заочникам / диф ур / Lecture_on_DE_(full)

(или вронскианом) функций y1 (x), y2 (x),K, yn (x) . Определитель Врон-

ского играет важную роль при изучении линейной зависимости системы функций. А именно, справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 14.7 (необходимое условие линейной зависимости функ-

ций). Если функции y1, y2 ,K, yn n −1 раз дифференцируемы и линейно зависимы на [a;b], то их определитель Вронского на [a;b] тождест-

венно равен нулю.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть функции y1, y2 ,K, yn n −1 раз дифференцируемы и линейно зависимы на [a;b]. Тогда, по определению, существуют числа α1,α2 ,K,αn , средикоторыххотябыодноотличноотнуля, такие, что

α1 y1 +α2 y2 +K+αn yn = 0 , x [a;b].

Пусть, для определенности, α1 ≠ 0 . Тогда

y

= β

2

y

2

+K+ β

n

y

n

,

где β

i

= −αi .

1

α1

Откуда получаем:

W[ y1, y2 ,K,

β2 y2 +K+

=β2 y′2 +K+

K

β2 y2(n−1) +K+

	y1		y2	K yn
yn ] =	y1′		y2′	K yn′		=
	K	y	K	K K
	y(n−1)		(n−1)	K y(n−1)
	1		2	n
βn yn	y2		y3	K yn
′	′		′	′			≡ 0
βn yn	y2		y3	K yn
	K		K K K
βn yn(n−1) y2(n−1) y3(n−1) K yn(n−1)

(так как первый столбец определителя является линейной комбинацией

остальных столбцов). Теорема 14.7 дает необходимое условие линейной зависимости

системы функций. Достаточным это условие для произвольной системы функций не будет, т. е. если W[ y1, y2 ,K, yn ] ≡ 0 , то система функций

y1 , y2 ,K, yn может оказаться как линейно зависимой, так и линейно независимой. Так, например, легко проверить, что функции

y1	0, x < 0;			и	x2	, x < 0;
	(x) =	2	, x ≥ 0		y2 (x) =		x ≥ 0
	x				0,
являются линейно независимыми, и их вронскиан
	W[ y1, y2 ] = y1 y2′ − y1′y2 ≡ 0 .
Но ситуация меняется, если				y1 , y2 ,K, yn – решения линейного од-

нородного уравнения. Здесь справедлива следующая теорема.

81

ТЕОРЕМА 14.8 (условие линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения). Если n решений y1 , y2 ,K, yn линейного однородного уравнения (14.3) линейно независи-

мы на [a;b], то определитель Вронского W[ y1, y2 ,K, yn ] не может об-

ратиться в нуль ни в одной точке этого промежутка.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим противное. Пусть y1 , y2 ,K, yn линейно независимы на [a;b] и существует x0 [a;b] такое, что

W[ y1, y2 ,K, yn ](x0 ) = 0 .

Обозначим

y1 (x0 ) = y10 ,

y2 (x0 ) = y20 ,

…,

yn (x0 ) = yn0 ;

y1′(x0 ) = y10(1) ,

y2′ (x0 ) = y20(1) ,

…,

y′n (x0 ) = yn(10) ;

…………………………………………………

y(n−1)

(x

) = y(n−1)

,

y(n−1)

(x

) = y

(n−1)

, …,

y(n−1)

(x

) = y

(n−1) .

1

0

10

2

0

20

n

0

n0

Рассмотрим систему линейных однородных уравнений, матрицу которой составляют числа yi0 , yi(0k ) :

C1 y10			+ C2 y20				+ K + Cn yn0			= 0,
	C y	(1)	+ C		y	(1)	+ K +	C y	(1)	= 0,
						20			n0		(14.6)
	1 10			2				n
	K		K	K			K K K	K		K K
C y(n−1)			+ C	y(n−1)			+ K + C y(n−1)			= 0.
	1 10		2		20			n n0

Определитель матрицы M системы (14.6) det M = W[ y1, y2 ,K, yn ](x0 ) = 0 .

Следовательно, система (14.6) имеет ненулевые решения.
Пусть	~	~	~	– одно из ненулевых решений системы (14.6).
	C ,C		,K,C
~	1	~ 2	~ n	~
Функция y	= C1 y1 +C2 y2 +K+Cn yn в силу следствия (14.2) будет яв-
ляться решением уравнения (14.3), причем
		~
		y(x0 ) = 0 (из 1-го уравнения системы (14.6)),
	~′
	y (x0 ) = 0 (из 2-го уравнения системы (14.6)),
		……………………………………………….
	~(n−1)		(x0 ) = 0	(из n -го уравнения системы (14.6)).
	y
Но начальным условиям

y(x0 ) = 0 , y′(x0 ) = 0 , y′′(x0 ) = 0, K, y(n−1) (x0 ) = 0

удовлетворяет и тривиальное решение y(x) ≡ 0 .

