matan

cos

ax

;

cos

ay

,

a

a

где

a2

a2

– длина вектора

a

a .

x

y

Градиентом функции z f (x; y) в точке M (x0; y0 ) называется вектор, координаты которого равны значениям частных производных функции z, вычисленным в точке M (x0; y0 ):

z

z

i

j.

grad z {zx ; zy}

x

y

Этот вектор указывает направление скорости наибольшего

роста функции

z в точке M, а его модуль

grad z(M )

указывает ве-

личину этой скорости.

Производная

функции z f (x; y) по

направлению

вектора

M (x0; y0 )

a {ax ;ay

}

в точке

показывает

скорость

изменения

функции

z

в точке M (x0; y0 ) в направлении вектора a

и вычисля-

ется по формуле

dz

zx cos zy cos ,

da

и

–

частные

производные, вычисленные в

где zx

zy

точкеМ(х0;у0),cosα, cosβ–направляющие косинусы вектора

a .

dz

Если

>0, то функция z возрастает в точке М в направле-

da

dz

0,

нии вектора a .Если окажется, что

то функция z убывает в

da

точке М в направлении вектора a .

Задача.Для функции z f (x; y) y2ex3y найти: a) полный дифференциал;

б) градиент функции z в точке M (0;1) ;

в) производную функции z в точке M (0;1) по направлению вектора

		3
a			;2 .
		2

Решение.а) Сначалавычислим частные производные:

61

3

3

2

x

y

2

x

y

e

y

e

zx y

x

x

y2 ex3y (x3 y)x y2 ex3y 3x2 y 3x2 y3ex3y ,

здесь y const и использована формула eu x eu ux ;

			3
zy		ex
	y2			y
					y

2 y ex3y y2 ex3y

			3			3
y2		ex		y y2	ex		y
	y							y

(x3 y) y 2 y ex3y y2 ex3y x3 y(2 x3 y)ex3y ,

																														u				e				u
здесь x const и использована формула e																																y								uy .
Полный дифференциал:
						d z 3x2 y3ex3y dx y(2 x3 y)ex3ydy .
б) Найдем градиент функции z в точке М(0;1).
z (0;1) 3 02 13 e03 1															0; z								(0;1) 1 (2 03 1) e03 1 2;
x																					y
						grad z(0;1) zx (0;1); zy (0;1) 0;2 .
																																								3
в) Найдем направляющие косинусы вектора a																																									;2						:
																																								2
					3 2
							22								9												25			5
	a																				4										;
					2										4												4			2
																3																			ay
								a															3																		2							4
				cos						x					2										;				cos																				.
																																											5
									a						5								5													a												5
															2																										2

Подставим все найденные значения в формулу для производной по направлению:

dz				3			4	8
			cos 0			2		.
zx (0;1)		cos zy (0;1)		5			5
da								5

62

Ряды

Задачи 71–80

Найти область сходимости степенного ряда.

( 1)

n

71.

xn.

n 1

4n 1

n

73.

xn .

n 1

2n 1

( 1)

n 1

75.

xn.

3n n

n 1

1

77.

xn.

(n 1)

n 1

n

( 1)

n

79.

xn.

n 1 n2

n

n

72.

xn .

2

n

n 1

( 1)

n

74.

xn.

n 5n

n 1

1

76.

xn.

n 1

2n (2n 1)

( 1)

n 1

78.

xn.

3 n

n 1

1

80.

xn.

n 1

4n (5n 1)

Методические указания к решению задач 71 – 80

Числовые ряды

Числовым рядом называется бесконечная сумма вида

u1 u2 u3 un un.

n 1

Числа u1, u2 , … называются членами ряда. Ряд считается заданным, если известен п-й или общий член un , являющийся функцией его номера n: un f (n) .

Сумма первых n членов ряда n 1un называется n-й частич-

ной суммой ряда и обозначается:

Sn u1 u2 u3 un. 63

Ряд n 1un называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, то есть

lim Sn S .

n

Число Sназывается суммой ряда и записывается

u1 u2 u3 un un S .

n 1

В случае, когда предел последовательности частичных сумм не существует или он бесконечен, ряд называется расходящимся.

Теорема (необходимое условие сходимости числового ря-

да).Если ряд n 1un сходится, то предел его общего члена un при п → ∞ равен нулю, то есть

lim un 0

n

Определить сходится ряд или нет, используя определение сходимости ряда достаточно трудно, поэтому используют признаки сходимости рядов.

