заочникам / диф ур / Lecture_on_DE_(full)

P(x, y)

ПРИМЕР 2.4. Прямая y = 0 являются огибающей семейства кри-

	вых y =	(x +C)3	(рис. 2.3).
		8

Интегрируя дифференциальное уравнение, необходимо всегда проверять, не были ли потеряны в процессе преобразования какие-нибудь решения. Если уравнение имеет особое решение, оно всегда «теряется» и обладает тем свойством, что оно могло бы быть включено в общее решение, если бы допускалось C =C(x) (так как огибающая касается в разных

точках разных кривых семейства).

Вопросы, связанные с существованием и нахождением особых решений в нашем курсе подробно рассматриваться не будут.

§ 3. Уравнения с разделенными переменными

Заметим, что дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, всегда можно записать в виде

P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0

(3.1)

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравне-

ния).

Действительно, так как y′ = dydx , то уравнение (2.2) можно переписать

следующимобразом:

dydx = f (x, y) или dydx − f (x, y) = 0 .

Умножая каждое слагаемое на dx , находим dy − f (x, y)dx = 0 .

Это уравнение вида (3.1), где P(x, y) = − f (x, y) , Q(x, y) =1.

Обратно, всякое уравнение вида (3.1), если Q(x, y) ≠ 0 , можно раз-

решить относительно производной:

dydx = −Q(x, y)

или

y′ = f (x, y) , где f (x, y) = − P(x, y) .

Q(x, y)

В дальнейшем мы будем использовать ту форму записи уравнения, разрешенного относительно производной (форму (2.2) или (3.1)), которая нам более удобна в конкретном случае. При этом, если уравнение

11

записано в виде (3.1), то обычно предполагают, что переменные x и y

равноправны.
Дифференциальное уравнение вида
f (x)dx +ϕ( y)dy = 0 ,	(3.2)

где f (x) и ϕ( y) – непрерывные функции, называется уравнением с

разделенными переменными.

Найдем общий интеграл уравнения (3.2). Пусть F (x) – первообразная функции f (x) , Φ( y) – первообразная функции ϕ( y) . Тогда

f(x)dx =dF , ϕ( y)dy = dΦ,

f (x)dx +ϕ( y)dy = d (F + Φ) .

Из (3.2) следует, что d (F +Φ) =0 . Тогда

F (x)+Φ( y) =C ,	(3.3)
где C – произвольная постоянная.	связывающее решение y ,
Итак, мы получили соотношение (3.3),

независимую переменную x и произвольную постоянную C , т. е. получили общий интеграл уравнения (3.2). Его принято записывать в виде

∫ f (x)dx + ∫ϕ ( y)dy = C ,

(3.4)

где C – произвольная постоянная.

Замечание. В (3.4), как и всюду в теории дифференциальных уравнений, символом ∫f (x)dx обозначают одну из первообразных

функции (а не все множество первообразных, как это принято в математическом анализе).

ПРИМЕР 3.1. Найти общий интеграл уравнения xdx +3y2dy = 0 . РЕШЕНИЕ. Это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, получаем:

2

x2

3

2

3

∫xdx + 3∫y

dy = C

+ y

= C

x

+ 2 y

= 2C .

2

	~
	Обозначим 2C = C и получим, что общий интеграл данного уравнения
	имеет вид	2		3	~
	x		+2 y			.
					= C

12

§ 4. Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение вида
M1 (x) N1 ( y)dx + M 2 ( x) N2 ( y)dy = 0 ,	(4.1)

называется уравнением с разделяющимися переменными (функции

M1 (x) , N1 ( y) , M 2 (x) , N2 ( y) предполагаются непрерывными).

Иначе говоря, уравнение с разделяющимися переменными, это уравнение, в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от х и только от y .

Уравнение (4.1) может быть приведено к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих его частей на выражение N1 ( y) M 2 (x) . Действительно, в этом случае имеем

M1 ( x) N1 ( y)	dx +	M 2 (x) N2 ( y)	dy = 0 .
N1 ( y) M 2 ( x)		N1 ( y) M 2 (x)

После сокращения получим уравнение с разделенными переменными

M1 (x)	dx +	N2 ( y)	dy = 0 .
M 2 (x)
		N1 ( y)

Замечания. 1) Деление на N1 ( y) M 2 (x) может привести к потере решений, обращающих в нуль произведение N1 ( y) M 2 (x) . По-

этому чтобы получить полное решение, необходимо рассмотреть корни уравнений N1 ( y) = 0 , M 2 ( x) = 0 .

