- •Пример 5.
- •Решение.
- •1. Статическая сторона задачи.
- •1. Статическая сторона задачи.
- •1. Статическая сторона задачи.
- •2. Геометрическая сторона задачи.
- •4. Определение неизвестных.
- •1.Статическая сторона задачи.
- •2. Геометрическая сторона задачи.
- •1. Статическая сторона задачи.
- •2. Геометрическая сторона задачи.
- •Главная
- •Раздел 11. Усталость материалов и конструкций
- •1. Характеристики сопротивления усталости конструкционных материалов, используемые в расчётах на прочность при многоцикловом нагружении
- •1.1. Циклы напряжений. Характеристики цикла.
- •1.2. Разновидности циклов напряжений
- •1.3. Характеристики сопротивления усталости при регулярном нагружении
- •1.4. Разновидности уравнений кривых усталости
- •1.4.1. Уравнения кривых усталости
- •1.4.2. Схематизированные кривые усталости для сталей
- •2. Расчетные методы оценки характеристик сопротивления усталости материалов и конструкций (детерминированный подход)
- •2.1. Расчет предела выносливости материала при симметричном цикле напряжений
- •2.1.1. Оценка предела выносливости при переменном изгибе
- •2.1.2. Оценка предела выносливости при переменном растяжении-сжатии
- •2.1.3. Оценка предела выносливости при переменном кручении
- •2.2. Расчет характеристик сопротивления усталости конструкционных материалов при асимметричном цикле напряжений
- •2.2.1. Расчет предельной амплитуды цикла по методу м.Н. Степнова
- •2.2.2. Расчет предельной амплитуды цикла по методу р. Хейвуда
- •2.3. Расчетный метод построения кривых усталости при симметричном цикле напряжений
- •2.3.1. Метод м.Н. Степнова - с.П. Евстратовой
- •2.3.2. Построение схематизированных кривых усталости для сталей
- •2.4. Расчетный метод построения кривых усталости при асимметричном цикле напряжений
- •2.4.1. Метод р. Хейвуда
- •2.4.2. Метод Степнова м.Н.
- •2.5. Построение диаграммы предельных амплитуд при отсутствии концентрации напряжений
- •2.5.1. Метод Степнова м.Н.
- •2.5.2. Метод р. Хейвуда
- •2.6. Построение диаграммы пределов выносливости предельных максимальных напряжений цикла
- •Сплошная линия — , штриховая линия — .
- •2.7. Расчетный метод определения коэффициента чувствительности материала к асимметрии цикла напряжений
- •2.7.1. Экспериментальный метод
- •2.7.2. Эмпирический метод
- •2.7.3. Теоретический метод
- •2.8. Расчетный метод оценки эффективного коэффициента концентрации напряжений
- •2.8.1. Метод г. Нейбера
- •2.8.2. Метод р.Петерсона
- •2.8.3. Метод р. Хейвуда
- •2.8.4. Метод Зибеля-Штилера (по гост 25.504-82)
- •2.8.5. Метод в.П. Когаева
- •2.9. Расчетный метод оценки коэффициента влияния абсолютных размеров поперечного сечения при отсутствии концентрации напряжений
- •2.10. Расчетный метод оценки коэффициента, учитывающего совместное влияние концентрации напряжений и абсолютных размеров поперечного сечения
- •2.11. Расчет предела выносливости детали при симметричном цикле нагружения с учетом технологических и конструкционных факторов. Метод в. П. Когаева
- •2.11.1. Коэффициент влияния шероховатости поверхности
- •Рис 2.15. Зависимость коэффициента влияния шероховатости поверхности от предела прочности стали: 1- полирование, 2 - шлифование; 3 - тонкое точение; 4 - грубое точение; 5 - наличие окалины.
- •2.11.2. Коэффициент влияния поверхностного упрочнения
- •2.12. Расчетный метод оценки коэффициента чувствительности к асимметрии цикла напряжений с учетом технологических и конструкционных факторов
- •2.13. Расчетный метод построения диаграммы предельных амплитуд при наличии концентрации напряжений
- •2.13.1. Метод Серенсена с.В., Кинасошвили р.С.
- •2.13.2. Метод Ганна
- •2.13.3. Метод Хейвуда
- •2.13.4. Метод Степнова м.Н.
