заочникам / диф ур / Lecture_on_DE_(full)

Дифференцируя обе части этого равенства по x , получаем:

dt

−2

dt

y′ = dx x +t −t

,

dx

(x −t −2 )= 0 .

t = dt x +t −t −2

dt

или

dt

dx

dx

dx

dt

= 0

или

x −t−2 = 0 .

dx

В первом случае имеем:

dt

= 0 ,

dx

−1

.

y = tx +t

Откуда получаем t = C и общее решение уравнения Клеро (однопараметрическое семейство прямых)

y = x C +C−1 .

Во втором случае

x −t−2 = 0,y = tx +t−1 .

Откуда находим

x = t −2 ,

y = t t −2 +t −1 = 2t −1 .

Избавляясь от параметра t , получаем в итоге решение y2 = 4x .

Таким образом, парабола y2 = 4x есть огибающая семейства прямых y = x C +C−1 (рис. 11.3) и является особым решением заданного уравнения Клеро.

y

x

Рис. 11.3.

61

ГЛАВА II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

§ 12. Основные понятия и определения

Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого. В общем случае такие уравнения имеют вид

′	′′	(n)	) = 0 ,	(12.1)
F(x, y, y , y	,K, y

где n >1.

Замечание. Функция F может не зависеть от некоторых из аргументов x, y, y′, y′′,K, y(n−1) , но обязательно в уравнении (12.1) должна присутствовать производная n -го порядка.

В нашем курсе мы будем рассматривать в основном такие дифференциальные уравнения n -го порядка (n >1) , которые можно записать в виде

y(n) = f (x, y, y′, y′′,K, y(n−1) ) .

(12.2)

Уравнение (12.2) называют уравнением, разрешенным относительно старшей производной.

Также как и дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения высших порядков имеют, вообще говоря, бесчисленное множество решений. Каждое из этих решений изображается на плоскости xOy некоторой кривой (интегральной кривой). Чтобы из этого множества решений выбрать определенное, надо задать n условий, которым должно удовлетворять искомое решение. Обычно, задают значение искомой функции и всех ее производных до порядка n −1 включительно при некотором значении аргумента x = x0 :

y(x0 ) = y0 , y′(x0 ) = y01 , y′′(x0 ) = y02 , K, y(n−1) (x0 ) = y0n−1 . (12.3)

Совокупность этих условий называется начальными условиями для дифференциального уравнения n -го порядка.

Нахождение решения уравнения (12.1) или (12.2), удовлетворяющего заданным начальным условиям (12.3), называется решением задачи Коши для этого уравнения. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши для уравнения, порядка n , разрешенного относительно старшей производной, дает следующая теорема.

62

ТЕОРЕМА 12.1 (Коши). Пусть в уравнении

y	(n)	=	′	′′	(n−1)	)	(12.2)
			f (x, y, y , y	,K, y

функция f (x, y, y′, y′′,K, y(n−1) ) удовлетворяет двум условиям:

1)f (x, y, y′, y′′,K, y(n−1) ) непрерывна как функция (n +1) -ой переменной x, y, y′, y′′,K, y(n−1) в некоторой области D (n +1) -мерного пространства;

2)ее частные производные по переменным y, y′, y′′,K, y(n−1) в облас-

ти D ограничены.

Тогда для любой точки (x0 , y0 , y01, y02 ,K, y0n−1 ) D существует единственное решение y =ϕ(x) уравнения (12.2), определенное в некотором интервале (a,b) , содержащем точку x0 , и удовлетворяющее началь-

ным условиям

y(x0 ) = y0 , y′(x0 ) = y01 , y′′(x0 ) = y02 , K, y(n−1) (x0 ) = y0n−1 .

Замечание. Единственность решения задачи Коши для уравнения n -го порядка (n >1) не означает, что через данную точку (x0 , y0 ) плоскости xOy проходит одна интегральная кривая y =ϕ(x) , как это имело место для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Кривых через эту точку проходит множество, а единственность означает, что они различаются набором значений y′(x0 ) , y′′(x0 ) , …, y(n−1) (x0 ) (т. е. через точку (x0 , y0 ) не проходит двух кривых с одинаковыми значения-

ми y′(x0 ) , y′′(x0 ) ,…,				y(n−1) (x0 ) ). Например, для уравнения второго
порядка	y	′′		′	,
			= f (x, y, y ) с начальными условиями y(x0 ) = y0

y′(x0 ) = y01 , единственность решения означает, что через точку (x0 , y0 ) плоскости xOy проходит возможно бесконечное множест-

во интегральных кривых, но только одна из них имеет в этой точке касательную с угловым коэффициентом y01 .