2) Уравнение, разрешенное относительно y′, является уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид:

y′ = f (x) ϕ( y) .

Действительно, разделим уравнение (4.1) на M 2 ( x) N2 ( y)dx

		M1 (x) N1 ( y)				dy	= 0
						+ dx
		M 2 (x) N2 ( y)
и получим		y′ = f (x) ϕ( y) ,
где	f (x) = −		M1	(x)	, ϕ( y) =			N1 ( y)	.
			M 2
				(x)				N2 ( y)

ПРИМЕР 4.1. Найти все решения уравнения

2x ydx +(1− x2 )dy =0 .

РЕШЕНИЕ. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, так как коэффициенты при dx и dy представляет собой

13

произведение двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая – только от y. Разделим обе части уравнения на (1 − x2 ) y :

2x	dx +	dy	= 0 (где (1− x2 ) y ≠ 0 ).
(1 − x2 )		y

Получили уравнение с разделенными переменными. Его общий интеграл

∫

2x

2

dx + ∫

dy

= C ,

(1− x

)

y

− ln 1 − x2 + 2 y = C .

Найдем общее решение. Имеем:

y =

1

(ln 1

− x

2

+ C)

или

y =

1 − x

2

+

1

2

2

ln

2

C .

Так как C – произвольная постоянная, то

1 C

можно переобозначить

2

через C . Следовательно, общее решение уравнения будет иметь вид:

2

2

y = ln 1 − x

+ C .

При делении на (1 − x2 )

y мы могли потерять решения. Поэтому

необходимо рассмотреть корни уравнений 1 − x2

= 0 ,

y = 0 .

1) 1 − x2 = 0 x = ±1.

Подстановкой в

дифференциальное уравнение

убеждаемся, что

x = ±1 являются решениями. Проверим, входят ли они в общий инте-

грал. Имеем:		2 y − ln 1 − x2 =C .
	1− x2 = ±e−C e2 y
	x = ±	~	~
		1−C e2 y ,	где C = ±e−C ≠ 0 .
Решения x = ±1	могут быть включены в общее решение, если снять
	~
ограничение на C .

2)y = 0 y = 0.

Подставляя в исходное дифференциальное уравнение убеждаемся, что y = 0 удовлетворяет дифференциальному уравнению и в общее решение (интеграл) не входит, но могло бы входить, если бы допус-

калось C =C(x) = −ln 1 − x2 . Это означает, что через каждую точку

кривой y = 0 проходит еще одна интегральная кривая, входящая в общее решение и, следовательно, мы имеем дело с особым решением.

14

Таким образом, все решения дифференциального уравнения определяются равенствами:

	1 − x	2		2
y = ln			+C , y = 0,

причем решение y = 0 – особое.

ПРИМЕР 4.2. Найти все решения уравнения ydx−xdy =0 и указать частное решение, удовлетворяющее условию y(1) =2 .

РЕШЕНИЕ. Разделим обе части уравнения на x y :

dx	− dy	= 0 (где	x y ≠ 0).
x	y

Получили уравнение с разделенными переменными. Его общий интеграл

∫

dx

−∫

dy

= C или ln

x

−ln

y

= C .

x

y

Найдем общее решение. Так как функция y =ln x может принимать

любое действительное значение, то произвольную постоянную можно представить в виде lnC , где C >0 . Получим:

ln x − ln y = ln C или y = C x ,

откуда

y =±C x .

Так как C – произвольная постоянная, то ±C можно переобозначить через C . Следовательно, общее решение уравнения будет иметь вид:

y =C x , где C ≠0 .

При делении на x y мы могли потерять решения. Поэтому необходимо рассмотреть функции x =0 и y =0 .

1)Подстановкой в дифференциальное уравнение убеждаемся, что y =0 является решением. В общее решение оно войдет при C =0 . Следовательно, ограничение на значения константы необходимо снять.

