заочникам / диф ур / Lecture_on_DE_(full)

§ 18. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Метод исключения

Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений

F

(x, y

, y′

,K, y

(m1 )

, y

, y′

,K, y

(m2 )

,K, y

,

y′

,K, y

(mn ) )

= 0,

1

1

1

1

2

2

2

)

n

n

n

(x, y

, y′

,K, y

(m )

, y

, y′

,K, y

(m

,K, y

,

y′

,K, y

(m )

)

= 0,

F

1

2

n

n

(18.1)

2

1

1

1

2

2

2

n

n

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

L L

′

(m1 )

′

(m2 )

,K, yn ,

′

(mn )

)

= 0,

Fn

(x, y1 , y1

,K, y1

, y2 , y2

,K, y2

yn ,K, yn

где

x

– независимая

переменная, y1 (x), y2 (x), K,

yn (x) – искомые

функции, F1 , F2 , K,

Fn – известные функции.

Совокупность n функций y1 = y1 (x), y2 = y2 (x),

K,

yn = yn (x) на-

зывается решением системы (18.1) на интервале (a,b) , если она обращает на (a,b) каждое уравнение этой системы в тождество.

Замечание. Всегда будем предполагать, что число уравнений системы равно числу неизвестных функций. На практике встречаются системы, в которых число уравнений меньше числа неизвестных. Такие системы дифференциальных уравнений называются уравнениями Монжа. В нашем курсе мы их рассматривать не будем.

Система, которая может быть разрешена относительно старших производных всех входящих в нее функций, называется канонической:

y1(m1 )y2(m2 )

L

y(m )

n n

=f1 (x, y1, y1′,K, y1(m1−1) , y2 , y2′,K, y2(m2 −1) ,K, yn , yn′ ,K, yn(mn −1) ),

=	′	(m1−1)	′	(m2 −1)	′	(mn −1)	),
	f2 (x, y1, y1	,K, y1	, y2 , y2	,K, y2	,K, yn , yn ,K, yn			(18.2)
L	LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

=fn (x, y1, y1′,K, y1(m1−1) , y2 , y2′,K, y2(m2 −1) ,K, yn , yn′ ,K, yn(mn −1) ),

где x – независимая переменная, yi (x) – искомые функции, fi (x) – за-

данные в некоторой области функции.

Класс систем дифференциальных уравнений, решение которых можно найти аналитическим путем, достаточно узок. Поэтому мы будем изучать главным образом системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка, для которых существует законченная теория построения общего решения, и несложные системы нелинейных уравнений, для которых, как правило, можно подобрать интегрируемые комбинации. Для всех остальных случаев на практике используют численные методы, которые выходят за рамки нашего курса.

Частный случай канонической системы – система уравнений пер-

вого порядка, разрешенных относительно производной всех искомых функций, т. е. система вида:

121

				dy1			=	f (x, y , y ,..., y ),
	dx							1	1 2	n
	dy
					2
							=	f2 (x, y1, y2 ,..., yn ),			(18.3)
	dx
	LLLLLLLLLL
	dy				n
							=	fn (x, y1, y2 ,..., yn ).
	dx
Система (18.3) называется нормальной.										Если известные функции fi

системы (18.3) не зависят от свободной переменной x , то она называется автономной (стационарной).

Число уравнений системы (18.3) называется ее порядком. В дальнейшем будем рассматривать только нормальные системы, т. к. каноническую систему (18.2) всегда можно заменить эквивалентной ей нормальной системой k = m1 + m2 +K+ mn уравнений. Для этого достаточ-

но ввести k новых функций

yi0 , yi1,		yi2		, K, yi m −1	(i =1,2,K, n)
				i
полагая, что					(mi −1)
′	, yi2			′′		(i =1,2,K, n) .
yi0 = yi , yi1 = yi			= yi , K, yi m		−1 = yi
				i

ПРИМЕР. Рассмотрим систему трех уравнений второго порядка

y1′′=y2′′=y3′′=

f1 (x, y1, y2 , y3 , y1′, y2′, y3′), f2 (x, y1, y2 , y3 , y1′, y′2 , y3′), f3 (x, y1, y2 , y3 , y1′, y′2 , y3′).

Введем новые функции

y10 = y1 , y20 = y2 , y30 = y3 , y11 = y1′, y21 = y2′, y31 = y3′.

