374

Банк платит по вкладам i% в месяц. Первый взнос сделан 1 сентября, второй

– 1 октября и т.д. вплоть до 1 июля, когда Вы больше ничего не вкладываете, а снимаете деньги со счета и уезжаете отдыхать. Итак, подсчитаем:

Первого сентября на счет положено K руб.:

Дата		Сумма на счете
1 сентября		K
Первого октября эта сумма превратится в K(1+i), но Вы докладываете
еще K руб., и всего на счете оказывается K(1+i)+K руб.:
Дата		Сумма на счете
1 сентября		K
1 октября		K(1+i)+K
К первому ноября сентябрьские	деньги	пролежали на счете два

месяца, превратившись в K(1+i)2, октябрьские K руб., будучи на счете один месяц, превратились в K(1+i), кроме того K руб. вносятся дополнительно. Всего, таким образом, Вы имеете на счете K(1+i)2+K(1+i)+K руб.:

Дата		Сумма на счете
1 сентября		K
1 октября		K(1+i)+K
1 ноября		K(1+i)2+K(1+i)+K
Декабрь, январь и	т.д. пропустим. Наступает 1 июля. К этому

времени сентябрьские деньги пробыли на счете 10 месяцев и превратились в K(1+i)10, соответственно деньги, внесенные 1 октября, стали K(1+i)9. И т.д. Последний раз K руб. были вложены 1 июня, т.е. превратились в K(1+i) руб. Поэтому Вы закрываете счет, имея K(1+i)10+K(1+i)9+…+K(1+i) руб.:

Дата	Сумма на счете
1 сентября	K
1 октября	K(1+i)+K
1 ноября	K(1+i)2+K(1+i)+K
1 июля	K(1+i)10+ K(1+i)9+…+K(1+i)

375

Рассмотренный пример – частный случай. Если же подобная операция продолжается n лет (временных периодов), то в конце срока сумма на счете (Kn) будет:

Kn=K(1+i)+K(1+i)2+...+K(1+i)n

Перед нами геометрическая прогрессия, сумма членов которой (Sn) исчисляется по формуле:

S n = b qqn−−11,

где b - первый член прогрессии [в нашем примере: K(1+i)], q - знаменатель (общий множитель) прогрессии (у нас: 1+i), а n - число членов прогрессии.

Следовательно, в нашем случае:

Kn = K(1+i) (1+ii)n −1

Все приведенные расчеты называются нахождением будущей стоимости (FV). Следовательно: Kn=FVn.

Б. Дисконтирование Дисконтированием называется исчисление первоначальной суммы

денег на основании ее конечной величины. Таким образом, дисконтирование – обратная операция по отношению к нахождению будущей стоимости.

Например, если кто-то хочет иметь на своем счете 150 руб. через год при процентной ставке 50% годовых, то сегодня ему надо вложить в банк 100 руб. Расчет прост:

	150	=100
	1+0,5

В общем случае вопрос звучит так: какую сумму денег (K0) надо положить сегодня на счет, чтобы через год там было K1 руб., если процентная ставка составляет i% годовых? Ответ:

K0 = 1K+1i

376

Поставим вопрос в самом общем виде: какую сумму денег надо положить сегодня в банк, чтобы через n лет на счете было Kn руб.? Теперь ответ будет зависеть от того, какой процент начисляет банк: простой или сложный.

Если процент простой, то: K0 = 1K+nin

Если процент сложный, то: K0 = (1K+in) n

Путем дисконтирования можно определить, какой сумме денег сегодня эквивалентна некоторая сумма, которая будет получена в будущем (FV). Тем самым мы можем рассчитать приведенную (сегодняшнюю) стоимость будущих денежных поступлений (PV).

Важнейший постулат финансового анализа состоит в том, что деньги имеют различную временную ценность: некоторая сумма денег сегодня предпочтительнее той же суммы , которая будет получена позднее. Это объясняется тем, что сегодняшние деньги индивид уже может как-то использовать, повышая свое благосостояние. Финансовые аналитики при этом рассматривают только одну возможность – положить деньги в банк, и тогда их сумма возрастет.

Допустим, перед Вами альтернатива: получить 100 руб. сейчас или только через год. Для простоты предположим, что риск неполучения денег в будущем равен нулю, а и нфляция отсутствует – цены через год не изменятся. Пусть банки при этом платят по вкладам 20% годовых.

Очевидно, что при таких условиях Вы предпочтете получить деньги немедленно, поскольку, вложив их банк сегодня, Вы получите через год уже 120 руб. Иными словами, 100 руб. сегодня имеют для Вас большую ценность, чем 100 руб. через год.

А если альтернатива звучит так: 80 руб. сегодня или 100 руб. через год? Ответ базируется на той же логике: вложив 80 руб. в банк Вы получите через год 96 руб., что меньше 100 руб. Это означает, что с позиций

377

финансового аналитика 100 руб. через год предпочтительнее 80 руб. сегодня.

Какой же сумме денег сегодня равны 100 руб., получаемые через год? Ответ получается дисконтированием 100 руб. по банковской процентной

ставке: 1100+0,2 = 83,33 . В самом деле, вложив 83,33 руб. сегодня в банк

можно получить через год 100 руб. Вам поэтому безразлично, получить 83,33 руб. сегодня или 100 руб. через год – эти суммы имеют для Вас одинаковую ценность при заданной процентной ставке.

В общем виде, обозначив сумму, получаемую через год – FV1,

получаем ее приведенную стоимость: PV = 1FV+i1 .

