matan

											1							4																				4														4			4																																									4											8
			3x								3 3																2x										3						6x												3								dx																		1			2x												3							6x				3
																																																																				3x																																											dx
		3								dx 2x																											4																			8																		dx					2 x												4																				8
																																																		6x												dx 3
																																					3 dx																				3																																		3 dx 6 x3dx
		x
																																																																											x
																														4					1																	8		1																																					1													11
3ln									x									2					x				3																		6				x3										C								3ln											x						2				x			3				6								x 3								C
																											4						1																	8			1																																				1														11
																											3
																																																		3																																							3															3
																				6															18										3		2																																6							18													3
3ln																																																			C 3ln																																										3											2				C.
								x																																			x				3																							x																					x											x
																			3 x																11																																											3 x								11
Проверка.
																																																																																																				1															11
																		6															18						x3 3 x2																														3ln																				6x																									18				C
3ln					x																																																			C																										x																		3															x 3
																		3 x									11																																																																																							11
		1																								1															1			1								18							11									11			1													3							2															8
3											6																																																																0																								6x3
																														x											3																									x 3
																																																																																													4
		x																								3																										11							3																										x
																																																																																											x 3
			1																								8															4
																																																		3 3														2 6x4
	3x3 2 6x3 x 3
																																																												x																					.
																				4
																																																															3 x4
																		x 3

Получена подынтегральная функция, что и требовалось показать.

Интегралб в контрольной работе берется методом замены переменной (подстановкой). Приведем ряд примеров.

	1 2x
1б. sin		dx.
	3

41

	За новую переменную возьмем аргумент подынтегральной
функцииt									1 2x								и найдем dtпо формуле:
											3
														1 2x																	1								2													2											2
																				dx																						x dx 0													1 dx									dx.
	dt t (x)dx																	3														3							3													3											3
Тогда
																			t			1 2x
																								3
			1 2x																							2																						3									3
			sin											dx					dt											dx										sin t										dt											sin t dt
								3																		3																						2									2
																			dx								3			dt
																											2
											3			cost C															3		cost								C					3							1 2x									C.
																																															cos
											2																		2															2								3
	В последнем действии осуществлен переход к исходной пере-
менной x с учетом, что t																									1 2x										.
																													3
Проверка.
								3										1 2x																			3						1 2x
																																																							C
												cos												C																cos
										2									3																		2											3
	3		1 2x											1																						3						1 2x												2							1 2x
																			2x
			sin																								0												sin																	sin									.
	2							3										3																		2								3										3										3
Что и требовалось показать.
			1		1		x
2 б.			e 3						dx .

За новую переменную возьмем показатель степениt 1 13 x .

Тогда

42

												t 1			1		x
		1													3
	1			x											1
																					et 3dt 3 et dt 3et C
	e	3 dx										dt				dx
															3
												dx 3dt
	1			1	x
									C.
	3e	3
	Проверка.
		1				1														1	1			1	1
									x													x				x		1
	3e					3					C			3 e							3			C 3e	3	1				x	0
																												3
		1					1			x			1		1			1	x
	3e					3								e 3 .
													3

Получена подынтегральная функция, что и требовалось показать.

1

3б. (4 3x)7 dx .

За новую переменную возьмем функцию, стоящую в основании степени t 4 3x. Тогда

			1					t 4 3x																	1				1						1			t	7 1
																					t 7													7dt
						dx		dt 3dx																		dt						t								C
			3x)7																																3
	(4																								3				3
											1																											7 1
								dx				dt
											3
			1			t 6	C				1					1				C				1				1						C.
			3 ( 6)													t6							18					3x)6
									18																	(4
Проверка.
			1			1											1
									C									(4 3x) 6										C
							6
		18 (4 3x)												18

43

	1				6 1				1			7		1
			( 6)(4	3x)		(4	3x)	0		(4	3x)		( 3)		.
	18								3					(4 3x)7

Получена подынтегральная функция.

Интегралпод буквой вв контрольной работе также берется методом замены переменной (подстановкой). Ознакомимся с примерами таких подстановок.

1в. xsin(2 3x2 )dx .

За новую переменную удобно взять аргумент тригонометриической функции, если к тому же под интегралом присутствует производная этого аргумента в качестве множителя.

													t 2 3x2										1				1
		xsin(2 3x2 )dx											dt 6xdx																sin tdt
																							6				6
																					sin t			dt
													xdx			1	dt
															6
			1		cost C						1	cos(2 3x2 ) C.
		6									6
	Проверка.
	1													1	sin(2				3x2 ) ( 6x) 0
				cos(2					3x2 ) C																	xsin(2 3x2 ).
		6												6
	2в.					e		x		dx .
							x

Здесь за новую переменную удобно принять показатель степени, учитывая, что под знаком интеграла присутствует производная этого показателя (с точностью до постоянного множителя).

44

t

x

e

x

1

dx

dt

dx

et 2dt 2 et dt 2et C 2e x C.

x

2

x

dx

2dt

x

Проверка.

1

e

x

2e x C

2e

x

x

C 2e

x

0

.

2

x

x

3в. sin 3x 63 4cos3x dx .

За новую переменную удобно взять подкоренное выражение, так как под интегралом присутствует также его производная (с точностью до постоянного множителя).

														t 3 4cos3x
	sin 3x 6											dx		dt 4 sin 3x 3dx							6				1
							3 4cos3x															t				dt
																								12
																		1
														sin 3x dx					dt
														12
				1						7
		1						1			t 6		C		1	6 3 4cos3x 7
				t 6		dt														C.
		12						12		7				14
										6

Проверка.

