заочникам / диф ур / Lecture_on_DE_(full)

u′′ y1	+ u′ (2 y1′ + a1	(x) y1 ) + u ( y′1′+ a1 (x) y1′	+ a2 (x) y1 ) = 0 ,
		14444244443
		0, т.к. y1 − решение (14.13)
	u′′ y1 +u′ (2 y1′ + a1 (x) y1 ) = 0 .		(14.14)

Уравнение (14.14) не содержит искомой функции. Для его интегрирования введем новую функцию z(x) = u′. Тогда

z′ y1 + z (2 y1′ + a1 (x) y1 ) = 0 ,

dz

= −

2 y1′ + a1 (x) y1

dx

(где z ≠ 0 ),

z

y

1

′

~

2 y1

,

ln

z

= −∫

y

+ a1 (x) dx +C1

1

~

,

ln

z

= −2 ln

y1

− ∫a1 (x)dx +C1

z = ±

1

−

+ ~

e

∫a1 ( x)dx

C1 ,

( y )2

C1

1

z =

e−∫a1 ( x)dx

~

, где

C1 = ±eC1

≠ 0 .

( y )2

1

В процессе преобразований было потеряно решение z = 0 . Оно может быть получено из общего при C1 = 0 . Следовательно,

z =

C1

e−∫a1 ( x)dx ,

C .

( y )2

1

1

u′ =

C

−∫a1( x)dx

C

−

∫a1

( x)dx

1

e

или

du

=

1

e

dx ,

( y )2

( y )2

1

1

u = ∫

C

1

e

−∫a1 ( x)dx dx +C2 .

( y

)2

1

Таким образом, общее решение уравнения (14.13) имеет вид:

C1

−∫a1

( x)dx

y = y1u = y1

∫

e

dx +C2

.

( y )2

1

2

ПРИМЕР 14.5. Найти общее решение уравнения

y′′+

x y′+ y = 0 ,

если известно, что его решением является функция y1 = sinx x . РЕШЕНИЕ. Имеем: y = y1 u = sinx x u . Тогда

91

sin x ′

u +

sin x

u′ =

cos x

−

sin x

u +

sin x

u′;

y′ =

x

x

x

x2

x

sin x ″

sin x ′

u′+

sin x

u′′ =

y′′ =

x

u + 2

x

x

sin x

cos x

cos x

cos x

sin x

u′ +

sin x

u′′.

=

−

− 2

+ 2

u + 2

−

x

x2

x3

x

x2

x

Подставим выражения для y ,

y′,

y′′ в исходное уравнение и получим:

− sin x − 2 cos x + 2 cos x u + 2 cos x − sin x u′+ sin x u′′+144x 444x24444x3444244x444x42 4444x443

y′′

2

cos x

sin x

sin x

sin x

+

−

u +

u′

+

u

= 0 ,

x

x

2

x

x

x

1444442444443

14243

y′

y

sinx x u′′+ 2 cosx x u′ = 0 ,

sin x u′′+ 2 cos x u′ = 0 .

Так как полученное уравнение не содержит искомой функции, то

его порядок можно понизить, сделав замену z(x) = u′. Тогда

sin x z′+ 2cos x z = 0,

dz

= −2 ctg xdx

(где z ≠ 0 ),

ln

z

z

= −2ln

sin x

+ ln

C1 ,

C1 > 0 ,

~

z =

C

~

1

, где

C1

= ±C1

≠ 0 .

sin 2

x

В процессе преобразований было~потеряно решение z = 0 , которое

может быть получено из общего при C1 = 0 . Следовательно,

~

~

C

z =

1

,

C .

sin 2 x

1

Учитывая, что z(x) = u′, получаем уравнение

~

~

u′ =

C

C dx

1

или

du =

1

,

sin 2

x

sin 2 x

~

~

= C1 ctg x + C2 , где

;

u = −C1 ctg x +C2

C1 = −C1

и общее решение уравнения будет иметь вид:

sin x

sin x

~

~ cos x

.

y = y1 u =

(C1 ctg x +C2 )

или

y = C1

+C2

x

x

x

92

(n−1)

§ 15. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка

15.1. Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение

y(n) + a1 (x) y(n−1) + a2 (x) y(n−2) +K+ an−1 (x) y′+ an (x) y = f (x) . (15.1)

Если известно общее решение соответствующего однородного уравнения y(n) + a1 (x) y(n−1) + a2 (x) y(n−2) +K+ an−1 (x) y′+ an (x) y = 0 , (15.2)

то можно найти и общее решение неоднородного уравнения (15.1). Действительно, пусть y1, y2 ,K, yn – фундаментальная система ре-

шений уравнения (15.2). Тогда его общее решение будет иметь вид

y = C1 y1 +C2 y2 +K+Cn yn ,

(15.3)

где C1,C2 ,K,Cn – произвольные постоянные.