Из теоремы 12.1 следует, что, закрепляя значение x0 и изменяя в некоторых пределах значения y0 , y01, y02 ,K, y0n−1 (так, чтобы точка

(x0 , y0 , y01, y02 ,K, y0n−1 ) принадлежала области D ), мы будем для каждой системы чисел y0 , y01, y02 ,K, y0n−1 получать свое решение. Это под-

тверждает предположение о бесконечном множестве решений уравнения n -го порядка и говорит о том, что эта совокупность решений зависит от n произвольных постоянных.

63

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция

y =ϕ(x,C1 ,C2 ,K,Cn ) ,

зависящая от x и n произвольных постоянных C1 ,C2 ,K,Cn , называется общим решением дифференциального уравнения

y	(n)	=	′	′′	(n−1)	) ,	(12.2)
			f (x, y, y , y	,K, y

в некоторой области D существования и единственности решения задачи Коши, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1) при любых допустимых значениях постоянных C1 ,C2 ,K,Cn она

удовлетворяет уравнению (12.2); 2) каковы бы ни были начальные условия

y(x0 ) = y0 , y′(x0 ) = y01 , y′′(x0 ) = y02 , K, y(n−1) (x0 ) = y0n−1 , (12.3)

где ( y0 , y01, y02 ,K, y0n−1) D , можно так подобрать значения постоянных

C01 , C02 , …, C0n , что решение y =ϕ(x,C01,C02 ,K,C0n ) будет удовлетворятьзаданнымначальнымусловиям(12.3).

Уравнение Φ(x, y,C1 ,C2 ,K,Cn ) = 0 , задающее общее решение в не-

явном виде, называется общим интегралом уравнения.

С геометрической точки зрения общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения (12.2) представляет собой семейство интегральных кривых, зависящих от n параметров. Решение уравнения, удовлетворяющее условиям (12.3) будет изображаться определенной кривой этого семейства. Начальных условий достаточно для того, чтобы выделить это решение из общего. Соответствующие ему значения постоянных C1,C2 ,K,Cn будут находиться из системы уравнений

y

=ϕ(x

,C ,C

,K,C

n

),

0

′

0

1 2

y

=ϕ

,C ,C

,K,C

),

01

0

1 2

n

KKKKKKKK

(n−1)

y0n−1 =ϕ

(x0 ,C1 ,C2 ,K,Cn ).

Решение (интеграл) дифференциального уравнения (12.2) называется частным, если в каждой его точке сохраняется единственность решения задачи Коши. Любое частное решение (интеграл) получается из общего решения (интеграла) при конкретных значениях постоянных C1 ,C2 ,K,Cn (включая значения Ci = ±∞).

Решение (интеграл) дифференциального уравнения (12.2), в каждой точке которого нарушено условие единственности, называется особым. Очевидно, что особое решение не может быть получено из общего решения. Оно будет среди тех решений, которые «теряются» в процессе преобразований.

64

Задача интегрирования дифференциальных уравнений n -го порядка является более сложной, чем интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка. Одним из основных методов, применяемых при интегрировании дифференциальных уравнений высших порядков, является понижение порядка уравнения. В следующем параграфе мы рассмотрим несколько типов уравнений, которые можно проинтегрировать таким методом.

§13. Понижение порядка уравнения

13.1.Уравнения, содержащие только x и y(n)

Пусть уравнение порядка n содержит только x и y(n) , т. е. имеет вид

	F(x, y(n) ) = 0.	(13.1)
Здесь возможны два случая:
1)	уравнение разрешено относительно y(n) ;
2)	уравнение нельзя разрешить относительно y(n) .
	Рассмотрим первый случай, когда уравнение разрешено относи-

тельно y(n) , т. е. имеет вид

y(n) = f (x) ,

причем f (x) непрерывна на некотором интервале (a,b) .

Общее решение такого уравнения получается в результате n - кратного последовательного интегрирования правой части уравнения. Действительно, так как

	y(n) = (y(n−1) )′ = dy(n−1) = f (x) ,
	dx
то	dy(n−1) = f (x)dx .
Интегрируя обе части, получим уравнение порядка (n −1) :
	y(n−1) = ∫ f (x)dx +C1 .
Так как	y(n−1) = (y(n−2) )′ =	dy(n−2)	,
		dx
то	y(n−2) = ∫(∫f (x)dx + C1 )dx + C2 = ∫dx∫f (x)dx + C1x + C2 .

Продолжая этот процесс, мы будем каждый раз понижать порядок уравнения на единицу, и после n -кратного интегрирования получим

	y = ∫dx∫dxK∫ f (x)dx + C1	xn−1		+ C2	xn−2		+K+ Cn−1x + Cn .
		(n −1)!			(n − 2)!

65

ПРИМЕР 13.1. Найти общее решение уравнения y′′′ = − x12 и част-

ное решение, удовлетворяющее начальным условиям

y(1) = 0,

′

y

′′

y (1) = 0,

(1) = 0 .

