- •Тема 1: Формулы комбинаторики и вероятность, аксиомы Колмогорова. Алгебра событий. Классическое определение вероятности.
- •Основные понятия.
- •Классическое определение вероятности.
- •Напомним, что числа a и есть количество элементов во множествах a и соответственно.
- •3.Свойства вероятности.
- •4.Относительная частота. Статистическое определение вероятности.
- •5. Формулы комбинаторики.
- •6. Применение формул комбинаторики при решении задач по теории вероятности.
- •7. Общие определения вероятности. Аксиомы а.Н. Колмогорова. Алгебра событий.
- •Аксиомы, задающие вероятность.
- •Тема 2: Условная вероятность. Независимые события. Формула полной вероятности и Байеса.
- •1. Условная вероятность. Независимые события.
- •2. Формула полной вероятности и Байеса.
- •Тема 3: Схема Бернулли. Формулы Муавра-Лапласа. Функция Лапласа и ее свойства.
- •1. Последовательность независимых испытаний.
- •В данном случае ,,. Вычислим;. Поэтому. Так как, то. Следовательно, наиболее вероятное число выпаданий шестерки равно 3.
- •2. Приближенные формулы для Pn(k) при больших значениях n и k.
- •Тема 4: Случайные величины. Непрерывные и дискретные случайные величины. Закон распределения случайных дискретных величин. Бином распределения, распределение Пуассона.
- •1. Определение случайной величины.
- •2. Дискретные случайные величины.
- •3. Характеристики случайных величин.
- •4. Примеры дискретных случайных величин.
- •Тема 6: Функция распределения случайной величины. Нормально распределенные случайные величины.
- •Примеры непрерывных случайных величин. Равномерное распределение на отрезке.
- •Тема 5: Числовые характеристики случайных дискретных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение.
- •1. Математическое ожидание и дисперсия.
- •2. Нормированные случайные величины.
- •1.Определение характеристик случайных величин на основе опытных данных.
6. Применение формул комбинаторики при решении задач по теории вероятности.
Пример 1. В записанном номере телефона оказались стёртыми две последние цифры, но абонент помнит, что они различные. Найти вероятность того, что набирая номер наугад, он попадёт к нужному лицу?
Решение.
Пространством элементарных событий в этой задаче будет множество ={(0,1),(0,2),…,(8,9)} всевозможных упорядоченных пар различных цифр. Число таких пар, очевидно, равно числу размещений без повторений из 10 по 2 , поскольку всего цифр n=10 штук, а k=2. Пусть есть случайное событие, состоящее в том, что абонент набрал нужный номер. Очевидно, что состоит из какой-то одной пары (m,n), где m и n различные цифры, то есть есть элементарное событие. Следовательно =1. А поскольку по условию все исходы равновозможны, то из формулы (3), найдём . (Из 90 равновозможных исходов событию благоприятствует только одно).
Пример 2. Найти вероятность того, что при случайном выборе четырёх букв из слова “история” будут получены буквы, из которых можно составить слово “сито”.
Первое решение.
Общее число равновозможных исходов (то есть различных выборов 4-х букв данного слова) равно числу сочетаний 4 букв из 7 букв, составляющих слово “история”, то есть
.
Так как буквы “с” “т” и “о” в слове “история” могут быть выбраны одним способом, а буква “и” двумя способами, то число благоприятных исходов равно 1112=2. Следовательно, искомая вероятность .
Второе решение.
В этом примере пространство элементарных событий ={(т,я,и,и),(р,о,с,т),…} состоит из всевозможных четвёрок букв из слова “история” и порядок следования букв в четвёрках роли не играет. Поэтому =. Из этих четвёрок только две могут составить слово “сито”, поскольку буква “и” в слове “история” встречается два раза. Пусть есть случайное событие, состоящее в получении слова “сито”. Тогда =2, поскольку ={(с,и,т,о), (с,и,т,о)} (буквы “и” разные).А так как все четвёрки равновероятны, то .
Известно, что теория вероятностей родилась в XVII веке, когда такие учёные, как Б. Паскаль, П. Ферма и Х. Гюйгенс, впервые стали подсчитывать вероятность появления различных комбинаций в азартных играх, таких как игра в кости и в карты. Рассмотрим пример из игры в “покер”.
Пример 3. Игра в “покер”. В колоде 52 карты от 2 до туза, четырёх мастей. Каждому игроку сдаётся 5 карт. Найти вероятность того, что данный игрок получит “три два”, то есть “три дамы и два туза”, или “три семёрки и два короля”, или “три двойки и две девятки” и т. д.
Решение.
Пять карт из 52 можно выбрать способами. Три карты из 4-х одинаковых (4 туза, 4 короля, и т. д.) можно выбратьспособами. Всего имеется 13 четвёрок. Поэтому различные тройки можно выбрать 413 способами. Если тройка выбрана, то осталось 12 четвёрок. В каждой четвёрке две карты можно выбрать способами. Поэтому различные двойки можно выбрать 612 способами. Таким образом, различные комбинации “32” можно получить 413612 различными способами. Поэтому искомая вероятность равна .