заочникам / диф ур / Lecture_on_DE_(full)

вом обладает показательная функция. Поэтому частные решения будем искать в виде

y	= d eλ x , y	2	= d	2	eλ x , …, y	n	= d	n	eλ x ,	(21.4)
1	1

где λ, d1 , d2 , K, dn – неизвестные действительные числа, которые нужно выбрать так, чтобы функции (21.4) удовлетворяли системе (21.3).

Запишем систему (21.3) в матричном виде:

где

Y′ = AY ,

(21.5)

a

a

K a

11

12

1n

a21

a

22

K a2n

A = (aij ) =

K K K K

.

По предположению,

an1

an2 K ann

d eλx

d

1

1

Y

= d2e

λx

= eλxD ,

где D = d2 .

K

K

λx

dne

dn

d λeλx

1

λx

d

2λe

λx

D .

Y′ =

K

= λe

λx

dnλe

Подставим Y и Y′ в (21.5) и получим

λ eλx D = A (eλx D)

или

λ D = A D ,

A D −λD = O ,

(A − λE) D = O .

(21.6)

Матричное уравнение (21.6) представляет собой матричную запись системы n линейных однородных уравнений с n неизвестными. Чтобы такая система имела нетривиальные решения необходимо, чтобы

det(A − λE) = 0 .

Но это означает, что λ должно является действительным характеристическим корнем (т. е. собственным значением) матрицы A , а D – ее собственным вектором, относящимся к λ .

Матрица A имеет n характеристических корней, но среди них могут быть комплексные и кратные. Рассмотрим ситуации, которые в связи с этим могут возникнуть.

151

I. Характеристические корни матрицы A действительны и различны

В этом случае для каждого характеристического корня λi

(i =

)

1, n

найдем собственный вектор D

i

= (d

ji

) и запишем решения Y = eλi xD

:

i

i

eλ1xd

11

eλ2 xd

eλn xd

12

1n

Y

= eλ1xd

21

, Y = eλ2 xd22

, …, Y

= e

λn xd

2n .

1

K

2

K

n

K

λ x

dn1

λ

x

dn2

λ

x

e 1

e

2

e

n

dnn

Рассмотрим определитель Вронского этих решений. Имеем:

d eλ1x d eλ2 x K d

eλn x

11

12

eλ2 x K d

1n

eλn x

W [Y

,Y ,K,Y

] =

d eλ1x d

22

2n

=

21

1

2

n

K

K

K

K

d eλ1x d

n2

eλ2 x K d

nn

eλn x

n1

d11 d12 K d1n

λ x

λ

x

λ

x

d

21

d

22

K d

2n

≠ 0 .

= e 1

e 2

K e n

K K K K

dn1

dn2

K dnn

Действительно, так как все собственные векторы Di относятся к различным собственным значениям, то они линейно независимы, т. е.

α1D1 +α2D2 +K+αnDn = O		только	при	условии,	что
α1 =α2 =K=αn = 0 . Это означает, что система
α1d11	+ α2d12	+ K + αnd1n		= 0,
α1d21	+ α2d22	+ K + αnd2n		= 0,
		K K K	K	K K
K K K
	+ α2dn2	+ K + αndnn		= 0
α1dn1

имеет единственное (тривиальное) решение и, следовательно, ее определитель

d11 d12 K d1n

d21 d22 K d2n ≠ 0 .

K K K K

dn1 dn2 K dnn

Так как W [Y1, Y2 ,K, Yn ] ≠ 0 , то решения Y1, Y2 ,K, Yn линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений. Общее решение системы в этом случае имеет вид

Y = C1Y1 +C2 Y2 +K+Cn Yn

или, подробнее,

152

y

=

C d eλ1x

+

C d eλ2 x

+ K +

C

d

eλn x

,

1

1 11

2

12

eλ2 x

n

1n

eλn x

y

2

=

C d eλ1x

+

C

d

22

+ K +

C

d

2n

,

1 21

2

n

K K

K

λ1x

K

K

λ2 x

K K K

K

λn x

=

C1dn1e

+

C2dn2e

+ K +

Cndnne

.

yn

ПРИМЕР 21.2. Найти общее решение системы:

y′	= y	+ 2 y	2	,
1	1
y2′	= 4 y1 + 3y2 .