Признаки сходимости числовых рядов

1. Признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными

членами:	n 1un	и n 1vn		, причем для		любого номера
nвыполняется неравенство
				un vn .
Тогда	из сходимости		ряда	n 1vn	следует	сходимость ряда

n 1un , а из расходимости ряда n 1un следует расходимость ряда

vn n 1

2. Предельныйпризнак сравнения. Пусть даны два знакополо-

жительных ряда n 1un		и	n 1vn .Если существует конечный, от-
личный от 0, предел
		lim		un	A	(0 A ),
		n vn
то ряды n 1un	и n 1vn		сходятся или расходятся одновременно.

64

un n 1

3. Признак Даламбера. Пусть ряд n 1un с положительными

членами и существует предел отношения (n+ 1)-го члена ряда к n- му члену

lim un 1 k.

n un

Тогда ряд n 1un сходится при k< 1 и расходится при k> 1. Если

k = 1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым, следует воспользоваться другим признаком.

4. Признак Коши. Пусть ряд с положительными членами и существует предел

lim n un k .

n

Тогда ряд n 1un сходится при k< 1и расходится при k> 1. Если

k = 1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым, следует воспользоваться другим признаком.

Большую роль в прикладных исследованиях играют следующие ряды.

а)Ряд геометрической прогрессии:

a aq aq2 aq3 aqn .

Данный ряд сходится при| q| < 1 и расходится при| q | 1.

б)Гармонический ряд:

		1		1		1		1		1
	1										.
		2		3		4		5	n 1 n

Гармонический ряд n 11n расходится.

в)Обобщенный гармонический ряд. Ряд вида

		1		1		1		1
	1
		2		3		n	n 1 n

называется обобщенным гармоническим рядом. Можно показать, что данный ряд сходится при 1 и расходится при 1.

Ряд называется знакочередующимся, если члены ряда попеременно то положительны, то отрицательны:

65

u1 u2 u3 u4 ( 1)n 1un ,	un 0.
n 1

5. Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если выполняются два условия:

1.последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, то есть

u1 u2 u3 un ;

2.общий член ряда стремится к нулю

lim un 0

n

При этом сумма знакочередующегося ряда Sне превосходит первого члена u1: 0 S u1.

Ряд называется знакопеременным, если члены ряда могут быть как положительными, так и отрицательными.

6. Признак сходимости знакопеременного ряда. Если ряд, состав-

ленный из абсолютных величин членов данного ряда

| u1 | | u2 | | u3 | | un | ,

n 1

сходится, то сходится и данный знакопеременный ряд.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Замечание.Абсолютно сходящиеся ряды можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда. Если же в условно сходящемся ряде переставить члены ряда, то сумма такого ряда может существенно отличаться от первоначальной, или даже получится расходящийся ряд.

Степенные ряды

Ряд, членами которого являются функции, называется функциональным.Особую роль в математике и ее приложениях играют функциональные ряды, членами которых являются степенные функции.

Функциональный ряд вида

66

c0 c1x c2 x2	cn xn cn xn ,	где сn R.
	n 0

называется степенным рядом. Числа с0, с1, с2, … называются коэффициентами степенного ряда.

Заметим, что при фиксированном x x0 , x0 R мы получаем числовой ряд

c0 c1x0 c2 x02 cn x0n cn x0n .

n 0

Этот числовой ряд может как сходиться, так и расходиться. Множество всех значений x,при которых функциональный ряд

сходится, называется областью сходимости.

Можно доказать (теорема Абеля), что существует такое число R 0 что при |x| <R ряд сходится, а при |x| >Rряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, интервал (–R;R) – интервалом сходимости. На концах интервала сходимости, то есть в точках x = R, x = –R, ряд может как сходиться, так и расходиться. Данные точки требуют отдельного исследования. Заметим, что Rможет принимать любые неотрицательные значения,

втом числе 0 и∞ Если R = 0, то интервал сходимости вырождается

вточку х0 = 0, если R =∞ интервалом сходимости является вся числовая прямая.

