Тема 4: Случайные величины. Непрерывные и дискретные случайные величины. Закон распределения случайных дискретных величин. Бином распределения, распределение Пуассона.

1. Определение случайной величины.

Понятие случайной величины является одним из основных понятий теории вероятностей. Приведем сначала нестрогое определение случайной величины (точнее, не определение, а описание случайной величины).

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта принимает то или иное числовое значение, заранее не известно, какое именно (это зависит от случая).

Случайные величины обычно обозначают заглавными латинскими буквами X, Y, Z и т.д.

Примерами случайных величин являются:

1. количество покупателей в магазине в период времени с 10⁰⁰ до 12⁰⁰;

2. сумма очков, выпавших на двух игральных кубиках;

3. выручка магазина за день.

Сформулируем точное определение случайной величины.

Пусть есть пространство элементарных событий, а– алгебра случайных событий на.

Определение. Случайной величиной X называется действительная функция () на пространстве элементарных событий

,

такая, что при всех.

Принято различать два типа случайных величин. Они называются дискретными и непрерывными случайными величинами.

2. Дискретные случайные величины.

Определение. Случайная величина X называется дискретной, если она принимает конечное или счетное число значений.

Пусть X – дискретная случайная величина, принимающая значения

x₁, x₂, …, x_n, …

В этом списке конечное или счетное число элементов.

Введем случайные события

.

(Из определения случайного события и свойств можно доказать, что).

Обозначим p_n = P(A_n). p_n есть вероятность, с которой случайная величина X принимает значения x₁, x₂, …, x_n, … .

Таким образом, случайная величина X принимает значения x₁, x₂, …, x_n, … с вероятностями p₁, p₂, …, p_n, … .

Легко видеть, что события A₁, A₂, …, A_n, … образуют полную группу событий. Поэтому

p₁ + p₂ + … + p_n +… = 1 (1)

Определение. Таблица.

X	x1	x2	...	xn	...	(2)
P	p1	p2	...	pn	...

называется законом распределения дискретной случайной величины X.

Пример. Монета бросается два раза. Случайная величина X равна количеству появлений герба. Найти закон распределения X.

Решение.

Обозначим через Г и Р «герб» и «решку» соответственно. В этом примере

, где

w₁ = (Р, Р); w₂ = (Р, Г); w₃ = (Г, Р); w₄ = (Г, Г).

Случайная величина X принимает значения

x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 2.

Составим соответствующие случайные события

A₁ = {w₁}, A₂ = {w₂, w₃}, A₃ = {w₄}.

Пользуясь классическим определением вероятности, найдем

, ,.

(Заметим, что эти вероятности можно найти и по формуле Бернулли).

Закон распределения имеет вид

X	0	1	2	(3)
P	0.25	0.5	0.25

Заметим, что равенство (1) здесь принимает вид 0.25 + 0.5 + 0.25 = 1. Равенство (1) можно проверять как контрольную сумму при решении задач такого типа.