Далее полагаем, что решение неоднородного уравнения по структуре совпадает с решением соответствующего линейного однородного уравнения, т. е. имеет вид

n
y = C1 (x) y1 +C2 (x) y2 +K+Cn (x) yn = ∑Ci (x) yi ,	(15.4)

i=1

где C1 (x),C2 (x),K,Cn (x) – некоторые пока неизвестные функции.

Для определения n неизвестных Ci (x) есть пока только одно обяза-

тельное условие – функция (15.4) должна удовлетворять неоднородному уравнению (15.1). Следовательно, (n −1) условие для выбора функций

Ci (x) можно задать произвольно, лишь бы полученная система условий оказалась совместной. Например, можно потребовать, чтобы производ-

ные y′, y′′,K, y функции (15.4) структурно совпадали с производными функции (15.3), т. е. чтобы они получались из соответствующих

производных функции (15.3) заменой констант Ci							функциями Ci (x) .
Так как для функции (15.3)					n
y	′	′	′	′		′	,
		= C1 y1	+C2 y2	+K+Cn yn = ∑Ci yi
а для функции (15.4)					i=1
				]+K+[Cn′(x) yn +Cn (x) yn′ ]=
y′ = [C1′(x) y1 +C1 (x) y1′
			n	n
		= ∑Ci′(x) yi + ∑Ci (x) yi′ ,
		i=1		i=1
то такое требование приведет к первому произвольному условию
n
∑Ci′(x) yi = C1′(x) y1 +C2′(x) y2 +K+Cn′(x) yn = 0 .								(а1)

i=1

93

Далее, для функции (15.3)

n

y

′′

′′

′′

′′

′′

= C1 y1 +C2 y2 +K+Cn yn

= ∑Ci yi ,

а для функции (15.4) (при условии а1)

i=1

y

′′

′

′

′′

′

′

′′

= [C1 (x) y1 +C1

(x) y1 ]+K+[Cn (x) yn

+Cn (x) yn

]=

n

n

= ∑Ci′(x) yi′ +

∑Ci (x) yi′′,

i=1

i=1

что приводит ко второму произвольному условию

n

∑Ci′(x) yi′ = C1′(x) y1′ +C2′(x) y2′ +K+Cn′(x) yn′ = 0 .

(а2)

i=1

Продолжая этот процесс, в качестве ( n −1)-го произвольного усло-

вия получим

n

∑Ci′(x) yi(n−2) = C1′(x) y1(n−2) +C2′(x) y2(n−2) +K+Cn′(x) yn(n−2) = 0 .

(аn-1)

i=1

Так

как

согласно

нашим

предположениям

производные

′

′′

(n−1)

функции (15.4) имеют вид

y , y

,K, y

y

то y(n)

	n
(k ) = C1 (x) y1(k ) +K+Cn (x) yn(k ) = ∑Ci (x) yi(k ) ( k =
		1, n −1),
	i=1
= [C1′(x) y1(n−1) +C1 (x) y1(n) ]+K+[Cn′(x) yn(n−1) +Cn (x) yn(n) ]=
n	n
= ∑Ci′(x) yi(n−1)	+ ∑Ci (x) yi(n) ,
i=1	i=1

и из обязательного условия получаем:

n	(n−1)		n			n			n
′			(n)		+a1(x)	(n−1)	+K+an(x) ∑Ci (x)yi = f (x),
∑Ci	(x)yi		+∑Ci (x)yi			∑Ci (x)yi
i=			i=1			i=			i=
1444442444443						14243			14243
		y(n)				y(n−1)				y
	n		n					+K+ an (x) yi ]= f (x) ,
∑Ci′(x) yi(n−1) + ∑Ci (x)[yi(n) + a1 (x) yi(n−1)
	i=1		i=1		14444424444443
							0
					n
			∑Ci′(x) yi(n−1) = f (x) .								(аn)
					i=1					(n−1)
Итак,		требование,		чтобы		производные			′ ′′		функции
									y , y ,K, y