РЕШЕНИЕ. Имеем

1

1

1

y′′′ = ( y′′)′ = −

y′′ =

∫

−

dx =

+C1 ;

x

2

x

2

x

1

1

y′′ = ( y′)′

=

x

+ C1

y′ = ∫

+C1 dx = ln

x

+C1 x +C2 .

x

Интегрируя третий раз, получаем общее решение уравнения

y = ∫(ln

+C1 x +C2 )dx = x ln

x2

x

x

− x +C1

+C2 x +C3 .

2

Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее заданным на-

чальным условиям,

надо определить

соответствующие значения

C1,C2 ,C3 . Полагая x =1 имеем:

y = −1 + 0,5C1 + C2 + C3 = 0,

y′ = C1 +C2 = 0,

Откуда находим

y′′ =1 +C1 = 0.

C1 = −1,

C2 =1,

C3 = 0,5 .

Таким образом, искомое частное решение имеет вид y = xln x − 0,5x2 + 0,5 .

Замечание. Если в задаче требуется найти только частное решение дифференциального уравнения, то целесообразно определять значения постоянных в процессе решения, а не после нахождения общего решения. Это ускоряет решение задачи, так как в результате подстановки конкретных значений Ci обычно упрощают-

ся интегралы (см. пример 13.5).

Теперь рассмотрим второй случай, когда уравнение
F(x, y(n) ) = 0	(13.1)

нельзя разрешить относительно y(n) . Если оно допускает параметрическое представление,

x =ϕ(t), y(n) =ψ(t) ,

то его решение можно найти в параметрическом виде.

66

Действительно, из dy(n−1) = y(n) dx получим dy(n−1) =ψ(t) ϕ′(t)dt .

Тогда

y(n−1) = ∫ψ(t) ϕ′(t)dt +C1 =ψ1 (t,C1 ) .

Из dy(n−2) = y(n−1) dx имеем

dy(n−2) =ψ1 (t,C1 ) ϕ′(t)dt ,

y(n−2) = ∫ψ1 (t,C1 ) ϕ′(t)dt +C2 =ψ2 (t,C1 ,C2 ) .

Аналогично найдем выражения для y(n−3) , y(n−4) ,K, y′, y и получим

x =ϕ(t),

y =ψn (t,C1,C2 ,K,Cn ).

Эти уравнения определяют общее решение уравнения (13.1) в параметрическом виде.

ПРИМЕР 13.2. Проинтегрировать уравнение y′′+ e y′′ = x . РЕШЕНИЕ. Данное уравнение не может быть разрешено относительно y′′. Попытаемся найти его решение в параметрическом виде. Полагаем y′′ = t . Тогда

Поэтому

x = t + et ,

dx = (1 + et )dt .

+ e

t

dy

′

′′

= t(1

)dt ,

= y dx

y′ = t2

+

∫

tetdt = t2

+ et (t −1) + C1 .

Тогда

2

2

2

dy =

′

t

t

(t −1) + C

+ e

t

)dt ,

y dx =

+ e

(1

2

1

2

+ et (t −1) + C1 + t

2

et + e2t (t

−1)

+ C1et

dy = t

dt ,

2

2

t

3

t

3

t 2

y =

+

−

e2t +

+C1

−1 et +C1t +C2 .

6

2

4

2

Итак, общее решение уравнения в параметрическом виде

t

,

x = t + e

t 2

t3

t

3 2t

t

y =

e

+C1 −

+

−

6

+

2

1 e +C1t +C2 .

2

4

67

13.2.Уравнения, не содержащие искомой функции

иее производных до порядка (k – 1) включительно

Пусть уравнение имеет вид

F(x, y(k ) , y(k +1) ,K, y(n) ) = 0 , (1 ≤ k < n) ,

т. е. не содержит искомой функции и ее производных до порядка (k −1) включительно. Это уравнение допускает понижение порядка на k единиц заменой y(k ) = p(x) . В результате такой замены получим уравнение

′

(n−k )

) = 0.

F(x, p, p ,K, p

Предположим,

что это

уравнение

интегрируется в

квадратурах

и

p =ϕ(x,C1 ,C2 ,K,Cn−k )

есть

его общее

решение.

Тогда

неизвестную

функцию y

находим

из

уравнения

y(k ) =ϕ(x,C ,C

2

,K,C

n−k

)

k -

кратным интегрированием правой части.

1

ПРИМЕР 13.3. Проинтегрировать уравнение y

′′′

′′

.

x ln x = y

РЕШЕНИЕ. Полагая y′′ = p(x) , имеем y′′′ = p′ и уравнение принимает

вид

p′x ln x = p .

