140

Ж. Математическое приложение

Вернемся к формуле исчисления коэффициента эластичности спроса по цене в данной точке:

EdP = ΔPΔq* Pq

Из нее видно, что точечная эластичность зависит не только от начальных значений цены (P) и спроса (q), но и от того, насколько велики изменения цены и спроса (ΔP и Δq). Наиболее точно точечную эластичность можно рассчитать, полагая изменение цены бесконечно малым (ΔР→0).

В таком случае отношение ΔPΔq – есть производная функции спроса по

цене: q'P =limΔP→0 ΔPΔq = dPdq

Соответственно для расчета точечной эластичности используется формула:

EdP =limΔP→0 ΔPΔq * Pq = dPdq * Pq

Первый сомножитель в последней формуле – это производная функции спроса по цене. Отсюда вытекает, что формула может быть использована только в том случае, если известна непрерывная функция спроса.

Рассмотрим два примера расчета точечной эластичности: А. Пусть дана функция спроса: q=10-p. Тогда:

Edp = dPdq * Pq = -1*10p-p

Отсюда видно, что в разных точках данной функции эластичность спроса по цене неодинакова и зависит от цены. Например, при цене, равной 5, эластичность составит –1. Это означает, что при снижении (росте) цены на N% величина спроса возрастет (понизится) на те же N%, что легко проверить.

Б. Пусть дана степенная функция спроса: q=P-α. Тогда:

141

Edp = dPdq * Pq = −αP-α-1 * PP-α = −α

Вывод: эластичность степенной функции постоянна во всех точках и равна показателю степени.

В п. Д настоящего вопроса речь шла о связи между эластичностью и выручкой производителя. Рассмотрим эту зависимость более строго.

Пусть задана функция спроса на товар от его цены: q=f(P). Поскольку выручка (TR) – есть произведение цены (P) на объем сбыта (q), то:

TR=P*q=P*f(P)

Продифференцировав выручку по цене, получаем:

dTRdP = f (P) + dfdP(P) * P = f (P) *[1+ dfdP(P) * f (PP)]

Поскольку второе слагаемое в правой части уравнения – это эластичность спроса по цене, то:

dTRdP =f(P)*(1+EdP )

Отсюда: dTR=f(P)*(1+Еdp )*dP →dTR=q*(1+Edp )*dP

Левая часть последнего уравнения – изменение выручки. В правой

его части dP – изменение цены. Отсюда вытекает:
1. Если цена снижается (dP<0), а спрос эластичен по цене (EP		−1),
	d
то выручка растет (dTR>0);
2. Если цена снижается (dP<0), а спрос не эластичен	по	цене
( EdP −1), то выручка падает (dTR<0);
3. Если цена растет (dP>0), а спрос эластичен по цене (EP	−1), то
d
выручка снижается (dTR<0);
4. Если цена растет (dP>0), а спрос не эластичен по цене (EdP	−1), то
выручка повышается (dTR>0);
5. В точке, где спрос единично эластичен по цене ( EdP		= −1),
достигается максимум выручки (dTR=0).
Тем самым строго доказаны выводы, сделанные выше в п. Д.

142

2. Перекрестная эластичность спроса по цене

Спрос на данный товар зависит не только от его собственной цены, но и от цен других товаров. Например, спрос на «Жигули» зависит не только от цены «Жигулей», но и от цен на иномарки сходного класса, запчасти, бензин и т.д.

Перекрестная эластичность спроса по цене ( EdaPb ) показывает, на сколько процентов изменяется спрос на товар A (da) при изменении цены товара B (Pb) на 1%.

Формула расчета коэффициента эластичности:

EdPbа	=	Изменениеспросана товарА(в%)
		Изменениеценытовара В(в%)

Возможны три случая:

1. Если при росте (снижении) цены товара B спрос на товар A растет (снижается) то такие товары называются взаимозаменяемыми (субститутами).