Тогда исходная система будет эквивалентна следующей системе:

y′

= f

1

(x, y

, y

20

, y

30

, y

, y

21

, y

31

),

11

10

11

′

= f2 (x, y10 , y20 , y30 , y11 , y21 , y31 ),

y21

′

= f3 (x, y10 , y20

, y30

, y11 , y21 , y31 ),

y31

′

= y11 ,

y10

′

= y21 ,

y20

′

= y31.

y30

122

Дифференциальное уравнение первого порядка

dd yx1 = f1 (x, y1)

можно рассматривать как частный случай системы дифференциальных уравнений. Ее решением будет функция y1 (x) =ϕ(x) , которая с геомет-

рической точки зрения представляет собой кривую на плоскости (в двумерном пространстве). Для системы 2-го порядка

	d y1		= f	(x, y , y		2	),
		1			1
d x
	d y2		= f2 (x, y1, y2 )
d x			y	=ϕ	(x),
решением будет пара функций							которые можно рассматри-
			1	1
			y2	=ϕ2 (x),

вать как уравнения кривой в пространстве трех измерений. Обобщая геометрическую терминологию, будем считать, что решение y1 =ϕ1 (x), y2 =ϕ2 (x), ..., yn =ϕn (x) системы (18.3) представляет собой

интегральную кривую (n +1) -мерного пространства переменных

x, y1 , y2 ,..., yn .

Задача Коши для систем дифференциальных уравнений ставится также, как для одного уравнения: найти решение системы, удовлетво-

ряющее начальным условиям

y1 (x0 ) = y10 , y2 (x0 ) = y20 , K, yn (x0 ) = yn0 .

(18.4)

Справедлива следующая теорема

ТЕОРЕМА18.1 (осуществованиииединственностирешениязадачиКоши).

Пусть в системе (18.3) функции fi (x, y1, y2 ,K, yn ) удовлетворяют двум условиям:

1)функции fi (x, y1, y2 ,K, yn ) непрерывны как функции (n +1) -ой переменной x, y1, y2 ,K, yn в некоторой области D (n +1) -мерного пространства;

2)их частные производные по переменным y1, y2 ,K, yn в области D

	ограничены (т. е. М > 0 такое, что		∂fi		≤ M , i, j =		).
						1, n
			∂yj

Тогда для любой фиксированной точки M 0 (x0 , y10 , y20 ,K, yn0 ) области

D существует, и притом единственное, решение

y1 =ϕ1 (x), y2 =ϕ2 (x), K, yn =ϕn (x)

системы (18.3), определенное в некоторой окрестности точки x0 , и удовлетворяющее начальным условиям (18.4).

123

Из теоремы 18.1 следует, что, закрепляя значение x0 и изменяя в некоторых пределах значения y10 , y20 ,K, yn0 (так, чтобы точка (x0 , y10 , y20 ,K, yn0 ) принадлежала области D ), мы будем для каждой системы чисел y10 , y20 ,K, yn0 получать свое решение. Следовательно, в

области D система (18.3) имеет бесчисленное множество решений и эта совокупность решений зависит от n произвольных постоянных.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность n функций

	y1 =ϕ1 (x, C1 ,K, Cn ),
	y2	=ϕ2 (x, C1 ,K, Cn ),	(18.5)
	KKKKKKK
	yn	=ϕn (x, C1 ,K, Cn ),

зависящих от x и n произвольных постоянных C1 ,C2 ,K,Cn , называется общим решение системы (18.3), если:

1)при любых допустимых значениях постоянных C1 ,C2 ,K,Cn она обращает все уравнения системы (18.3) в тождество, т. е. определяет решение системы;

2)для любых допустимых начальных условий найдутся такие значения констант, при которых функции совокупности (18.5) удовле-

творяют заданным начальным условиям.

Любое решение, которое получается из общего при конкретных постоянных Ci , будем называть частным.

Для нормальных систем справедливо следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 18.2. Всякое дифференциальное уравнение n-го порядка y(n) = f (x, y, y′, y′′,K, y(n−1) )

можетбытьзамененоэквивалентнойемунормальнойсистемойпорядкаn.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

y = z1, y′ = z2 , y′′ = z3 , K, y(n−1) = zn .

