7. Общие определения вероятности. Аксиомы а.Н. Колмогорова. Алгебра событий.

В предыдущем параграфе мы рассмотрели классическое определение вероятности для случая, когда пространство элементарных событий конечно. Однако во многих практических ситуациях пространствоявляется бесконечным (даже несчетным ).

Например, пусть опыт состоит в произведении выстрела по круглой мишени . В этом случае пространство элементарных событийбесконечно. Оно совпадает с множеством точек.

Определение вероятности событий в общем случае (для произвольных пространств ) строится аксиоматическим методом.

Система аксиом теории вероятности была построена в веке выдающимся советским математиком, академиком А. Н. Колмогоровым.

В аксиоматике А. Н. Колмогорова случайное событие отождествляется с соответствующим подмножеством пространства элементарных событий. Например, случайное событие, состоящее в том, что «на игральном кубике выпало нечетное число очков» есть подмножествопространства элементарных событий

Такой подход удобен тем, что благодаря ему операциям над случайными событиями, таким как, сумма и произведение, соответствуют операции объединения (или суммы) и пересечения (произведения) множеств.

Пусть задано некоторое множество . Его будем называть пространством элементарных событий, а элементыбудем называть элементарными событиями.

Для любого подмножества будем обозначать через- дополнение множества.

Случайными событиями будем называть систему подмножеств множества, такую что

1. ;

2. Если , то;

3. Если , тои

Напомним, что итакже обозначаются, какисоответственно.

Замечание. Если конечно, то системапредставляет собой все возможные подмножества.

Определим в общем случае понятия совместных, несовместных, достоверных и недостоверных событий.

Определение. Рассмотрим случайные события Они называются несовместными, если

Определение. Пусть . Тогда событияиназывают противоположными. Событиеназывается достоверным, а событие(пустое множество) называется невозможным.

Определение. Система подмножеств со свойствами 1, 2, 3 называется алгеброй событий.

Аксиомы, задающие вероятность.

Пусть есть алгебра событий, определенная в пункте 1.

Определение. Вероятностью называется функция (на ), которая каждому случайному событиюставит в соответствие числои удовлетворяет следующим аксиомам:

Аксиома 1.

Аксиома 2.

Аксиома 3. Если случайные события попарно несовместимы (то естьт. ч.) то

Замечание. Если имеется бесконечное число попарно несовместных событий то в правой части последнего ряда стоит сумма ряда.

Аксиомы 1-3 вместе с понятием алгебры событий являются фундаментом всей теории вероятности. Все утверждения и теоремы выводятся из них логическим путем.

Приведем некоторые из этих утверждений и теорем.

Утверждение 1.

Доказательство.

Так как и событияинесовместимы, то из аксиом 1, 2, 3 следует

Утверждение доказано.

Замечание. При доказательстве утверждения 1 выведена полезная формула

Утверждение 2. (Вероятность суммы событий).

Доказательство.

Заметим сначала, что множества иможно представить в виде суммы непересекающихся множеств:

и

Далее из аксиомы сложения следует, что

и

Если из второго равенства вычесть первое, то получим требуемое равенство. Утверждение доказано.