- •2.14. Расчетный метод оценки коэффициента чувствительности к асимметрии цикла напряжений с учетом их концентрации
- •3. Методы ускоренных и форсированных испытаний на усталость
- •3.1. Ускоренный метод Про для оценки медианы предела выносливости
- •Рис 3.1. Схема испытаний с непрерывно возрастающей амплитудой цикла напряжений.
- •3.2. Ускоренный метод испытания на усталость Эномото
- •3.3. Оценка предела выносливости методом Локати
- •3.4. Оценка параметров уравнения кривой усталости по результатам форсированных испытаний
- •3.5. Оценка параметров уравнения кривой усталости по результатам испытаний с возрастающей амплитудой цикла напряжений
- •4. Оценка характеристик рассеяния усталостных свойств на основании результатов испытаний на усталость форсированным и ускоренным методами
- •4.1. Некоторые эмпирические закономерности рассеяния характеристик усталости
- •4.2. Оценка коэффициента вариации предела выносливости по результатам испытаний на высоких уровнях амплитуды цикла напряжений
- •4.3. Ускоренный метод оценки дисперсии предела выносливости
- •4.4. Построение кривой распределения предела выносливости по результатам испытаний на усталость с возрастающей амплитудой цикла напряжений
2.1.1. Оценка предела выносливости при переменном изгибе
Автором совместно с сотрудниками и студентами кафедры [5,6] на основании большого статистического материала рассмотрена и показана возможность достаточно надежной косвенной оценки предела выносливости при симметричном изгибе образцов из алюминиевых и титановых деформируемых сплавов, углеродистых и легированных сталей на основании значений предела прочности при статическом растяжении; рассмотрена точность подобной оценки и даны рекомендации по определению нижних (гарантированных) значений предела выносливости.
Анализу были подвергнуты 187 вариантов алюминиевых деформируемых сплавов в различном состоянии, 152 варианта титановых сплавов, 317 вариантов углеродистых и 393 варианта легированных сталей в различных состояниях (варианты режимов термической обработки, виды полуфабрикатов и т.д.). Предел прочности алюминиевых сплавов менялся в диапазоне от 100 до 650 МПа, титановых сплавов – от 350 до 1475 МПа, углеродистых сталей от 300 до 1700 МПа, легированных – от 450 до 2150 МПа. Анализу подверглись результаты испытаний, опубликованные в отечественной и зарубежной литературе.
В качестве уравнений линии регрессии рассматривались линейное (2.2) и степенное
, (2.3)
которое путем логарифмирования приводится к линейному
(2.4)
где , , , .
Предел выносливости для алюминиевых и титановых сплавов соответствует базе 107циклов.
Уравнения (2.3) и (2.4) в отличие от линейного уравнения (2.2) удовлетворяют граничным условиям (при ; ).
Коэффициент корреляции r между пределом выносливости при симметричном изгибе и пределом прочности при растяжении в случае линейного соотношения (2.2) для всех рассматриваемых материалов находится в пределах 0.87...0.92 и отличается от выборочного значения корреляционного отношения [4] не более, чем на 2..3 величины среднего квадратического отклонения коэффициента корреляции Sr, что не дает достаточных оснований для отклонения линейного уровня (2.2), хотя оно и не удовлетворяет граничным условиям (при ; ). Значение оценок параметров уравнения (2.2), средней квадратической ошибки предела выносливости и относительной погрешности на разных участках линии регрессии приведены в таблице 2.1. Относительная средняя квадратическая ошибка в средней части линии регрессии определяется величиной ; на границах линии регрессии ошибка находится с учетом её зависимости от уровня прочности материала.
Таблица 2.1 Параметры уравнения (2.2) и значения ошибки оценивания предела выносливости на разных участках линии регрессии
Материал |
Уравнение линии регрессии* |
, МПа |
Относительная средняя квадратическая ошибка оценивания предела выносливости на разных участках линии регрессии. | ||
Начало |
Середина |
Конец | |||
Алюминиевые сплавы |
15 |
0,15 |
0,10 |
0,07 | |
Титановые сплавы |
65 |
0,26 |
0,17 |
0,11 | |
Углеродистые стали |
53 |
0,20 |
0,15 |
0,08 | |
Легированные стали |
53 |
0,18 |
0,11 |
0,07 | |
*Здесь и далее напряжения и имеют размерность МПа. |
Как показывают эксперименты и теоретические расчеты, средняя квадратическая ошибка в определении путем непосредственных испытаний на усталость 8...10 образцов на кривую усталости, как того требует ГОСТ, составляет для алюминиевых сплавов 5...7 %, для сталей 5...10 % и титановых сплавов 7...15%. Поэтому погрешность косвенной оценки предела выносливости материалов средней и высокой прочности (середина и конец линии регрессии), превышающую в 1.5...2 раза ошибку при усталостных испытаниях, следует считать удовлетворительной. Однако, для материалов низкой прочности (начало линии регрессии) это различие достигает 2...3 раз.
