заочникам / диф ур / Lecture_on_DE_(full)

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ.............................................................................................

3

ВВЕДЕНИЕ .....................................................................................................

4

ГЛАВА I.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

ПЕРВОГО

ПОРЯДКА...................................................................................

6

§ 1.

Основные понятия..............................................................................

6

§ 2.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши

для уравнения, разрешенного относительно производной............

7

§ 3.

Уравнения с разделенными переменными.....................................

11

§ 4.

Уравнения с разделяющимися переменными................................

13

§ 5.

Однородные уравнения

....................................................................

17

§ 6.

Уравнения, приводящиеся к однородным.....................................

21

6.1. Уравнения вида y

′

a1x +b1 y + c1

21

= f a

x +b y + c

..................................

2

2

2

6.2. Обобщенно однородные уравнения .......................................

25

§ 7.

Линейные уравнения первого ...........................................порядка

29

7.1

Линейные однородные ..........................................уравнения

29

7.2. Линейные неоднородные ......................................уравнения

30

§ 8.

Уравнения Бернулли ........................................................................

35

§ 9.

Уравнения в полных дифференциалах...........................................

40

§ 10.

Интегрирующий множитель............................................................

45

§ 11.

Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные

относительно производной..............................................................

50

11.1.Уравнения, разрешаемые ..относительно y′ неоднозначно

52

11.2.Неполные уравнения................................................................

52

11.3.Уравнения Лагранжа................................................................

57

11.4.Уравнения Клеро......................................................................

59

ГЛАВА II.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

ВЫСШИХ

ПОРЯДКОВ...............................................................................

62

§ 12.

Основные понятия и определения..................................................

62

§ 13.

Понижение порядка уравнения.......................................................

65

13.1.Уравнения, содержащие ...............................только x и y(n)

65

13.2.Уравнения,

не содержащие искомой функции и ее

производных до порядка .....................(k – 1) включительно

68

13.3.Уравнения, не содержащие ......независимого переменного

69

13.4.Уравнения, однородные относительно неизвестной функции

и ее производных......................................................................

71

13.5.Уравнения,

левая

часть

которых является точной произ-

водной........................................................................................

74

191

§ 14. Линейные	однородные	дифференциальные уравнения		n-го
порядка...............................................................................................				75
14.1.Общие понятия и определения ...............................................				75
14.2.Линейное пространство: основные определения и
утверждения..............................................................................				76
14.3.Интегрирование линейных однородных уравнений n-го
порядка.......................................................................................				79
14.4.Линейные однородные уравнения с постоянными коэффи-
циентами....................................................................................				85
14.5.Уравнения Эйлера....................................................................				88
14.6.Линейные однородные уравнения 2-го порядка с произволь-
ными коэффициентами............................................................				90
§ 15. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка.......................				93
15.1.Метод вариации произвольных постоянных.........................				93
15.2.Линейные неоднородные уравнения n-го порядка с посто-
янными коэффициентами и правой частью специального
вида ............................................................................................				98
§ 16. Понятие краевой задачи.................................................................				106
ГЛАВА II. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ......				118
§ 17. Задачи, приводящие к		понятию систем	дифференциальных
уравнений ........................................................................................				118
§ 18. Нормальные системы		дифференциальных	уравнений. Метод
исключения......................................................................................				121
§ 19. Метод интегрируемых комбинаций .............................................				128
§ 20. Системы линейных диффеернциальных уравнений...................				133
20.1.Интегрирование однородных систем дифференциальных
уравнений................................................................................				135
20.2 Линейные неоднородные системы			дифференциальных
уравнений................................................................................				142
§ 21. Системы	линейных дифференциальных уравнений с постоян-
ными коэффициентами ..................................................................				146
21.1.Собственные значения и собственные векторы..................				146
21.2.Линейные однородные системы дифференциальных уравне-
ний с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера........				150
§ 22. Линейные уравнения с частными производными 1-го порядка...				177
22.1 Понятие уравнения с частными производными и его инте-
грирование...............................................................................				177
22.2 Линейные однородные уравнения с частными производ-
ными первого порядка ...........................................................				181
22.3 Линейные неоднородные уравнения с частными производ-
ными первого порядка ...........................................................				186
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..........................................................................				190
ОГЛАВЛЕНИЕ............................................................................................				191

192

Учебное издание

ИМАС Ольга Николаевна ПАХОМОВА Елена Григорьевна РОЖКОВА Светлана Владимировна УСТИНОВА Ирина Георгиевна

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Учебное пособие

Издано в авторской редакции

Научный редактор доктор физико-математических наук, профессор С.В. Рожкова

Компьютерная верстка О.Н. Имас

Дизайн обложки _______________

Отпечатано в Издательстве ТПУ в полном соответствии с качеством предоставленного оригинал-макета

Подписанокпечати	Формат60х84/16. Бумага«Снегурочка».
Печать XEROX. Усл.печ.л.		. Уч.-изд.л.	.
Заказ	. Тираж 100 экз.

НациональныйисследовательскийТомскийполитехническийуниверситет Система менеджмента качества

Томского политехнического университета сертифицирована

NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту ISO 9001:2008

. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30 Тел./факс: [phone], www.tpu.ru