(15.4) получались из соответствующих производных функции (15.3) заменой констант Ci функциями Ci (x) дало для функций

C1 (x),C2 (x),K,Cn (x) условия (а1), (а2), …, (аn), т. е. систему

94

C′

(x) y

+

C′

(x) y

2

+ K +

C′

(x) y

n

= 0,

1

1

2

n

C1′(x) y1′

+

C2′(x) y2′

+ K +

Cn′(x) yn′

=

0,

′

′′

+

′

′′

+ K +

′

′′

=

0,

(15.5)

C1

(x) y1

C2

(x) y2

Cn

(x) yn

K

K

K

K K K

K

K K

(n−2)

+

(n−2)

+ K +

(n−2)

= 0,

C1′(x) y1

C2′(x) y2

Cn′(x) yn

C1′(x) y1(n−1) + C2′(x) y2(n−1) + K + Cn′(x) yn(n−1) = f (x).

Система (15.5) – система n линейных уравнений с n неизвестными. Ее определитель – определитель Вронского W[ y1, y2 ,K, yn ] . Так как

функции y1 , y2 ,K, yn образуют фундаментальную систему решений од-

нородного уравнения, то по теореме 14.8 их определитель Вронского отличен от нуля при любом x. Поэтому система (15.5) совместна и имеет единственное решение. Решая ее, находим

		Ci′(x) =ψi (x) , (i =			) .
				1,n
	Откуда получаем		~
	~	Ci (x) = ∫ψi (x)dx =ϕi (x) +Ci ,
		– произвольные постоянные. Общее решение неоднородного
	где Ci
	уравнения тогда имеет вид
		n	~			(15.6)
		y = ∑(ϕi (x) +Ci )yi .

i=1

Изложенный выше метод нахождения решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка получил название метода вариации произвольных постоянных.

ПРИМЕР 15.1. Найти общее решение уравнения y′′+ y = tg 2 x . РЕШЕНИЕ. Рассмотрим сначала соответствующее однородное уравнение. Его характеристическое уравнение λ2 +1 = 0 имеет корни λ1,2 = ±i .

Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

y = C1 cos x +C2 sin x .

Теперь рассмотрим неоднородное уравнение. Его общее решение может быть записано в виде

y = C1 (x) cos x +C2 (x)sin x .

Система для нахождения неизвестных функций C1 (x),C2 (x) будет для данного уравнения иметь вид

95

	C′(x) cos x	+	C′	(x)sin x	=	0,
	1		2
C1′(x)(−sin x)		+ C2′(x) cos x = tg 2 x.

Из этой системы находим (например, по формулам Крамера)

C1′(x) = −

sin3 x

, C2′

(x) = tg 2 x cos x

=

sin 2 x

.

cos2 x

cos x

Интегрируя, получаем

sin3 x

1

C1 (x)=−∫cos2 x dx =−

−cosx +C1,

cosx

sin 2 x

x

π

C

(x) =

dx =ln

tg

+

−sin x +C

,

2

∫cosx

4

2

2

где C1 ,C2

– произвольные постоянные. Подставим C1 (x) и C2 (x) в об-

щее решение неоднородного уравнения и получим

1

x

π

y =

−

−cos x +C

cos x + ln

tg

+

−sin x +C

sin x

cos x

4

1

2

2

или

y= (C1 cos x +C2 sin x) + sin x ln tg x + π − 2 .

2 4

ПРИМЕР15.2. Найтиобщеерешениеуравнения x2 y′′− xy′+ y = 6xln x. РЕШЕНИЕ. Рассмотрим сначала соответствующее однородное уравнение

x2 y′′− xy′+ y = 0.

Это уравнение Эйлера. Введем новую переменную по формуле

x = et t = ln x .

В результате получим линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Найдем его характеристическое уравнение. Полагаем

y= xλ ,

y′ = λxλ−1 , y′′ = λ(λ −1)xλ−2 .