Поскольку, по теореме существования и единственности решения, начальные условия для линейного уравнения определяют единственное решение, получаем:

82

~	~	~		~
y = C1 y1		+C2 y2		+K+Cn yn ≡ 0 ,
		~	~	~
причем среди коэффициентов C1			,C2 ,K,Cn есть ненулевые. Но это оз-
начает, что y1 , y2 ,K, yn	линейно зависимы на [a;b], что противоречит
условию теоремы.

Следовательно, предположение было неверным и

W[ y1 , y2 ,K, yn ](x) ≠ 0 , x [a;b].

СЛЕДСТВИЕ 14.9 (теоремы 14.7 и 14.8). Пусть y1 , y2 ,K, yn решения

уравнения (14.3). Тогда их определитель Вронского либо тождественно равен нулю, и это означает, что решения yi линейно зависимы; либо не

обращается в нуль ни в одной точке x [a, b], и это означает, что решения yi линейно независимы.

В свою очередь, следствие 14.9 позволяет доказать утверждение о конечномерности пространства S[a;b] .

ТЕОРЕМА 14.10. Пространство решений S[a;b] линейного однород-

ного уравнения (14.3) конечномерно и его размерность совпадает с порядком дифференциального уравнения, т. е.

dim S[a;b] = n .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Покажем, что для уравнения (14.3) можно найти n линейно независимых решений.

Пусть x0 [a;b] . Возьмем любой определитель порядка n, отличный от нуля. Например,

	1	0	K 0
n =	0	1	K 0	.
	K K K K
	0	0	K 1

По теореме существования и единственности решения имеем:

1)существует единственное решение y1 (x) , определенное в некоторой окрестности точки x0 , удовлетворяющее условию

y1 (x0 ) =1, y1′(x0 ) = 0 , y1′′(x0 ) = 0 , K, y1(n−1) (x0 ) = 0 (где 1, 0,K, 0 – числа из первого столбца определителя n );

2) существует единственное решение y2 (x) , удовлетворяющее условию

y2 (x0 ) = 0,	′	′′	(n−1)	(x0 ) = 0
	y2	(x0 ) =1, y2 (x0 ) = 0	, K, y2

(где 0,1,K, 0 – числа из второго столбца определителя n );

…………………………………………………………………

n ) существует единственное решение yn (x) , удовлетворяющее условию

yn (x0 ) = 0 , yn′ (x0 ) = 0 , yn′′(x0 ) = 0 , K, yn(n−1) (x0 ) =1 (где 0, 0,K,1 – числа из n -го столбца определителя n ).

83

Для найденных таким образом функций y1 , y2 ,K, yn имеем:

W[ y1 , y2 ,K, yn ](x0 ) = n ≠ 0,

и, следовательно, по следствию 14.9, y1 , y2 ,K, yn – линейно независимы.

2) Покажем, что любое решение линейного однородного дифференциального уравнения (14.3) может быть представлено как линейная комбинация n линейно независимых решений.

Пусть y1 , y2 ,K, yn – некоторые линейно независимые решения уравнения(14.3), yˆ(x) – решениеуравнения(14.3), удовлетворяющееусловиям

yˆ(x0 ) = y0 ,

yˆ′(x0 ) = y0(1) ,

yˆ′′(x0 ) = y0(2) ,

K,

yˆ (n−1) (x0 ) = y0(n−1) .

Рассмотрим систему n линейных уравнений вида:

C1 y10

+ C2 y20

+ K + Cn yn0

= y0 ,

C y

(1)

+ C

y

(1)

+ K + C

y

(1)

=

y

(1)

,

2

20

n

n0

0

(14.7)

1

10

K

K

K

K K K

K

K

K

C y(n−1) + C

2

y(n−1)

+ K

+ C

n

y(n−1)

= y(n−1) ,

1 10

20

n0

0

где yi0 = yi (x0 ) ,

yi(0k ) = yi(k ) (x0 ) (i =

, k =

1, n

1, n −1).

Так как

y1 , y2 ,K, yn

– линейно независимые решения уравнения

(14.3), то для матрицы M системы имеем:

det M = W[ y1, y2 ,K, yn ](x0 ) ≠ 0 .

~

~

~

Следовательно, система (14.7) имеет единственное решение C1

,C2

,K,Cn .