2)x =0 – удовлетворяет дифференциальному уравнению и в общее

	решение входит при	1	=0 , т. е. при C =∞.
		C
	Таким образом, все решения дифференциального уравнения опре-
	деляются равенством:
	y =C x , где C – любое число.
	Найдем решение, удовлетворяющее начальному условию y(1) =2 .
	Подставим значения x0 =1,		y0 =2 в общее решение и найдем значение С:
			2=C 1 C =2 .

15

Таким образом, при C = 2 получаем частное решение y =2x ,

которое удовлетворяет начальному условию y(1) =2 .
В заключение параграфа рассмотрим следующее уравнение:
y′ = f (ax +by +c) ,	(4.2)

где a , b и c – некоторые числа. Оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой z(x) =ax+by+c .

Действительно, в этом случае имеем:
	dz	= a +b	dy		dy		1	dz
					dx	=	b		−a .
	dx		dx
								dx

Тогда уравнение (4.2)		примет вид
1	dz		= f (z) или	dz	= bf (z) + a .
b		− a		dx
	dx

Это уравнение с разделяющимися переменными, интегрируя которое получаем

dz	= dx	(где bf (z) + a ≠ 0 );
bf (z) + a

∫bf (dzz) + a = x +C .

ПРИМЕР 4.3. Найти общее решение уравнения y′= 2x − y .

РЕШЕНИЕ. Положим z = 2x − y . Тогда
dz	= 2 − dy		dy	= 2 − dz .
dx	dx		dx	dx

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим:

	2 − dz			= z		dz	= 2 − z .
Разделим переменные:		dx				dx
	dz		= dx		(где 2 − z ≠ 0 ).
	2 − z

Проинтегрируем:

∫2dz− z = ∫dx − ln C , где C >0 ;

ln 2 − z = −x + ln C , где C >0 ;

2 − z = e−x C , где C ≠0 ;

z = 2 +C e−x .

16

Возвращаясь к старой переменной, получим:

2x − y = 2 +C e−x , где C ≠0 .

В процессе преобразований потеряно решение z =2 (т. е. y =2x−2 ),

которое может быть включено в общее при C =0 . Таким образом, общее решение

y =2x−2−C e−x , C .

§5. Однородные уравнения

Куравнению с разделяющимися переменными всегда можно привести уравнения, которые получили название однородных.

Функция M ( x, y) называется однородной измерения m (или од-

нородной степени m ), если при любом t ≠0 справедливо равенство

			M (t x,t y) = t m M (x, y) .
Например, функция					f ( x, y) = 4	x8 + y8 –			однородная измерения 2,
так как
	f (t x, t y) = 4 t8 x8 + t8 y8 = t 2 4 x8 + y8 = t 2 f (x, y) ;
функция	f ( x, y) =	x2	+ y2		– однородная измерения 0, так как
			xy
	f (t x, t y) =				t 2 x2 + t 2 y2		=	x2 + y2	= t0	f (x, y) .
								xy
					t 2 xy
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнение первого порядка
					y′ = f (x, y)
называется однородным относительно x и y, если											f ( x, y) – однородная

функция нулевого измерения.

Покажем, как уравнение, однородное относительно x и y , можно привести к уравнению с разделяющимися переменными.

По определению имеем		f (t x, t y) = f (x, y) для любого t ≠0 . По-
ложим в этом тождестве t =	1	и получим
	x

f( x, y) = f 1, y ,

x

т. е. однородная функция нулевого измерения зависит от отношения xy .

Следовательно, уравнение (5.1) можно записать в виде

17

	y		y
y′ = f 1,			=ϕ		.
	x		x

Сделаем замену

y

= z . Тогда y = xz

и dy

= z + x dz

. Подставим эти

x

dx

dx

выражения в уравнение

y′ = f (x, y) и получим уравнение с разделяю-

щимися переменными:

z + x dz

=ϕ(z)

или

x dz =ϕ(z) − z .

dx

dx

Разделяя переменные и интегрируя, находим:

dz

= dx

(где ϕ(z) − z ≠ 0 );

ϕ(z) − z

x

∫

dz

= ln

x

+C .

ϕ(z) − z

y

Подставив после интегрирования вместо z отношение

, получим об-

щий интеграл исходного уравнения.

x

Замечание. Дифференциальное уравнение

M ( x, y)dx + N (x, y)dy = 0

является однородным относительно x и y, если функции M ( x, y) и

N ( x, y) – однородные функции одного и того же измерения.