Тогда

y′ = dzdx1 = z2 , y′′ = dzdx2 = z3 , K, y(n−1) = dzdxn−1 = zn , y(n) = dzdxn = f (x, z1 ,Kzn ) ,

т. е. получили нормальную систему

z1′ = z2 ,z2′ = z3 ,

KKKK

zn′−1 = zn ,

zn′ = f (x, z1, z2 ,K, zn ),

эквивалентную заданному уравнению.

124

Справедливо также и обратное утверждение.

ТЕОРЕМА 18.3. Всякая нормальная система n-го порядка может быть заменена эквивалентным ей дифференциальным уравнением порядка n.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть дана нормальная система

y′

=

f

(x, y ,K, y

n

),

1

1

1

′

= f2 (x, y1,K, yn ),

(18.6)

y2

L L LLLLLL

′

= fn (x, y1,K, yn ).

yn

Дифференцируем по x обе части первого уравнения системы:

d 2 y

∂f

∂f

1

dy

∂f

1

dy

n

1

=

1 +

1

+K+

.

dx2

∂x

∂y

dx

∂y

n

dx

dy1

dy2

dyn

1

Заменим

,

,K,

их выражениями через x, y ,K, y

n

из системы

dx dx

dx

1

(18.6) и получим

2 y

d

∂f

∂f

1

∂f

1

1

=

1

+

f

1

+K+

f

n

dx2

∂x

∂ y

∂y

n

1

или, переобозначая правую часть, имеем:

y1′′= F2 (x, y1, y2 ,K, yn ) .

Дифференцируя полученное уравнение по x и, заменяя производные их выражениями из системы (18.6), будем иметь

	y1′′′= F3 (x, y1, y2 ,K, yn ) .
Продолжая этот процесс, получим систему уравнений:
	y′	=	f	(x, y , y	2	,K, y	n	),
	1		1	1
	′′	=	F2 (x, y1, y2 ,K, yn ),						(18.7)
	y1
	L L LLLLLLLL
	(n)	= Fn (x, y1, y2 ,K, yn ).
y1

Из первых (n −1) уравнений системы (18.7) находим y2 , y3 ,K, yn , кото-

			′	′′		(n−1)	:
рые будут выражаться через x, y1, y1				, y1 , K, y1
	y2	=		′	′′	(n−1)		),
			ψ2 (x, y1, y1		, y1,K, y1
				′	′′	(n−1)
								),	(18.8)
y3		= ψ3 (x, y1, y1, y1,K, y1
L L LLLLLLLLLL
		=		′	′′	(n−1)		).
yn			ψn (x, y1, y1		, y1,K, y1

Подставляя эти выражения в последнее уравнение системы (18.7), приходим к дифференциальному уравнению n -го порядка относительно переменной y1 :

(n)	′	′′	(n−1)	) .	(18.9)
y1	= F(x, y1, y1	, y1,K, y1

125

Теорема 18.3 позволяет найти решения систем дифференциальных уравнений, сведя ее, по сути, к решению одного дифференциального уравнения порядка n. Действительно, решив уравнение (18.9) мы получим

y1 =ϕ1 (x,C1,C2 ,K,Cn ) .

Дифференцируя найденную функцию y1 (n −1) раз и, подставляя

y(i)	(i =	1, n −1) в (18.8), находим искомое решение нормальной системы
1
дифференциальных уравнений:
		y1	=ϕ1 (x,C1,C2 ,K,Cn ),
		y2	=ϕ2 (x,C1,C2 ,K,Cn ),
		KKKKKKKKKK
		yn	=ϕn (x,C1,C2 ,K,Cn ).

Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем сведения ее к одному уравнению порядка n , называется методом ис-

ключения.

Замечание. Уравнение (18.9) было получено в предположении, что из системы (18.8) можно выразить y2 , y3,K, yn как функции

x, y1, y1′, y1′′, K, y1(n−1) . Но в ряде случаев это сделать невозможно (например, если первое уравнение имеет вид y1′ = f (x, y1) ). Тогда

следует получить систему вида (18.8) для i-го (i ≠1) уравнения системы и заменить систему уравнением порядка n относительно функции yi . Для системы дифференциальных уравнений нельзя

получить эквивалентного ей уравнения порядка n только тогда, когда система распадается на отдельные уравнения, т.е. является не системой, а совокупностью уравнений.

ПРИМЕР 18.1. Найти методом исключения общее решение системы

y1′ = 4 y1 −5y2 + 4x −1,y2′ = y1 − 2 y2 + x.

Указать решение, удовлетворяющее условиям y1 (0) =11, y2 (0) = 3 .