РЕШЕНИЕ. Данная система – линейная однородная с постоянными коэффициентами. Следовательно, ее общее решение может быть найдено методом Эйлера.

Матрица системы:

A = 14 23 .

Запишем ее характеристическую матрицу и найдем характеристический многочлен:

A −λE =		1 −λ 2	,
		4 3 −λ

A − λE = λ2 − 4λ −5.

Найдем характеристические корни:

λ2 − 4λ −5 = 0 ,

λ1 = 5, λ2 = −1.

Характеристические корни являются собственными значениями матрицы A . Найдем ее собственные векторы, относящиеся к каждому из собственных значений.

а) Для λ1 = 5 имеем:

1	−5	2		x		= O ,
(A −5E)X =	4	3 −	5	1
				x2

− 4 2 x

0

− 4x

+ 2x

= 0,

4

− 2

x1

=

0

или

4x

1

− 2x2

= 0.

2

1

2

x2 = 2x1 – общее решение системы.

Фундаментальная система решений состоит из одного решения. Полагаем x1 =1 и находим это решение:

D1 = 1 .2

153

Итак, получили, что D1 – собственный вектор матрицы A , относящийся к собственному значению λ1 = 5. Следовательно, решение сис-

темы дифференциальных уравнений:

5x

Y

= e5xD

1

e

= e5x

=

.

1

1

2

2e

5x

б) Для λ2 = −1 имеем:

1

+1

2

x

(A + E)X

= O ,

=

4 3

1

+1 x2

2 2 x1

0

или

2x1

+ 2x2

= 0,

4 4 x

=

0

4x

+ 4x

2

= 0.

2

1

x2 = −x1 – общее решение системы.

Фундаментальная система решений состоит из одного решения. Полагаем x1 =1 и находим это решение:

D2 = −11 .

Так как D2 – собственный вектор матрицы A , относящийся к собственному значению λ2 = −1, то решение системы дифференциальных

уравнений:							−x
Y	= e−xD			1		e
		2	= e−x		=			−x	.
2				−1		−e
Найденные таким образом решения Y1						и Y2			образуют фундамен-

тальную систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид

Y = C1Y1 +C2Y2 = C1 12 e5x +C2 −11 e−x

или, подробнее,

y			=	C e5x	+ C	e−x ,
	y	1	=	1	2	e−x .
		2		2C e5x	− C
				1	2

II. Характеристические корни матрицы A различны, но среди них есть комплексные

Так как характеристический многочлен матрицы A имеет действительные коэффициенты, то комплексные корни будут появляться сопряженными парами. Пусть, например, характеристическими корнями являются числа λ1 =α + βi, λ2 =α − βi .

154

Рассмотрим две системы n линейных однородных уравнений с n неизвестными:

(A −λ1E) X = O и (A − λ2E) X = O .

В алгебре доказано, что если для них выбрать одни и те же переменные свободными и придать им сопряженные значения, то для зависимых переменных тоже получаться сопряженные значения.

Пусть D = (d j1) – решение системы (A −λ1E) X = O . Тогда D = (d j1) – решение системы (A −λ2E) X = O . Рассмотрим матрицыстолбцы

Z1 = eλ1x D = e(α+iβ) x D = eαx eiβx D = eαx (cos βx + i sin βx)D , Z2 = eλ2 x D = e(α−iβ) x D = eαx e−iβx D = eαx (cos βx −i sin βx)D .

В силу выбора D и D эти матрицы-столбцы Z1 и Z2 будут удовлетворять матричному уравнению Y′ = AY . Полагаем далее

Y = 1		(Z	1	+ Z	2	),	Y =	1	(Z	1	− Z	2	).
1	2						2	2i

Непосредственной проверкой легко убедиться, что Y1 и Y2 состоят из действительных функций и тоже удовлетворяют матричному уравнению Y′ = AY . Более того, можно доказать, что Y1 и Y2 линейно неза-

висимы и, следовательно, могут быть включены в фундаментальную систему решений.

Замечание. На практике матрицу-столбец Z2 не записывают, так как Z2 = Z1 . Действительно,

Z1 = eαx (cos βx +i sin βx)D = eαx (cos βx +i sin βx) D = = eαx (cos βx −i sin βx) D = Z2 .