Подставив y, y′, y′′ в однородное уравнение и сократив на xλ , получим:

λ(λ −1) −λ +1 = 0 ,

λ2 −2λ +1 = 0 .

Полученное характеристическое уравнение имеет корни λ1,2 =1. Им со-

ответствуют решения				~
~	(t) = e	t	,		t	,
y1				y2	(t) = te
y1(x) = x ,				y2 (x) = x ln x .

96

Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид y = C1x +C2 x ln x .

Теперь рассмотрим неоднородное уравнение. Прежде всего, запишем его в виде

y′′− yx′ + xy2 = 6lnx x

(так как система (15.5) была получена для приведенного уравнения). Общее решение этого уравнения можно представить в виде

y = C1(x) x +C2 (x) x ln x ,

где C1 (x),C2 (x) – функции, удовлетворяющие системе

C′(x) x1

C′(x)

1

+	C2′(x) x ln x	=	0,
+	C2′(x) (ln x +1)	=	6ln x	.
			x

Решая эту систему по формулам Крамера, находим

D =

x

x ln x

= x ,

1

(ln x +1)

D =

0

x ln x

= −6ln2 x , D =

x

0

= 6ln x ,

6ln x

(ln x +1)

1

6ln x

1

2

x

x

C1′(x) =

D

6ln2 x

C2′(x) =

D

6ln x

1

= −

,

2

=

.

x

D

x

D

Интегрируя, получаем

C1(x) = −∫6lnx2 x dx = −2ln3 x +C1 , C2 (x) = ∫6lnx x dx = 3ln2 x +C2 ,

где C1 ,C2 – произвольные постоянные.

Подставим C1 (x) и C2 (x) в общее решение неоднородного уравнения и получим

y = (−2ln3 x +C1) x +(3ln2 x +C2 ) x ln x

или

y = C1x +C2 x ln x + x ln3 x .

97

15.2. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Раскроем скобки в (15.6) и сгруппируем слагаемые следующим образом:

n	~	n	~	n
y = ∑(ϕi (x) +Ci )yi = ∑Ci yi + ∑ϕi (x) yi .
i=1		i=1		i=1

Заметим, что первая получившаяся сумма – общее решение соот-

ветствующего однородного уравнения, вторая – частное решение неод-

нородного уравнения (получается из общего решения при ~i = 0 ). Более

C

того, оказалось, что в общем случае справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 15.1 (О структуре общего решения линейного неоднородно-

го уравнения). Общее решение линейного неоднородного уравнения n-го порядка равно сумме общего решения C1 y1 (x) +C2 y2 (x) +K+Cn yn (x) соответствующего ему однородного уравнения и любого частного решения ~y неоднородного уравнения, т. е. имеет вид

y(x) = C1 y1 (x) +C2 y2	(x) +K+Cn yn (x) + y(x) .	(15.7)
	~

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Требуется доказать, что

1)функция (15.7) является решением линейного неоднородного уравнения n-го порядка при любых значениях констант C1 ,K,Cn ;

2)любое решение yˆ(x) линейного неоднородного уравнения n-го порядка может быть получено из (15.7) при некоторых значениях

констант C1 ,K,Cn .

Чтобы убедиться в справедливости первого утверждения, достаточно подставить (15.7) в линейное неоднородное уравнение:

n	~		(n)		n		~ (n−1)	n		~	=
∑Ci yi (x) + y (x)			+a1		(x) ∑Ci yi	(x) + y(x)		+K+an (x) ∑Ci yi		(x) + y(x)
i=1					i=1			i=1
	= ∑n	Ci [yi(n) (x) + a1 (x) yi(n−1) (x) +K+ an (x) yi (x)] +
	i=1		1444444442444444443
							0
					(т.к. yi −решение однородного уравнения)
	+	~(n)		(x)	~(n−1)			~	=
		[y			+ a1 (x) y		(x) +K+ an (x) y(x)]
		1444444442444444443
					~	f ( x)
				(т.к. y −решение неоднородного уравнения)
					= 0 + f (x) = f (x) .
	Докажем второе утверждение. Рассмотрим разность									~
									yˆ(x) − y(x) . Эта