РЕШЕНИЕ. Продифференцируем второе уравнение системы:
′′		′	′
y2		= y1	−2y2 +1.
Заменим y1′ ее выражением из первого уравнения системы:
y2′′= 4y1 −5y2 +4x −1−2y2′ +1.				(18.10)
Из второго уравнения системы находим:
		′	+ 2 y2 − x .
y1 = y2
Подставляя выражение для y1	в (18.10) получим уравнение:
′′		′	−3y2 = 0 .
y2	−2y2

Его общее решение:

126

y2 = C1e3x +C2e−x .

Дифференцируя y2 и подставляя y2 и y2′ в выражение для y1 находим:

y1 = 5C1e3x +C2e−x − x .

Таким образом, общее решение системы имеет вид

y1 = 5 C1e3x + C2 e−x − x,y2 = C1e3x + C2 e−x .

Найдем значение постоянных C1 и C2 , при которых частное реше-

ние будет удовлетворять

начальным

условиям y1 (0) =11, y2 (0) = 3 .

Подставив в общее решение x0

= 0 ,

y1 =11,

y2 = 3, будем иметь

11 = 5C

+ C

,

C

= 2,

1

2

1

3 = C1

+ C2 ;

C2 =1.

Следовательно, решение, удовлетворяющее заданным начальным

условиям, имеет вид

=10e3x + e

−x − x,

y

1

y2 = 2e3x + e−x .

ПРИМЕР 18.2. Найти общее решение системы

y′ = y

2

+ y

,

1

3

y2′ = y1 + y2 − y3 ,

y3′ = y2 + y3 .

РЕШЕНИЕ. 1) Дифференцируем первое уравнение системы по x два раза,

каждый раз заменяя y2′	и y3′		их выражениями из второго и третьего урав-
нений системы:				y1′ = y2 + y3 ;
y′′= y′		+ y′
			= ( y + y − y ) + ( y + y ) ,
1	2	3		11442443			14243
						y2′		y3′
′′′ ′		y1′′= y1 + 2 y2 .
	+	′	= ( y2 + y3 ) + 2( y1 + y2 − y3 ) ,
y1 = y1		2 y2
				′′′				(18.11)
Получили систему:			y1 = 2 y1 + 3y2 − y3 .
		y′		= y		+ y ,
					2
			1			3
		y1′′= y1 + 2 y2 ,
			′′′
		y1		= 2 y1 +3y2 − y3.

127

y′ = y		2	+ y ,				находим y2 и y3 :
Из системы уравнений	1				3
y1′′= y1 + 2 y2
	y2 = 0,5 (y1′′− y1 ),
	y3 = y1′ − 0,5 (y1′′− y1 ).
Подставляя выражения для y2			и y3			в уравнение (18.11) получим
′′′			′′					′	′′	− y1 ),
y1 = 2 y1	+1,5 (y1				− y1 )− y1				+ 0,5 (y1
			′′′				′′	′	= 0 .
		y1		− 2 y1				+ y1

Это линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение λ3 − 2λ2 + λ = 0 имеет корни λ1 = 0 , λ2,3 =1. Следовательно, общее решение этого уравнения имеет вид:

					y = C + ex (C						2	+C x) .
						1	1					3
2) Теперь найдем y2 и y3 . Имеем:
					y2 = 0,5 (y1′′− y1 ),
					y3 = y1′ − 0,5 (y1′′− y1 ).
Из y = C + ex		(C		2	+C x) находим
1	1				3
Тогда	y1′ = ex (C2 +C3 +C3 x)								и y1′′= ex (C2 + 2C3 +C3x) .
			= 0,5 [ex (C							x) −C −ex (C					x)],
	y	2				2	+ 2C	3	+C				2	+C
									3			1		3

y2 = 0,5 [ex (C2 + 2C3 +C3 x −C2 −C3 x) −C1 ],

y2 = −0,5 C1 + C3e x ;

y3 = e x (C2 + C3 + C3 x) − (− 0,5 C1 + C3e x ),y3 = 0,5 C1 + e x (C2 + C3 x) .