Следовательно,	Y = 1			(Z			+					)= Re Z			,
						1			Z					1
	1	2						1
	Y =		1		(Z			−					)= Im Z			.
							1			Z		1
	2		2i											1

ПРИМЕР 21.3. Найти общее решение системы

y1′ = y1 − y2 − y3 ,y2′ = y1 + y2 ,

y3′ = 3y1 + y3 .

155

РЕШЕНИЕ. Так как данная система – линейная однородная с постоянными коэффициентами, то ее общее решение может быть найдено методом Эйлера.

= 1 −1 −1

1) Матрица системы: A 1 1 0 .

3 0 1

Запишем ее характеристическую матрицу и найдем характеристический многочлен:

1 − λ			−1	−1
	1	1	−λ	0		,
A −λE =
	3		0
				1 − λ

A − λE = (1 − λ)[(1 − λ)2 + 4] .

Найдем характеристические корни:

(1 −λ)[(1 − λ)2 + 4] = 0 ,

λ1 =1, λ2,3 =1 ± 2i .

2)Действительный корень λ1 =1 является собственным значением

матрицы A . Найдем собственный вектор матрицы, относящийся к этому собственному значению. Имеем:

							1		−1		−1 −1 x
									1	1 −1 0		1		= O,
			(A − E)X =									x2
									3		0 1 −1 x
												3
		0	−1	−1 x					0			− x	2	−	x	= 0,
		1	0	0	1		=		0		или			x1	3	= 0,
					x2
		3	0 0						0					3x1		= 0.
					x3

Ранг матрицы системы равен 2, в качестве базисного минора можно выбрать, например, минор 10 −01 . Тогда переменные x1, x2 будут зави-

симыми, а x3 свободной. Общее решение при этом будет иметь вид:

x2	=	− x3 ,
x	=	0.
1

Фундаментальная система решений состоит из одного решения. Полагаем x3 =1 и находим его:

D1 = −01 .1

156

Итак, получили, что D1 – собственный вектор матрицы A , относящийся к собственному значению λ1 =1. Следовательно, решение сис-

темы дифференциальных уравнений:			0				0
	= exD
Y		= ex	−1		=		−ex .
1	1							x
			1				e

3) Возьмем один из комплексных корней, например λ2 =1 + 2i , и найдем фундаментальную систему решений системы (A − λ2E)X = O . Имеем:

1 −(1 + 2i)

−1

−1

x

(A

−λ2E)X

1

1 −(1 + 2i)

0

1

= O

,

=

x2

3

0

1 − (1 + 2i) x

3

− 2i

−1

−1 x

0

− 2ix

−

x

2

−

x

= 0,

1

− 2i

0

1

=

или

1

−

3

= 0,

x2

0

x1

2ix2

2ix

3

0

− 2i x

0

3x

−

3

= 0.

3

1

Ранг матрицы системы равен 2, в качестве базисного минора можно

выбрать, например, минор

− 2i

0

. Тогда переменные

x

2

, x

будут

0

− 2i

3

зависимыми, а x1 свободной. Общее решение при этом будет иметь вид:

				x
x2	=				1	,
				2i
			3x1
x3	=						.
				2i
Фундаментальная система решений состоит из одного решения.
Полагаем x3 = 2i и находим его:		2i
D		1
	=				.
		3

Тогда

	2i			2i
Z = e(1+2i) x	1		= ex (cos 2x +i sin 2x)	1		,
	3			3

−2sin 2x +i 2cos 2x

−2sin 2x

2cos 2x

Z = e

x

cos

2x +i sin 2x

= e

x

cos 2x

+ie

x

sin 2x

3cos

2x +i 3sin 2x

3cos 2x

3sin 2x

Откуда находим

157

− 2sin 2x

Y1 = Re Z = ex cos 2x ,

3cos 2x

2 cos 2x

Y2 = Im Z = ex sin 2x .

3sin 2x

Найденные таким образом решения Y1 , Y2 , Y3 образуют фундамен-

тальную систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид

Y = C1Y1 +C2Y2 +C3Y3 =

0

− 2sin 2x

2 cos 2x

= C ex

−1

+C

2

ex

cos 2x

+C

ex

sin 2x

1

3

1

3cos 2x

3sin 2x

или, подробнее,

y1y2y3

=		− 2C2ex sin 2x				+ 2C3ex cos 2x				,
= −C ex		+	C	ex cos 2x		+	C	ex sin 2x ,
	1		2		ex cos 2x +		3		ex sin 2x.
=	C ex	+	3C				3C
	1		2				3

III. Характеристические корни матрицы A действительны, но среди них есть кратные

Пусть λ – действительный характеристический корень матрицы A кратности l, r = rang(A − λE) . Возможны два случая.