Действительно, в этом случае

dy

= − M (x, y) ,

dx

N (x, y)

а отношение двух однородных функций одного и того же измере-

ния, очевидно, является функцией нулевого измерения.

ПРИМЕР 5.1. Найти общее решение уравнения y′+

x + y

= 0 .

x + 2 y

РЕШЕНИЕ. Запишем уравнение в виде

y

′

x + y

Функции x + y

и x + 2 y

= − x + 2 y .

– однородные первого измерения. Тогда функ-

ция f (x, y) = −

x + y

– однородная нулевого измерения. Действительно,

x + 2 y

f (tx, ty) = −

tx +ty

= −

x + y

= t 0 f (x, y) , m = 0 .

tx + 2ty

x + 2 y

Следовательно, имеем однородное уравнение.

18

Делаем замену xy = z . Тогда y = xz и dydx = z + x dxdz . Подставляя в уравнение, получаем

z + x

dz

+

1 + z

=

0 или

x

dz

+

2z

2 + 2z +1

= 0 .

dx

1

+

2z

dx

1+ 2z

Разделяя переменные и интегрируя, находим:

(2z +1)dz

+

dx

= 0

или

1

d(2z2 +

2z +1)

+

dx

= 0 ,

x

2

2z2 + 2z +1

x

2z2 + 2z +1

1

ln

2z2

+ 2z +1

+ ln

x

= ln C , C >0 ;

2

2 = ln C 2 , C >0 ;

ln

2z2 + 2z +1

+ ln

x

y

2z2 + 2z +1

x2 = C 2 , C >0 .

Подставляя

= z , получаем

2 y2 + 2xy + x2

= C 2 , C >0 .

x

2 y2 + 2xy + x2 = ±C 2 .

Переобозначим ±C 2 через C . Тогда общий интеграл уравнения.

2 y2 + 2xy + x2 = C , C ≠ 0 .

Потери решений в процессе интегрирования не произошло, так как

2z2 + 2z +1 ≠ 0 , z , а x = 0 не является решением.

Замечание.

Некоторые однородные уравнения проще интегри-

руются с помощью подстановки

x

= z , которая, как легко убедить-

y

ся, также приводит однородное уравнение к уравнениию с разделяющимися переменными.

ПРИМЕР 5.2. Найти общее решение уравнения xdy − ydx = ydy .

РЕШЕНИЕ. Запишем уравнение в виде

(x − y)dy = ydx .

Функции x – y и x – однородные измерения 1. Следовательно, уравнение является однородным относительно x и y . Но, так как уравнение можно записать в виде

xy −1 = dydx ,

то в данном случае за свободную переменную удобнее выбрать y, а за искомую функцию x = x( y) .

19

	Положим	x	= z .
		y
			x = z y и x′ = z + y z′.

Подставляя в уравнение выражения для x и x′, получаем z −1 = z + y z′.

Приводя подобные и разделяя переменные, находим: dyy = −dz ( y ≠ 0 ).

Отсюда после интегрирования будем иметь

ln | y |= ln C − z , С > 0;

y = Ce−z , C ≠0 .

Заменяя z на xy , получаем общий интеграл

− x

y = Ce y .

При делении на y мы могли потерять решение y =0 . Подстановкой в дифференциальное уравнение убеждаемся, что y =0 является решени-

ем. Из общего интеграла оно может быть получено при С = 0.

Таким образом, все решения дифференциального уравнения определяются равенством:

−

x

y ,

C .

y = Ce

ПРИМЕР 5.3. Найти общее решение уравнения

dx

=

2dy

.

x2 − xy + y2

y2 −4xy

РЕШЕНИЕ. Запишем уравнение в виде

2(x2 − xy + y 2 )

y′ =

y2 −4xy

или

x′ =

.

2(x2 − xy + y2 )

y 2 − 4xy

Функции

f (x, y) =

y2 −4xy

и ϕ (x, y) =

2(x 2 − xy + y 2 )

– однород-

x

2 − xy + y2

y 2 − 4xy

ные нулевого измерения. Следовательно, рассматриваемое уравнение

	однородное, причем здесь замены		x	= z и	y		= z	приведут к уравнениям
			y		x
	одинаковой сложности. Например, будем работать с уравнением
	x′ =	2(x2	− xy + y 2 )				.
		y 2		− 4xy

20