функциябудетявлятьсярешениемоднородногоуравнения. Действительно,

98

[yˆ	~	(n)		~	(n−1)	+K+ an
	(x) − y(x)]		+ a1(x)[yˆ(x) − y(x)]
		= [yˆ (n) (x) +a1 (x) yˆ (n−1) (x) +K+ an (x)
		~(n)		~(n−1)	(x) +K+ an (x)
		−[y		(x) + a1 (x) y

[ˆ − ~ ]=

(x) y(x) y(x)

yˆ(x) ]−

~ ] y(x)

=

	= f (x) − f (x) = 0
Но если yˆ	~
	(x) − y(x) является решением линейного однородного

уравнения, то она является линейной комбинацией фундаментальной системы решений этого однородного уравнения. Т. е. существуют такие

ˆ

ˆ

значения C1

,K,Cn , что

yˆ

~

ˆ

ˆ

ˆ

(x) − y(x) = C1 y1 (x) +C2 y2

(x) +K+Cn yn (x) ,

ˆ

=

ˆ

(x)

+

ˆ

(x)

+K+ ˆ

+ ~

y(x)

C1 y1

C2 y2

Cn yn (x)

y(x) .

Таким образом, интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения можно свести к интегрированию соответствующего однородного уравнения и нахождению какого-либо частного решения неоднородного уравнения. Однако обычно нахождение частного решения неоднородного уравнения представляет собой достаточно трудную задачу. Исключение составляют дифференциальные уравнения

с постоянными коэффициентами и правой частью вида
f (x) = eαx [P (x) cos βx + P (x)sin βx],		(15.8)
s	k
где Ps (x), Pk (x) – многочлены степени s и k соответственно,		α и β –

некоторые числа. Функцию (15.8) принято называть функцией специального вида. Для таких уравнений удалось выяснить структуру частного решения. А именно, была доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 15.2 (о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами и правой часть специаль-

ного вида). Если правая часть f (x) линейного неоднородного уравнения

с постоянными коэффициентами имеет специальный вид (15.8), то частное решение такого уравнения может быть найдено в виде

~	= x	l	αx	[Rm (x)cos βx +Tm (x)sin βx],	(15.9)
y			e
где Rm (x) и Tm (x)	– некоторые многочлены степени m (где m – боль-
шая из степеней многочленов Ps (x), Pk (x) в правой части					f (x) ), l –

кратность характеристического корня α ± βi ( l = 0 , если число α ± βi не является характеристическим корнем).

99

ПРИМЕРЫ.

1.Если линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами имеет правую часть f (x) = Ps (x) , то частное решение такого уравнения имеет вид:

а)	~	= Rs (x) , если число λ = 0 не является корнем характеристиче-
	y
	ского уравнения;
б)	~	= x	l	Rs (x) , если число λ = 0	является корнем кратности l	ха-
	y

рактеристического уравнения.

2.Если f (x) = Ps (x)eαx , то частное решение имеет вид:

а)	~		αx	, если число α не является корнем характеристиче-
	y	= Rs (x)e
	ского уравнения;
	~	l		αx	, если число α является корнем кратности l ха-
б) y		= x	Rs (x)e
	рактеристического уравнения.
3. Если f (x) = Ps (x) cos βx + Pk (x)sin βx , (где один из						многочленов
Ps (x) или Pk (x)					может быть равен нулю), то частное решение име-
ет вид:
а)	~	= Rm (x)cos βx +Tm (x)sin βx , если число ± βi не является харак-
	y
	теристическим корнем уравнения;
	~	l	[Rm (x)cos βx +Tm (x)sin βx], если число ± βi			является кор-
б) y		= x

нем кратности l характеристического уравнения.

Находя частное решение по теореме 15.2, многочлены Rm (x) и Tm (x) записывают с неопределенными коэффициентами, а затем определяют их, подставляя решение в дифференциальное уравнение.

ПРИМЕР 15.2. Найти общее решение уравнения y′′− 2 y′+ y = 8e3x .

РЕШЕНИЕ. Сначала рассмотрим соответствующее однородное уравнение y′′− 2 y′+ y = 0 .

Так как его характеристическое уравнение λ2 − 2λ +1 = 0 имеет корни λ1,2 =1, то общее решение однородного уравнения будет иметь вид

y = C1ex +C2 xex .

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Правая часть является произведением числа и показательной функции e3x :

100