В этом случае: EdPbа 0

Например, «Кока-Кола» подорожала на 10%, в результате чего спрос на нее снизился, зато спрос на «Пепси-Колу» вырос, допустим, на 15%. Следовательно, перекрестная эластичность спроса на «Пепси» по цене «Кока-Колы» равна:

EdaPb = 15%10% =1,5 → EdaPb 0

Если же «Кока-Кола», напротив, подешевеет (процентное изменение цены будет отрицательным), то спрос на «Пепси» упадет (процентное изменение спроса будет отрицательным). Тогда и в числителе, и в знаменателе будут стоять числа с отрицательными знаками, но результат все равно будет положителен.

2. Если при росте (снижении) цены товара B спрос на товар A снижается (растет) то такие товары называются взаимодополняющими (комплементарными).

В этом случае: EdPbа 0

143

Например, запчасти для автомобилей подорожали на 10%, в результате чего спрос на машины упал на 5%. Следовательно, перекрестная эластичность спроса на автомашины по цене запчастей равна:

EdaPb = 10%- 5% = −0,5 → EdaPb 0

Всвою очередь при удешевлении запчастей спрос на машины возрастет, но эластичность спроса на автомобили по цене запчастей останется отрицательной.

3. Если при росте (снижении) цены товара B спрос на товар A не изменяется, то такие товары называются независимыми.

Вэтом случае: EdPbа = 0

Пусть подорожали (подешевели) футбольные мячи. Скорее всего, это не окажет никакого влияния на спрос на духи. Поэтому эластичность спроса на духи по цене мячей будет нулевой.

3. Эластичность спроса по доходу

Спрос на товар зависит и от доходов потребителей.

Эластичность спроса по доходу ( EdI ) показывает, на сколько процентов изменяется спрос на товар (d) при изменении дохода потребителя

(I) на 1%.

Формула расчета коэффициента эластичности:

EI	= Изменениеспроса(в%)
d	Изменениедохода (в%)
Возможны два случая:
1.	Если при росте (снижении) дохода спрос на товар растет

(снижается), то такие товары называются нормальными. В этом случае: EdI 0

Термин «нормальный товар» употребляется постольку, поскольку естественна (нормальна) ситуация, при которой чем богаче (беднее) потребитель, тем больше (меньше) разнообразных товаров он покупает.

144

Пусть доход потребителя вырос (упал) на 10%. При этом его спрос на некий товар увеличился (снизился), например, на 20%. Тогда:

EdI = 1020%% = 2 → EdI 0 . Или: EdI = −−1020%% = 2 → EdI 0 .

2. Если при росте (снижении) дохода спрос на товар снижается (растет), то такие товары называются малоценными (некачественными, инфериорными).

В этом случае: EdI 0

Здесь надо иметь в виду, что существует ряд товаров, потребление которых не растет, но снижается с ростом дохода. Например, бедный потребитель вынужден носить войлочные ботинки по прозвищу «прощай молодость». Если же он богатеет, то, скорее всего, не начинает покупать две пары таких ботинок вместо одной, но вообще отказывается от «прощай молодости», переходя на фирменную кожаную обувь. Когда же удача отворачивается от него, все происходит наоборот.

Так предположим, что при падении дохода на 10% спрос на данный товар возрастает на 8%. Тогда:

EdI = −810%% = −0,8 → EdI 0

Первый случай (когда товар нормальный) допускает два варианта: 1a. Если при росте (снижении) дохода спрос на товар растет

(снижается), но в меньшей степени, чем доход, то такие товары называются

предметами первой необходимости.

В этом случае: 0 EdI 1

Предположим, доход потребителя вырос (упал) на 10%. При этом его спрос на некий товар увеличился (снизился), например, на 5%. Тогда:

EdI = 105%% = 0,5 → 0 EdI 1. Или: EdI = −−105%% = 0,5 → 0 EdI 1.

1b. Если при росте (снижении) дохода спрос на товар растет (снижается), но в большей степени, чем доход, то такие товары называются

предметами роскоши.

145

В этом случае: EdI 1

Приведенный выше пример (доход вырос или снизился на 10%, а спрос – на 20%) как раз и относится к тому случаю, когда нормальный товар одновременно является и предметом роскоши.