Радиус сходимости R степенного ряда можно найти, воспользовавшись признаком Даламбера или радикальным признаком Коши, по формулам

R lim		cn		или R lim		1		.
n	cn 1			n n | cn |

Задача. Найти область сходимости степенных рядов:

			( 1)			n
1.								xn ;
			3		4n
	n 1			n
			1
2.											xn .
			(2n 1)
	n 1								n

Решение.1. Найдем радиус сходимости ряда по формуле

67

( 1)n

3

4n 1

4 3

c

n 1

n 1

R lim

n

lim

lim

cn 1

3

4n

( 1)n 1

3 n

n

n

n

n

	lim	4 3		n 1		lim	4 3 1		1		4 .
				n					n
	n					n

Следовательно, наинтервале(–4;4) ряд сходится, на интервале ( ; 4) (4; ) – расходится. Исследуем сходимость ряда в точ-

ках х = – 4, х = 4.

Пусть x = – 4. Тогда заданный степенной ряд имеет вид:

( 1)

n

( 1)

n

( 4)n

( 1)n 4n

1

1

.

n 1

3

n

4n

n 1

3

n

4n

n 1

3 n

n 1 n1/3

Числовой ряд

1

является обобщенным гармоническим

n 1

1/3

n

рядом с параметром 1 / 3 1 и, следовательно, расходится.

Пусть x = 4. В этом случае имеем числовой ряд

( 1)

n

( 1)

n

4n

n 1

3

n

4n

n 1

3 n

Воспользуемся признаком Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Действительно, последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, то есть

( 1)n

( 1)n 1

,

(un un 1) ;

3 n

3 n 1

общий член ряда стремится к нулю

( 1)n

lim un lim

0 .

n

n

3 n

Следовательно, условия признака Лейбница выполнены и ряд

( 1)n

3 n

сходится.

n 1

Таким образом, областью сходимости исходного степенного ряда является интервал (–4;4].

68

1

2. Найдем радиус сходимости степенного ряда

xn .

(2n

1) n

n 1

R lim

cn

lim

1

(2(n 1) 1)

n 1

cn 1

(2n 1) n

1

n

n

3

2

lim

2n 3

n 1

lim

n

1

1

1.

n

2n 1

n

n 2

1

n

n

Таким образом, степенной ряд сходится на интервале (–1;1)

ряд и расходится на интервале

( ; 1) (1; ) .

Исследуем гра-

ничные значениях = – 1, х = 1.

Пусть x =1. В этом случае имеем ряд

1

1

1n

.

n 1

(2n 1)

n

n 1

(2n 1) n

Воспользуемся предельным признаком сравнения. Сравним ряд

1 ((2n 1)

) с рядом

n

1 (2n n) .

n 1

n 1

Действительно,отношение общих членов этих рядов равно 1:

lim

1

:

1

lim

2n n

lim

2

1.

1

n (2n 1)

n 2n n

n (2n 1) n

n

2

Ряд n 11

) 0,5 n 11 n1,5

n

(2n

n

является

сходящимся

обобщенным гармоническим рядом, так как 1,5 1.					Следова-
тельно, ряд 1
	((2n 1) n) также сходится.
n 1
					( 1)n
Пусть х = – 1. В этом случае имеем числовой ряд								.
			n 1	(2n 1) n

Применим признак сходимости знакопеременного ряда. Составим ряд из модулей членов ряда:

( 1)n

1

.

(2n 1)

n

(2n 1) n

n 1

n 1

69

Как показано выше, данный ряд сходится. Следовательно, ряд

( 1)n ((2n 1) n) также сходится.

n 1

Таким образом, областью сходимости исходного степенного ряда является отрезок[–1;1].

5. ЗАДАНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

Тема 1. Числовая последовательность.

Основные вопросы

1.Понятие множества. Операции над множествами.

2.Числовая последовательность.

3.Монотонная последовательность.

4.Ограниченная последовательность.

5.Предел последовательности.

6.Единственность предела последовательности.

Типовые задачи.

1. Установить, какая из двух записей верна:

а) {1, 2} {1, 2, {1, 2, 3}} или {1, 2} {1, 2, {1, 2, 3}}; б) {1, 2} {1, 2, {1, 2}} или {1, 2} {1, 2, {1, 2}}.

2.Даны множества: Z – целых чисел, M – отрицательных чисел,P –

положительных чисел. Найти для этих множеств

(Z M ) P; M P; M P; Z M.

3.Вычислить пределы последовательностей:

	lim	3n3 4n	;	lim	2n3	6n	.
		n 12			3n3	5n 18
	n			n

Тема 2. Функция

Основные вопросы

1.Область определения и область значения функции.

2.Элементарные и сложные функции.

70