Таким образом, общее решение системы имеет вид:

y1y2y3

= C + e x (C	2	+ C		x),
1			3
= −0,5 C1 + C3e x ,
= 0,5 C + e x (C			2	+ C	x).
1				3

§ 19. Метод интегрируемых комбинаций
Пусть решение системы дифференциальных уравнений
yi′ = fi (x, y1,K, yn )	( i =				)	(19.1)
			1, n
имеет вид:
yi =ϕi (x,C1,K,Cn )	( i =			).		(19.2)
		1, n

128

Можно доказать, что в области D n+1, в которой выполняются условия теоремы существования и единственности решения, система (19.2) может быть однозначно разрешена относительно C1, C2 , …, Cn . Т. е. в

области D справедливы равенства
ψ1(x, y1,K, yn ) = C1 ,
ψ2 (x, y1,K, yn ) = C2 ,	(19.3)
KKKKKKKKK

	,K, yn ) = Cn .
ψn (x, y1

Совокупность равенств (19.3) называют общим интегралом системы (19.1), а каждое из равенств системы (19.3) называют первым интегра-

лом системы (19.1).

Иногда при интегрировании системы дифференциальных уравнений легче найти именно общий интеграл системы. Так, например, если с помощью элементарных преобразований система (19.1) приводится к виду

	dΦi (x, y1, y2 ,Kyn ) = 0	( i =	1, n		),		(19.4)
то	Φi (x, y1, y2 ,Kyn ) = Ci	( i =				)
				1, n

будут первыми интегралами системы, а их совокупность – общий интеграл. Такой способ интегрирования систем называют методом интег-

рируемых комбинаций.

Замечание. n первых интегралов системы образуют общий интеграл, если они независимы, т. е. ни один из них не может быть получен из оставшихся. Доказано, что если Φi (x, y1, y2 ,Kyn ) = Ci

(i =

) –

первые интегралы

и

для

каких-нибудь k функций

1, k

yi , yi

2

,..., yi

k

якобиан

1

∂Φ1 ∂Φ1

K

∂Φ1

∂yi

∂yi

2

∂yi

k

1

∂Φ2

∂Φ

2

K

∂Φ2

∂(Φ

,Φ

,K, Φ

k

)

≠ 0 ,

∂yi

∂yi

∂yi

=

1

2

1

2

k

∂( yi , yi ,K, yi )

L

L L L

1

2

k

∂Φk

∂Φk

K

∂Φk

∂yi

∂yi

∂yi

2

k

1

то первые интегралы независимы.

ПРИМЕР 19.1. Найти первые интегралы системы

y y′

+ y

2

y′

+1 = 0,

1

1

2

y1′

+

y2′

+ y1 y2′ + y2 y1′ = 0.

y

y

2

1

129

РЕШЕНИЕ. Заметим, что систему можно переписать в следующем виде:

		y1dy1 + y2dy2 + dx = 0,
		dy			+	dy			2	+ y dy			+ y		dy = 0;
			y	1			y
								2		1		2			2		1
			1
		1	d( y2 ) +						1	d( y	2 ) + dx				= 0,
		2							2
					1						2
	d (ln | y1 |) + d(ln | y2 |) + d ( y1 y2 ) = 0;
			d		( y2		+ y2 + 2x) = 0,
				d		1				2				| +y			y ) = 0.
					(ln | y					| +ln | y			2			2
									1								1

Значит, общий интеграл системы:

y2	+ y2	+ 2x = C ,
1	2	1
ln | y1 | +ln | y2 | +y2 y1 = C2 .

Если привести систему к виду (19.4) сложно, но удается найти k ( k < n ) независимых первых интегралов системы, то из них можно выразить k неизвестных функций через остальные (n −k) функций и пе-

рейти таким образом к системе с меньшим числом переменных.

ПРИМЕР 19.2. Найти общее решение системы

dy1				= 2 y	− y	2		− y	3	,
				1
dx
dy		2		= 3y1 − 2 y2 −3y3 ,
dx
	dy3			= −y	+ y		2	+ 2 y			3	.
				1
dx

РЕШЕНИЕ. Почленно сложим второе и третье уравнения, вычтем первое и получим

−

dy1

+

dy2

+

dy3

= −(2y − y

2

− y

3

) +(3y −2y

2

−3y

3

) +(−y + y

2

+2y

3

) = 0

dx dx

dx

1

1

1

d

или

(−y

+ y

2

+ y

3

) = 0 .

dx

1

Отсюда первый интеграл системы:

− y1 + y2 + y3 = C1 .

Этот интеграл позволяет выразить одну из неизвестных функций через две другие, например,

y3 = C1 + y1 − y2 .

(19.5)

130