Из вышесказанного вытекает, что было бы неправильно заранее навешивать на какой-то товар ярлык «малоценный», «предмет первой необходимости», «предмет роскоши». Сначала надо посмотреть, как меняется его потребление в связи с изменением дохода. При этом один и тот же товар для небогатого потребителя может быть предметом роскоши, а для богатого – малоценным благом.

Например, человек, питающийся в основном перловкой, чуть разбогатев, резко увеличивает потребление гречки – она для него предмет роскоши. Напротив его состоятельный товарищ при росте своего дохода окончательно отказывается от гречки в пользу черной икры – гречка для него малоценный товар.

В то же время существуют товары, являющиеся для большинства людей предметами первой необходимости (продукты питания, обычная одежда), предметами роскоши (автомобили, мобильные телефоны, заграничные поездки), малоценным благом (низкокачественные товары).

Так еще в прошлом веке немецкий статистик Э. Энгель, изучавший семейные бюджеты, эмпирически вывел ряд закономерностей. Одна из них такова: по мере роста дохода семьи доля ее расходов на продукты питания падает. Это подтверждает тезис о том, что продукты питания – предмет первой необходимости, поскольку означает отставание увеличения расходов на питание от роста доходов.

Данную закономерность можно использовать для сравнения жизненных уровней в разных странах: чем богаче страна, тем меньше процентная доля расходов на питание в бюджете средней семьи. Разумеется, в богатых странах люди тратят на питание в абсолютных цифрах заметно больше, нежели в бедных, но в самых бедных странах население вынуждено проедать до 70% своих доходов, чтобы не умереть с

146

голоду. В то же время в США и Западной Европе доля расходов на питание колеблется вокруг 10%.

И последнее. Чтобы практическое деление благ на предметы первой необходимости, предметы роскоши и т. д. было обоснованным, надо не учитывать воздействие на потребление прочих факторов, не связанных с доходом. Стало, например, известно, что в июле доходы жителей нашего города оказались выше, чем в январе, а покупки шуб снизились. Вряд ли можно, однако, утверждать на этом основании, что шуба – малоценное благо, поскольку в данном случае на ее потребление оказали влияние климатические условия.

4. Эластичность предложения по цене

Как мы помним, от цены зависит не только спрос, но и предложение данного товара. Прямая эластичность предложения по цене (EsP ) показывает, на сколько процентов изменяется предложение товара (s), при изменении цены этого товара (p) на 1%.

Формула расчета коэффициента эластичности:

P	=	Изменениепредложения(в%)
Es		Изменениецены(в%)

Соответственно эластичность предложения по цене в данной точке исчисляется по формуле:

Esp = ΔqΔp * Pq ,

где P и q – значения цены и предложения в данной точке, ∆P и ∆q – абсолютные изменения цены и предложения.

Если Вы не понимаете, откуда взялась приведенная формула, Вам следует вернуться к п. Б первого вопроса данной темы.

Если задана функция предложения от цены, то для точного нахождения коэффициента эластичности в данной точке используется формула:

147

Esp = dqdp * qp

Обоснование формулы найти в п. Ж первого вопроса этой темы. Поскольку кривая предложения обычно имеет положительный

наклон (величина предложения растет по мере роста цены и снижается вместе с ее падением), эластичность предложения по цене положительна:

Esp 0

Чем положе наклон кривой предложения в данной точке, тем эластичнее предложение по цене (рис. 5-6):

Рис. 5-6. Наклон кривой предложения и эластичность предложения по цене

P

S2

S1

N

q

Вт. N, относящейся к кривой предложения S1, эластичность предложения по цене выше, чем в той же точке, относящейся к кривой предложения S2, поскольку наклон кривой S1 относительно оси Oq меньше.

Подобно эластичности спроса, эластичность предложения по цене бывает не только прямой, но и перекрестной. Последняя показывает, на сколько процентов изменяется предложение одного товара при изменении цены другого товара на 1%. Например, на сколько процентов вырастет предложение природного газа (добываемого попутно с нефтью) при возрастании цены нефти на 1%.

Вотношении прямой эластичности предложения по цене возможны три случая:

1.Если при некотором процентном изменении цены величина предложения товара изменяется в большей степени, чем цена, то

предложение эластично по цене. В этом случае: Esp 1.