- •Тема 1: Формулы комбинаторики и вероятность, аксиомы Колмогорова. Алгебра событий. Классическое определение вероятности.
- •Основные понятия.
- •Классическое определение вероятности.
- •Напомним, что числа a и есть количество элементов во множествах a и соответственно.
- •3.Свойства вероятности.
- •4.Относительная частота. Статистическое определение вероятности.
- •5. Формулы комбинаторики.
- •6. Применение формул комбинаторики при решении задач по теории вероятности.
- •7. Общие определения вероятности. Аксиомы а.Н. Колмогорова. Алгебра событий.
- •Аксиомы, задающие вероятность.
- •Тема 2: Условная вероятность. Независимые события. Формула полной вероятности и Байеса.
- •1. Условная вероятность. Независимые события.
- •2. Формула полной вероятности и Байеса.
- •Тема 3: Схема Бернулли. Формулы Муавра-Лапласа. Функция Лапласа и ее свойства.
- •1. Последовательность независимых испытаний.
- •В данном случае ,,. Вычислим;. Поэтому. Так как, то. Следовательно, наиболее вероятное число выпаданий шестерки равно 3.
- •2. Приближенные формулы для Pn(k) при больших значениях n и k.
- •Тема 4: Случайные величины. Непрерывные и дискретные случайные величины. Закон распределения случайных дискретных величин. Бином распределения, распределение Пуассона.
- •1. Определение случайной величины.
- •2. Дискретные случайные величины.
- •3. Характеристики случайных величин.
- •4. Примеры дискретных случайных величин.
- •Тема 6: Функция распределения случайной величины. Нормально распределенные случайные величины.
- •Примеры непрерывных случайных величин. Равномерное распределение на отрезке.
- •Тема 5: Числовые характеристики случайных дискретных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение.
- •1. Математическое ожидание и дисперсия.
- •2. Нормированные случайные величины.
- •1.Определение характеристик случайных величин на основе опытных данных.
3. Характеристики случайных величин.
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X с законом распределения (2) называется величина
M[X] = p1x1 + p2x2 + ... + p3x3 + ... (4)
Замечание. Математическое ожидание представляет взвешенное среднее значение случайной величины с весовыми коэффициентами равными соответствующим вероятностям. Математическое ожидание часто также называют средним значением случайной величины.
В дальнейшем, наряду с обозначением (4), для математического ожидания M[X] будем использовать обозначение .
Заметим, что если X и Y случайные величины, то X 2, Y 2, CX, X + C, X – C ( где ) и X + Y также являются случайными величинами.
Перечислим основные свойства математического ожидания.
10. M[C] = C, где С есть случайная величина, принимающая только постоянное значение С, то есть величина с законом распределения
X |
C |
P |
1 |
20. M[CX] = C M[X] ;
30. M[X + Y] = M[X] + M[Y].
Определение. Дисперсией дискретной случайной величины X с законом распределения (2) называется величина
(5)
Величина называется среднеквадратическим отклонением случайной величиныX.
Заметим, что дисперсия характеризует величину отклонения (рассеивания) случайной величины X от ее среднего значения .
Если рассмотреть случайную величину , то очевидно, что
(7)
Утверждение. Если X дискретная случайная величина, то
(8)
Доказательство.
Из (7) и свойств 10 – 30 следует
Утверждение доказано.
Сформулируем основные свойства дисперсии дискретной случайной величины:
10. D[C] = 0;
20. D[CX] = C2 D[X];
30. D[αX + β] = α2 D[X].
4. Примеры дискретных случайных величин.
Приведем примеры часто встречающихся случайных величин.
1. Равномерно распределенная случайная величина.
Определение. Случайная величина X называется равномерно распределенной, если она принимает конечное число значений с одинаковой вероятностью, то есть закон распределения имеет вид.
X |
x1 |
x2 |
... |
xn |
P |
p |
p |
... |
p |
где pn = 1, то есть .
Задача. Доказать, что .
Пример. Бросается игральный кубик. Случайная величина X равна числу выпавших очков. Закон распределения X имеет вид
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
P |
2. Биномиальное распределение.
Производится n независимых опытов. В каждом из них с одной и той же вероятностью p может наступить некоторое событие A. Случайная величина X равна числу наступлений события A в n опытах. Закон распределения случайной величины X имеет вид
X |
0 |
1 |
2 |
... |
k |
... |
n – 1 |
n |
P |
Pn(0) |
Pn(1) |
Pn(2) |
... |
Pn(k) |
... |
Pn(n – 1) |
Pn(n) |
где по формуле Бернулли
.
Задача. Доказать, что
3. Геометрическое распределение.
Рассмотрим схему Бернулли. Пусть иСлучайная величинаX равна количеству испытаний до первого наступления события .
Очевидно, что X может принимать любое значение Легко видеть, что случайная величинаX примет значение если наступит событиеТак как все испытания независимы, то
Поэтому закон распределения имеет вид
Задача. Доказать, что
Распределение Пуассона.
Определение. Говорят, что дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона, если ее закон распределения имеет вид
Здесь λ > 0.
Задача. Доказать, что