Рассмотрим функцию

~

~

~

~

y = C1 y1 +C2 y2

+K+Cn yn . В силу следствия

(14.6) она будет являться решением уравнения (14.3), причем

~

= y0 (из 1-го уравнения системы (14.7)),

y(x0 )

~′

(1)

y (x0 )

= y0 (из 2-го уравнения системы (14.7)),

~(n−1)

……………………………………………….

(x0 )

(n−1)

(из n -го уравнения системы (14.7)).

y

= y0

Но тем же самым начальным условиям удовлетворяет и решение yˆ(x) .

Поскольку, по теореме существования и единственности решения, начальные условия для линейного дифференциального уравнения опре-

деляют единственное решение, получаем:
~ = ~	+	~	+K+	~	= ˆ
y C1 y1		C2 y2		Cn yn	y(x) .

Система n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка (базис пространства

S[a;b]) называется его фундаментальной системой решений.

84

Таким образом, задача интегрирования линейного однородного уравнения n-го порядка сводится к отысканию фундаментальной системы его решений. Но сделать это для произвольного уравнения очень сложно. Фундаментальные системы решений удается найти лишь для некоторых простейших типов линейных однородных уравнений. Одним из таких типов являются линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

14.4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Пусть линейное однородное уравнение имеет вид

	y(n)	+ a1 y(n−1) + a2 y(n−2) +K+ an−1 y′+ an y = 0,	(14.8)
где a1, a2 ,K, an –		некоторые действительные числа. Уравнение (14.8)

называется линейным однородным уравнением n–го порядка с посто-

янными коэффициентами. Класс однородных уравнений с постоянными коэффициентами замечателен тем, что для него нахождение фундаментальной системы решений сводится к решению алгебраического уравнения n-й степени.

Вид уравнения (14.8) наводит на мысль, что решения этого уравнения следует искать прежде всего среди таких функций, производные которых «похожи» на сами функции. Среди элементарных функций таким свойством обладает показательная функция. Поэтому решения уравнения (14.8) будем искать в виде

y = eλx ,

(14.9)

где λ – неизвестная постоянная, которую нужно выбрать так, чтобы функция (14.9) обращала уравнение (14.8) в тождество.

Для функции (14.9) имеем:

y′ = λeλx , y′′ = λ2eλx , y′′′ = λ3eλx , K, y(n) = λneλx .

Подставим y, y′, y′′,K, y(n) в уравнение (14.8) и получим

eλx (λn + a1λn−1 + a2λn−2 +K+ an−1λ + an ) = 0 .

Поскольку eλx ≠ 0 , то решение (14.9) удовлетворяет уравнению, если

λn + a λn−1	+ a	λn−2 +K+ a	λ + a	n	= 0 .	(14.10)
1	2		n−1

Уравнение (14.10) называется характеристическим уравнением для уравнения (14.8), многочлен слева – характеристическим многочле-

ном, корни характеристического уравнения (14.10) – характеристиче-

скими корнями уравнения (14.8).

85

Замечание. Формально характеристическое уравнение получается из уравнения (14.8) заменой производных искомой функции

на соответствующие степени λ , а самой функции – на λ0 =1.

Характеристическое уравнение (14.10) есть алгебраическое уравнение n-й степени. В алгебре доказывается, что такое уравнение имеет n корней, среди которых есть как действительные, так и комплексные числа (каждый корень считается столько раз, какова его кратность). Доказывается также, что комплексные корни такого уравнения попарно

сопряжены. Следовательно, функции вида eλx в общем случае не дадут всю фундаментальную систему решений уравнения (14.8). «Недостающие» решения позволяет найти следующая теорема.

ТЕОРЕМА 14.11. Пусть λ – характеристический корень уравнения

(14.8). Тогда

1)если λ – простой действительный корень уравнения (14.10), то решением уравнения (14.8) является функция eλx ;

2)если λ – действительный корень кратности k уравнения (14.10), то решениями уравнения (14.8) являются функции

					eλx ,		xeλx ,	x2eλx , …	xk −1eλx ;
3)	если λ =α + βi					– простой комплексный корень уравнения (14.10), то
			=α − βi тоже является простым корнем характеристиче-
	число λ
	ского уравнения, а решениями уравнения (14.8) будут функции
							eαx cosβx , eαx sinβx ;
4)	если λ =α + βi					– комплексный корень кратности k уравнения (14.10),
					=α − βi		тоже является корнем характеристического
	то число λ
	уравнения кратности k , а решениями уравнения (14.8) будут функции
	eαx cosβx ,					xeαx cosβx ,		x2eαx cosβx ,	…,	xk −1eαx cosβx .
	eαx sinβx ,					xeαx sinβx ,		x2eαx sinβx ,	…,	xk −1eαx sinβx .