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получим:

dp

=

dx

(где p ≠ 0 ,

x ln x ≠ 0 ),

p

x ln x

ln

p

= ln

ln x

+ ln C1 , C1 > 0

p = C1 ln

x

, C1 ≠ 0 .

Условие x ln x ≠ 0

не

приводит

к потери решения уравнения

′

≠ 0

приводит к потере решения p = 0 . Но оно

p x ln x = p . Условие p

может быть включено в общее решение при C1 = 0 .

Следовательно,

получаем

y′′ = C1 ln

p = C1 ln

x

, C1

или

x

, C1 .

Интегрируя дважды, находим

y′ = C1 ∫ln

x

dx = C1 (xln

x

− x) + C2 , C1,C2 ;

y =C1 ∫(xln

x

− x)dx + C2 x + C3 ,

2 ln

x

1

y =C1 x

−

,C3 .

2

4

+ C2 x + C3 , C1 ,C2

Это и есть общее решение уравнения.

68

13.3. Уравнения, не содержащие независимого переменного
Пусть уравнение имеет вид
F( y, y′, y′′,K, y(n) ) = 0 ,	(13.2)

т. е. не содержит независимого переменного. Порядок такого уравнения можно понизить на единицу заменой p = y′, причем p рассматривается

как новая неизвестная функция, аргументом которой является

y , т. е.

p = p( y) . Тогда

y′′ =

d 2 y

=

d dy

=

dp

=

dp

dy

=

dp

y′

=

dp

p =

p′ p ,

dx2

dx

dy

dx

dy

dy

dx dx

d dp

d

dp

dy

d 2 p

dp 2

2

2

y′′′=

p

=

p

=

2

p+

p = p′′p

+( p′)

p ,

dy

dx

dy

dx dy

dy

dy

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

(n)

dp

d 2 p

d (n−1) p

= ω( p, p

′

′′

(n−1)

y

= ω

p,

,

,K,

) .

dy

dy

2

dy

n−1

Подставляяэтивыраженияв(13.2), получаемуравнение (n −1) -гопорядка. Предположим, что p =ϕ( y,C1 ,C2 ,K,Cn−1 ) является общим реше-

нием получившегося уравнения (n −1) -го порядка. Тогда

y′ =ϕ( y,C1 ,C2 ,K,Cn−1 ) .

Разделим переменные:

		dy				= dx .
	ϕ( y,C	,C	,K,C	n−1	)
1		2

Интегрируя, получаем общий интеграл уравнения (13.2):

		dy	= x + Cn .
	∫ϕ( y, C1 , C2 ,K, Cn−1 )

ПРИМЕР 13.4. Найти общее решение уравнения 2( y′)2 = ( y −1) y′′. РЕШЕНИЕ. Полагаем y′ = p( y) . Тогда y′′ = p′ p и уравнение принимает вид

2 p2	= ( y −1) p p′ или					= 0 ,
		p 2 p −( y −1) dp
				dy
	p = 0 или 2 p −( y −1)		dp	= 0 .
			dy

Из условия p = 0 находим:

p = y′ = 0 y = C .

69

Из условия 2 p −( y −1)

dp

= 0 находим:

dy

2

dy

= dp

(где

p ≠ 0 ,

y −1 ≠ 0 );

y −1

p

2 ln

y −1

= ln

p

−ln C1 , C1 > 0 ;

Условие y −1 ≠ 0

C1 ( y −1)2 = p , C1 ≠ 0 .

не

приводит к

потери решения уравнения

2 p −( y −1)

dp

= 0 . Условие

p ≠ 0

приводит к потере решения p = 0 , но

dy

оно может быть включено в общее решение при C1 = 0 . Следовательно,

получаем

C1 ( y −1)2

= p ,

C1 или

y′ = C1 ( y −1)2 , C1

dy

= C1dx

(где y −1 ≠ 0 ).

( y −1)2

После интегрирования будем иметь

−

1

= C x +C

2

.

( y −1)

1

Откуда находим общее решение

1

y =1−

,

C x +C

2

1

где C1 и C2 – произвольные постоянные (полученные ранее решения y = C получаются по этой формуле при C1 = 0 ; предположение y −1 ≠ 0 не привело к потере решения, т. к. y =1 получается из общего решения при C2 =∞).

ПРИМЕР 13.5. Найти ряющее условиям: y(0) =1, РЕШЕНИЕ. Полагаем y′ = мает вид

Тогда

Интегрируя, находим:

p2 =128 y4 2 4

решение уравнения y′′ =128y3 , удовлетво-

′	= 8 .
y (0)
p( y) . Тогда		y′′ = p′ p	и уравнение прини-
pp′ =128y3 .
pdp =128y3dy .
+C	или	p2 = 64 y4	+C ,
1			1

p = ± 64 y4 +C1 или y′ = ± 64 y4 +C1 .

70