1)n − r = l.

Вэтом случае фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений (A − λE)X = O состоит из l решений. Сле-

довательно, существуют l линейно независимых собственных векторов D1 , D2 ,K, Dl матрицы A , относящихся к собственному значению λ .

Тогда решения системы дифференциальных уравнений

Y1 = eλxD1 , Y2 = eλxD2 , …, Yl = eλxDl

линейно независимы и входят в фундаментальную систему решений этой системы.

2) n − r ≠ l (точнее, n − r < l, случай n − r > l вообще невозможен из алгебраических соображений).

Тогда фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений (A − λE)X = O состоит из k < l решений. С их помо-

щью мы сможем получить k линейно независимых решений системы дифференциальных уравнений. В такой ситуации существует два возможных способа найти все решения.

158

Первый способ – искать l решений вида

a

+ a x

+ K +

a

xl−1

10

11

1,l−1

xl−1

Y = e

λx a

20

+ a

21

x

+ K +

a

2,l−1

,

K K K K K K

K

+ an1x

+ K +

an,l−1x

l−1

an0

где коэффициенты многочленов aij

находят, подставляя Y в исходную

систему.

ПРИМЕР 21.4. Найти общее решение системы

y′

= y

− y

2

,

1

1

y2′

= y1 +3y2 .

РЕШЕНИЕ. Так как система – линейная однородная с постоянными коэффициентами, то ее общее решение может быть найдено методом Эйлера.

Матрица системы:		1	−1
	A =	1	3	.

Запишем ее характеристическую матрицу и найдем характеристический многочлен:

A −λE = 1 −1λ 3−−1λ ,A −λE = λ2 −4λ + 4.

Найдем характеристические корни:

λ2 − 4λ + 4 = 0 , λ1,2 = 2 .

Итак, имеем характеристический корень кратности l = 2 . При этом r = rang(A − 2E) =1 (т. к. A − 2E = 0 ). Следовательно,

n − r = 2 −1 =1			и		n − r < l.
Будем искать решения системы в виде
Y = e	2x	a + bx
			+		,
т. е. полагаем		c			dx
y = (a +bx)e2x ,			y	2	= (c + dx)e2x .
1
Тогда
y1′ = (2a + 2bx +b)e2x ,			y2′ = (2c + 2dx + d)e2x .

Подставим y1, y2 , y1′, y2′ в исходную систему и получим:

(2a +b + 2bx)e2x = (a +bx −c − dx)e2x ,(2c + d + 2dx)e2x = (a +bx +3c +3dx)e2x

159

или, после сокращения на e2 x :

2a + b + 2bx = a +bx − c − dx,2c + d + 2dx = a +bx + 3c + 3dx;

		(a + b + c) + (b + d)x = 0,
	(−a − c + d) −(b + d)x = 0.

Приравнивая коэффициенты при равных степенях x, получим:

	a + b + c = 0,
− a −c + d = 0,
	−b − d = 0,
	b + d = 0.
Или, после преобразований:
a +b +c = 0,
	b + d = 0.

Ранг матрицы системы равен 2, в качестве базисного минора можно выбрать, например, минор 10 11 . Тогда переменные a , b будут зависи-

мыми, c и d – свободными. Общее решение при этом будет иметь вид:

a = d − c,b = − d .

Находим фундаментальную систему решений:

	d =1, c = 0	a =1, b = −1;
	d = 0 , c =1	a = −1, b = 0 .
Первое из решений	фундаментальной			системы	( a =1,	b = −1,	c = 0 ,
d =1) дает для системы дифференциальных уравнений решение
			1 − x
	Y = e2x			,
	1		x
					( a = −1,	b = 0 ,	c =1,
второе решение из	фундаментальной			системы
d = 0 ) дает решение			−1
	Y
		= e2x		.
	2		1

Найденные таким образом решения Y1 , Y2 образуют фундамен-

тальную систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид:

Y = C1Y1 +C2Y2 = C1e2x 1 −x x +C2e2x −11 .

160