Решения, относящиеся к различным характеристическим корням, линейно независимы и найденные таким образом n решений уравнения (14.8) будут образовывать его фундаментальную систему решений.

Для удобства запоминания этой теоремы и применения ее при интегрировании дифференциальных уравнений, составим таблицу, в которой отражается зависимость частных решений от вида характеристических корней.

86

Таблица 14.1

Вид корня

Решения из фундаментальной системы

λ

y = eλx

кратность 1

λ =α ± βi

y

= eαx cosβx ,

y

2

= eαx sinβx

кратность 1

1

λ

y1

= e

λx

, y2 = xe

λx

, y3

2

e

λx

, … y1 = x

k −1 λx

кратность k

= x

e

y = eαx

cosβx ,

y

2

= eαx sinβx ,

1

λ =α ± βi

y3 = xeαx cosβx ,

y4 = xeαx sinβx ,

кратность k

KKK,

KKK,

y2k −1 = xk −1eαx cosβx ,

y2k

= xk −1eαx sinβx .

Итак, чтобы найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами необходимо:

1)записать его характеристическое уравнение;

2)найти характеристические корни λ1,λ2 , K,λn ;

3)с помощью теоремы 14.11 (таблицы 14.1) найти частные линейно независимые решения y1 (x), y2 (x),K, yn (x) ;

4)записать общее решение y(x) = C1 y1 (x) +C2 y2 (x) +K+Cn yn (x) .

ПРИМЕР 14.1. Найти общее решение уравнения

	y′′′+ 4 y′′− 3y′−18 y = 0 .
РЕШЕНИЕ. Характеристическое уравнение
	λ3 + 4λ2 −3λ −18 = 0
имеет корни	λ1 = 2, λ2,3 = −3.
Им соответствуют решения					= xeλ3x = xe−3x .
y = eλ1x = e2x ,	y	2	= eλ2x = e−3x , y	3
1

Так как это будет фундаментальная система решений, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид

y = C1e2x +C2e−3x +C3 xe−3x .

ПРИМЕР 14.2. Найти общее решение уравнения y′′′−2 y′′+ 4 y′−8 y = 0.

РЕШЕНИЕ. Характеристическое уравнение

λ3 −2λ2 + 4λ −8 = 0

87

имеет корни λ1 = 2, λ2,3 = ±2i .

Тогда частными линейно независимыми решениями будут

y = e2x ,	y	2	= cos 2x, y	3	= sin 2x .
1
	14444244443
			таккак α=0,	β=2

Следовательно, общее решение уравнения будет иметь вид y = C1e2x +C2 cos 2x + C2 sin 2x .

ПРИМЕР 14.3. Найти общее решение уравнения y(5) + 4 y(4) + 8y′′′ + 8y′′ + 4 y′ = 0 .

РЕШЕНИЕ. Характеристическое уравнение

	λ5 + 4λ4 +8λ4 +8λ2 + 4λ = 0
или	λ (λ2 + 2λ + 2)2 = 0 .
Его корни	λ1,2 = λ3,4 = −1±i , λ5 = 0 .

Тогда фундаментальная система решений состоит из функций

y	= e−x cos x ,		y	2	= xe−x cos x ,
1
y	= e−x sin x ,		y	4	= xe−x sin x ,
3
		y5 = e0 x		=1.
Следовательно, общее решение имеет вид
y = e−x (C cos x +C		xcos x +C sin x +C				xsin x)+C .
1	2			3	4	5

14.5. Уравнения Эйлера

Еще одним типом линейных однородных дифференциальных уравнений, для которых можно найти фундаментальную систему решений, являются уравнения Эйлера.

Линейное однородное уравнение вида

a0 xn y(n) + a1xn−1 y(n−1) +K+ an−1xy′+ an y = 0

(14.11)

(где ai ), называется уравнением Эйлера.

Уравнение Эйлера заменой x = et сводится к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами.