			7								1
	1		6			1			7		6
		3 4cos3x		C						3 4cos3x		3 4cos3x
14						14			6
										45

1

121 3 4cos3x 6 0 4 sin 3x 3x sin 3x 63 4cos3x.

Получена подынтегральная функция,что и требовалось показать.

	4в.		x3	dx .
		2	x4 2

За новую переменную берем функцию, стоящую в основании степени, так как подынтегральное выражение содержит производную этой функции (с точностью до постоянного множителя).

					x3								t 2 x4										1					dt
											dx		dt 4x3dx												4							1	t 2dt
	2 x
						4			2				x3dx				1									t2					4
																			dt
																	4
		1			t 1			C					1	C							1						C.
	4				1								4t							4(2 x4 )
Проверка.
																											2
				1											1
												C				( 1)					2 x4								2		x4			C
										4
			4(2 x								)			4
		1		2 x4 2 4x3 0																	x3		.
	4																	2 x4 2

Интеграл под буквой г берется методом интегрирования по частям:

udv uv vdu .

1г. ln x dx .

3x2

46

																																принимаем:																			находим:
																2
	ln x										dx			ln x x						dx											u ln x;																				du	1				dx;
																			3
3		x			2																																															x
														u				dv																																											1
																																																2																		1
																																									dx										v x									dx			x3
																																dv														;												3								3x3
																																																															1
																																								3 x2																					3
																																1							1											ln x 3 x											2
																																									dx 33
uv vdu ln x 33																								3x3																																					3 dx
																					x																											x
																																							x
																	2
33 x ln x 3 x																	3 dx 33 x ln x 3 33 x C 33 x (ln x 3) C.
Проверка.
33 x (ln x																										3 x (ln x 3)																						3 x (ln x 3)													C
														3) C 3
					2																																		2									1
3					1			x					(ln x 3) 3												1							0 x													(ln x 3) 3x										1
												3																															3										3
																						x
					3																						x
					2									2		2
x							ln x 3x									3x																ln x						.
					3										3									3
																															3 x2

Что и требовалось показать.

2г. (x 2)sin 5x dx.

		принимаем:	находим:
(x 2)sin 5x dx		u x 2;	du dx;
		dv sin 5x dx;	v sin 5x dx 1 cos5x
u	dv
			5

47

				1					1
				5					5
uv		vdu (x 2)			cos5x					cos5x dx

15 (x 2) cos5x 15 cos5x dx 15 (x 2) cos5x

15 15 cos5x d (5x) 15 (x 2) cos5x 251 sin 5x C.

Решения задач г.2 и г.3 даны без проверки. Студент может выполнить еѐ самостоятельно.

x

3г. (3 x)e5 dx .

x

принимаем:

находим:

(3 x) e5 dx

u 3 x;

du dx;

dv

x

x

x

x

u

x

dv e 5 dx;

v e 5

dx 5 e 5 d

5e 5

5

x

x

x

x

uv vdu (3 x) 5e5

5e5 ( dx) 5(3 x)e5 5 e5 dx

Определенный интеграл

Задачи 41 – 50

Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

41.	xy 3;	x y 4 0.
42.	y 3x2 2;	y 3x 4.
43.	xy 3;	x y 4 0.
44.	y x2 4x 3;	y x 3.
		48

45.xy 6;

46.y 2x x2;

47.xy 8;

48.y x2 3x 4;

49.xy 7;

50.y x2 x 1;

x y 7 0.

x y 0.

x y 9 0.

y 2x 4.

y x 8.

y x 2.

Методические указания к решению задач 41 – 50

Определенный интеграл – это число, которое находится по формуле Ньютона-Лейбница:

b		b
f (x)dx F (x)		F (b) F (a),
a		a

где F(x) – первообразная для функции f x , то есть F x f x ;

a , b – нижний и верхний пределы интегрирования, показывающие, как меняется переменная интегрирования х.

Формула Ньютона-Лейбница связывает определенный и неопределенный интегралы. Чтобы ею воспользоваться, следует взять сначала неопределенный интеграл, т.е. найти первообразную, причем удобно взять произвольную постоянную равной нулю: C 0, а затем вычислить разность значений этой первообразной в верхнем и нижнем пределах.

Например:

2	x3			2		23		13			8			1			7		1
x2dx																		2		.
1	3			1		3		3			3			3			3		3

Геометрический смыслопределенного интеграла.

Если функция y f (x) неотрицательная на отрезке a;b , то

49

	b
	f (x)dx S ,
	a
где S– площадь под кривой y f (x) на отрезке a;b (рис. 5).
Вычисление площадей плоских фигур.
Площадь фигуры,	заключенной между кривыми y f1(x) и
y f2 (x) на отрезке a;b , вычисляется по формуле
	b
	S ( f2 (x) f1(x)) dx ,
	a
при этом f2 (x) f1(x)	для x a;b (рис. 6).

yy y f2(x) y f (x)

S

S 0ab

0abx y f1(x)

Рис. 5Рис. 6

Задача.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y x2 6x 5 и y x 1. Сделать чертеж.

Решение. Выполним чертеж.

Первое уравнение определяет параболу, а второе – прямую линию.Для построения параболы найдем координаты ее вершины и точки пересечения ее с осями координат. Если уравнение параболы

y ax2 bx c , то вершина параболы находится в точке x0 2ba .

50