
д)	y 6 y 9 y 0,	y(0)=0,

y (0) 3. y (2) 0. y (0) 1. y (1) 0. y (0) 1.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:

а)	y y 2 y 6x2
б)	y 5 y 4 y x2 1
в)	y y 6x3 24 x

Тема 10. Числовые ряды

Основные вопросы

1.Числовые ряды.

2.Определение числового ряда. Необходимый признак сходимости.

3.Признаки сходимости рядов с положительными членами.

4.Знакопеременные ряды.

5.Абсолютная и условная сходимость.

Типовые задачи

76

1. Исследовать сходимость рядов, используя признаки сравнения.

1

а)

sin

;

б)

;

2n

3n

n 1

n 1

1

1

в)

tg

;

г)

;

4n

n2

n 1

n 1

2n

2n 1

1 n

д)

;

е)

.

3n

3

n

1 n

2

n 1

n 1

Тема 11. Степенные ряды

Основные вопросы

1.Степенные ряды, их области сходимости.

2.Ряды Тейлора и Маклорена.

3.Применение рядов в приближенных вычислениях.

Типовые задачи

Найти область сходимости степенных рядов.

x

n

1.

10n xn ;

2.

1 n 1

;

n

n 1

n 1

x

n

4.

n!xn ;

5.

;

n!

n 1

n 1

n

n

7.

2

x

;

8.

2n 1 xn ;

n

n 1

n 1

			x	n
	3.						;
			n 10n 1
		n 1
			x		n
	6.								;
			n n 1
		n 1
			1		n	x		n 1
	9.								.
		n 1	2n 1

Тема 12. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Основные вопросы

1.Понятие функции двух переменных, еѐ графическое изображение.

2.Линии уровня для функции двух переменных.

3.Понятие частных производных, их смысл.

77

4. Полный дифференциал для функции двух и трѐх переменных.

Типовые задачи

1.Найти уравнение линий уровня и построить несколько линий уровня для функции:

а) z = х – 2у;				б) z = ху.
2. Найти частные производные	z	и	z	для функции:
	x		y

а) z x 4 e y 3 x 2 y; б) z x3ex2 y 2 .

Тема 13. Приложения дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Основные вопросы

1.Производная по направлению, еѐ смысл.

2.Вектор-градиент, его смысл.

3.Понятие экстремума для функции двух переменных.

4.Необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Типовые задачи

1.Найти градиент функции z x4 y3 2xy в точке М(2;1).

2.Найти производную функции z x2 xy y2 ) в точке М(2;3) в направлении вектора a 3i 4 j .

3.Найти экстремум функции во всей еѐ области определения:

		x	x y2 .
а) z x3 8y3 6xy 1;
	б) z e 2

4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

zx3 y3 3xy, в области 0 x 2, 1 y 2.

5.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x2 y2 в круге x2 y2 4.

Тема 14. Двойные и тройные интегралы

78

Основные вопросы

1.Двойной интеграл.

2.Геометрический и физический смысл двойного интеграла.

3.Сведение двойного интеграла к двукратному.

4.Приложения двойного интеграла.

5.Определение тройного интеграла. Некоторые приложения тройного интеграла.

Типовые задачи

1.В двойном интеграле перейти к двукратному, вычислить площадь области D:

1)	D: x = 0,	x + y = 2,	x = 1,			y x2.
2)	D: y = 0,	y = 1,	y = 4 – x,			x y2.
3)	D: x = 0,	x = 1,	y x ,			y = 2x.

2. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:

1)	z x2 y2,	x y 1,	x 0,	y 0,	z 0.
2)	z 2 (x2 y2),	x 2 y 1,	x 0,	y 0,	z 0.

6. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

6.1. Основная литература

1.Высшая математика для экономических специальностей: учебник и практикум для вузов. Ч 1,2 / под. Ред. Н. Ш. Кремера. – 2- е изд., прераб. и доп. – М.: Высш. образование, 2008. – 893 с.

2.Малыхин В.И. Высшая математика: учебник / И. В. Малыхин; – 2-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА–М, 2006. – 364 с.

3.Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов: учебник /В. Л. Клюшин; Рос.ун-т. дружбы народов. – М.:ИНФРА–М,

2006.– 447 с.

79

6.2Дополнительная литература

4.Математический анализ для экономистов: учебник для вузов / О. И. Ведина[идр.]; под ред. А. А. Гриба – 2-е изд., перераб. и

доп. – СПб.: Лань, 2004. – 343 с.

5.Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебное пособие для вузов / под ред. В.И. Ермакова; Рос.экон. акад. им Г. В. Плеханова. – М.: ИНФРА-М, 2001. – 574 с.: ил.

6.Красс,М.С. Математика для экономистов: учебн. пособие для вузов / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. – СПб.: Питер, 2008. – 464 с.

7.Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: тридцать шесть лекций. Ч. 1 / Д. Т. Письменный. – 6-е изд. –

М.: Айриспресс, 2006. – 280 с.: ил.

8.Просветов, Г. И. Математика в экономике. Задачи и решения: учебник для вузов / Г. И. Просветов; Рос.акад. экономики и права. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Экзамен, 2008. – 446 с.

9.Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике / В. П. Минорский. – 14-е изд., исправл. – М.: Физмалит, 2003. – 336 с.

10.Математика для экономистов. Задачник: учебно-практ. пособие для вузов / под ред. С. И. Макарова и М. В. Мищенко. – М.:

КноРус, 2008. – 358 с.

11.Высшая математика для экономистов: учебник / под ред. Н. Ш.

Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006/2007. – 479 с.

80