Действительно, если x = et , то y(x) = ~y(t) и

dy

~

~

~

−t

yt′

yt′

=

=

= yt′ e

;

dx

xt′

et

d

2

y

=

′ ′

=

~′

e

−t

)

′

=

~′′

−t

~′

e

−t

( yx )t

( yt

yt e

− yt

dx2

xt′

et

et

~′′ ~′	) e	−2t	;
= ( yt − yt

88

d

3

y

=

′′ ′

=

~′′

~′

−2t

)

′

=

~′′′ ~′′

−2t

~′′

~′

) (−2e

−2t

)=

( yx )t

(( yt − yt ) e

( yt

− yt ) e

+( yt − yt

dx3

xt′

et

~

~

et

~

−3t

;

= ( yt′′′−

3yt′′+

2 yt′) e

……………………………………………………

d n y

=ϕ(yt

, yt

,K, yt′) e

.

~(n)

~(n−1)

~

−nt

dxn

Подставим x = et

и найденные выражения для

dy

,

в (14.11) и получим уравнение

dx

~

~

~(n)

~(n−1)

a0 yt

+ b1 yt

+K+ bn−1 yt′ + bn y(t) = 0 .

где a0 ,bi .

d 2 y , … , d n y dx2 dxn

(14.12)

Так как (14.12) – линейное однородное с постоянными коэффициентами, то, согласно теореме 14.11, его фундаментальная система решений может содержать лишь функции вида

eλt , t leλt , eαt cos βt , eαt sin βt , t leαt cos βt , t leαt sin βt .

Значит, фундаментальная система решений уравнения (14.11) будет состоять из функций вида:

eλt = xλ , t leλt = (lnl x) xλ ,
eαt cos βt = xα cos(β ln x) ,	eαt sin βt = xα sin(β ln x) ,
t leαt cos βt = (lnl x) xα cos(β ln x) ,	t leαt sin βt = (lnl x) xα sin(β ln x) .

	Замечание. На практике, при решении уравнения Эйлера, уравне-
	ние (14.12) не записывают. Записывают сразу его характеристическое
	уравнение. Это достаточно легко сделать. Действительно, характери-
	стическое уравнение для (14.12) – это условие для λ , при котором
	~	= e	λt	является решением уравнения (14.12). Но e	λt	= x	λ	.
	функция y
	Следовательно, то же самое условие для λ получим, если потребуем,
	чтобы функция y = xλ являлась решением уравнения (14.11).
	ПРИМЕР 14.4. Найти общее решение уравнения
				x3 y′′′−3x2 y′′+6xy′−6 y = 0 .
РЕШЕНИЕ. Введем новую переменную по формуле
				x = et t = ln x .

В результате получим линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Найдем его характеристическое уравнение. Полагаем y = xλ .

89

Тогда:

y′ = λxλ−1 , y′′ = λ(λ −1)xλ−2 ,					y′′′ = λ(λ −1)(λ −2)xλ−3 .
	′	′′	′′′		в исходное уравнение, получаем:
Подставляя выражения для y, y , y , y
x3 λ(λ −1)(λ −2)xλ−3	−3x2	λ(λ −1)xλ−2				+6xλxλ−1	−6xλ = 0 ,
144424443		14243				123	{
y′′′				y′′		y′	y

xλ[λ(λ −1)(λ −2) −3λ(λ −1) +6λ −6] = 0 ,

λ(λ −1)(λ −2) −3λ(λ −1) +6λ −6 = 0 ,

(λ −1)[λ(λ −2) −3λ +6] = 0 ,

(λ −1)(λ2 −5λ +6) = 0 .

Полученное характеристическое уравнение имеет корни

	λ1 =1, λ2 = 2 , λ3 = 3.
Им соответствуют решения				~			~
~	(t) = e	t	,		2t	,		3t	,
y1				y2 (t) = e			y3 (t) = e
y1 (x) = x ,				y2 (x) = x2 ,			y3 (x) = x3 .

Тогда общее решение уравнения будет иметь вид

y= C1 x +C2 x2 +C3 x3 .

14.6.Линейные однородные уравнения 2-го порядка

спроизвольными коэффициентами

Еще один случай, когда удается найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения – уравнение второго порядка, для которого известно одно из решений.

Действительно, рассмотрим уравнение

y′′+ a1 (x) y′+ a2 (x) y = 0.

(14.13)

Пусть y1(x) любое ненулевое решение уравнения (14.13). Тогда его

общее решение имеет вид

y = C1 y1 +C2 y2 .

				y2
			+C2			= y1 u(x) .
				y
		y = y1 C1
				1

Найдем функцию u(x) . Имеем:

y′ = y1′u + y1u′,	y′′ = y1′′u + 2 y1′u′ + y1u′′.
Подставив эти выражения в уравнение (14.13) получим:
y′′u + 2 y1′u′+ y1u′′+ a1	(x) ( y1′u + y1u′) + a2	(x) y1u = 0 ,
144424443	14243	{
y′′	y′	y

90