Таким образом, при начислении сложных процентов приведенная стоимость денег, которые будут получены один раз через n лет (FVn),

рассчитывается по формуле: PV = FVn n .

(1+i)

Усложним модель. Предположим, Вы решили сдать квартиру на 5 лет. По договору в конце каждого года арендатор будет платить Вам 3000 долл. Сколько денег Вы получите за все время аренды? Формально: 15000 долл., но нельзя забывать, что деньги, получение которых растянуто во времени, имеют не одинаковую ценность. В частности, 3000 долл., причитающиеся Вам через год, совсем не равны той же сумме, получаемой через 5 лет. Поэтому просто суммировать или вычитать можно только те деньги, которые пришли или ушли примерно в одно и то же время.

В Вашем случае все будущие доходы надо сначала привести к сегодняшнему дню путем дисконтирования по банковской процентной ставке и только потом их суммировать. В результате будет получена приведенная стоимость всей величины будущих доходов:

PV =	3000	+	3000	+	3000	+	3000	+	3000
	1+i		(1+i)2		(1+i)3		(1+i)4		(1+i)5

378

Таким образом, если некто будет ежегодно получать некоторые суммы денег (FVj) руб. в течение n лет, приведенная стоимость всей суммы будущих поступлений составит:

PV = 1FV+1i + (1FV+i2)2 +... + (1FV+in) n

Если доход, получаемый каждый год постоянен (FV), имеем геометрическую прогрессию со знаменателем 1/(1+i):

	PV =	FV	+	FV	+... +	FV
		1+i		(1+i)2		(1+i)n

Отсюда:

PV = FV 1− (1+1i)n i

Если число лет бесконечно велико (n→∞), формула упрощается:

PV = FVi

На основе дисконтирования можно решать задачи на погашение займов. Пусть некто взял заем под сложные i% годовых. Выплата в j-ый год составляет FVj. Продисконтировав эту выплату по процентной ставке, находим ее приведенную стоимость:

	PV =	FV j
		(1+i)	j

Вмомент, когда сумма всех дисконтированных выплат становится равна первоначальному долгу, последний считается погашенным.

Вкачестве примера предположим, что взаймы взяты 100 руб. на 2 года под 100% (i=1) годовых. В первый год заемщик выплатил кредитору 100 руб. В результате погашены только 50 руб. займа, поскольку:

100 = 50

1+1

Во второй год выплачено еще 200 руб. Продисконтировав эту сумму, находим:

379

2002 = 50 (1+1)

Таким образом, сумма дисконтированных выплат за два года составила величину займа – 100 руб. (50+50=100). Долг погашен.

4. Рыночная стоимость капитальных активов Капитальный актив – это имущество, приносящее доход. К

капитальным активам относятся не только собственно физический капитал (производственное оборудование, магазин, сдаваемое жилье и т.п.), но и участок земли, ценная бумага и т.д. По сути, покупая капитальный актив, люди фактически покупают будущие доходы. Поэтому сегодняшняя цена такого актива будет равна приведенной стоимости этих доходов, определяемой путем дисконтирования.

Следовательно, цена капитального актива (P) зависит от:

-величины приносимых в будущем доходов (FV);

-сроков до получения доходов (n);

-рыночной процентной ставки (i);

-риска неполучения дохода.1

Предположим, капитальный актив – государственная облигация - принесет доход (120 руб.) один единственный раз через год. При этом рыночная процентная ставка составляет 20% годовых. Какую цену согласятся покупатели заплатить за такую облигацию сегодня?

Для ответа на этот вопрос учтем, что у покупателей есть альтернатива: вложить деньги в банк под 20% годовых или в облигацию. Поэтому им не выгодно покупать облигацию дороже, чем за 100 руб. Нет смысла, например, платить 105 руб., чтобы вернуть 120 руб. через год, ибо вложив те же 105 руб. в банк можно через год получить 126 руб. Разумеется, ни один из покупателей не отказался бы от покупки облигации дешевле, чем за 100 руб. Покупка, например, за 90 руб. является, в их глазах, выгодной сделкой: платим сегодня 90 руб., через год получаем 120

1 Фактор риска в целях упрощения здесь не рассматривается.

380

руб., если же вложить эти 90 руб. в банк, то больше 108 руб. получить не удастся.

К огорчению покупателей такой вариант вряд ли пройдет. Даже если некоторые из нынешних владельцев облигаций, остро нуждаясь в деньгах, и согласятся уступить их за бесценок, в условиях конкурентного рынка набежит столько желающих приобрести облигации, что их цена автоматически возрастет. В конечном счете, цена данной облигации будет колебаться вокруг 100 руб.:

P = PV = 1120+0,2 =100

При такой цене покупателям становится безразлично, куда вкладывать деньги – в банк или в облигацию.

В общем случае сегодняшняя рыночная цена капитального актива, который принесет доход (FV1) один раз через один год, определяется по формуле:

P = PV = 1FV+i1

Именно такую сумму и согласится покупатель заплатить сегодня за данный актив.

Соответственно, если актив принесет доход (FVn) первый и единственный раз только через n лет, цена актива сегодня составит:

P = PV = (1FV+in)n

Если актив приносит доход (FVj) каждый год на протяжении n лет, формула принимает вид:

P = 1FV+1i + (1FV+i2)2 +... + (1FV+in)n

Если доход, получаемый каждый год постоянен (FV1=FV2=…=FVn=FV), а число лет бесконечно велико, формула упрощается:

P = FVi