При объединении двух классов сталей в единую совокупность (n = 668, = 290...2130 МПа, r = 0.906, =53.8 МПа) уравнение линии регрессии запишется как
, (2.5)
причем, относительная ошибка оценки предела выносливости на всём протяжении линии регрессии возрастает на 1.2%, что позволяет использовать уравнение (2.5) как для углеродистых сталей, так и для легированных.
При использовании в качестве уравнения линии регрессии выражения (2.4) коэффициент корреляции для рассматриваемых материалов увеличивается до 0.91...0.95, причем, расхождение с эмпирическим корреляционным отношением не превышает одной величины Sr, что говорит о практически полной адекватности линии регрессии экспериментальным данным [4].
Статистический анализ показал, что дисперсия экспериментальных значений вокруг линии регрессии (2.4) практически не зависит от уровня .
Эта закономерность равносильна постоянству средней квадратической ошибки оценивания предела выносливости по уравнению (2.3) для материалов малой, средней и высокой прочности.
Объединение углеродистых и легированных сталей в один статистический коллектив и в этом случае привел к увеличению погрешности оценивания предела выносливости лишь на несколько процентов, хотя параметры уравнения (2.4) статистически значимо отличаются друг от друга. Это говорит о высокой чувствительности применяемого метода статистического анализа.
Уравнения (2.3) для указанных материалов с численными значениями параметров и величиной относительной средней квадратической ошибки оценивания предела выносливости при переменном изгибе приведены ниже:
а) алюминиевые сплавы
, (2.6)
б) титановые сплавы
, (2.7)
в) углеродистые стали
, (2.8)
г) легированные стали
, (2.9)
д) объединенная совокупность сталей
, (2.10)
Таким образом, нелинейное уравнение (2.3) имеет следующие преимущества перед линейным уравнением (2.2):
а) выполняются граничные условия;
б) увеличивается коэффициент корреляции r;
в) снижается ошибка оценивания предела выносливости для материалов средней и низкой прочности;
Поэтому для косвенной оценки предела выносливости при переменном изгибе для указанной группы конструкционных материалов следует пользоваться уравнениями (2.6)-(2.10).
Для дальнейшего повышения надежности получаемых косвенным образом характеристик сопротивления усталости целесообразно для практических целей использовать нижнюю (гарантированную) границу предела выносливости, которая определяется из выражения
, (2.11)
здесь - нижняя (гарантированная) граница значения медианы предела выносливости, которая с вероятностью Р не ниже действительного значения медианы предела выносливости для рассматриваемого материала; - оценка медианы предела выносливости по уравнениям (2.6)-(2.10); - относительная средняя квадратическая ошибка оценивания медианы предела выносливости по уравнениям (2.6)-(2.10); zp — квантиль уровня Р нормального распределения (для Р=0.90, 0.95 и 0.99 значения zp = 1.28, 1.64 и 2.33 соответственно [4]).
На рисунке 2.1-2.3 показаны зависимости оценки медианы предела выносливости при переменном изгибе и нижних гарантированных значений для вероятностей 0,90 и 0,99 от значений при статическом растяжении образцов из деформируемых алюминиевых и титановых сплавов, а также из углеродистых и легированных сталей.
Рис.2.1. Зависимость медианы предела выносливости при переменном изгибе на базе 107 циклов от предела прочности при статическом растяжении для деформируемых алюминиевых сплавов: 1- оценка медианы предела выносливости; 2,3- нижняя граница медианы для вероятностей Р=0,9 и 0,99 соответственно.
Рис.2.2. Зависимость медианы предела выносливости при переменном изгибе на базе 107 циклов от предела прочности при статическом растяжении для деформируемых титановых сплавов: 1- оценка медианы предела выносливости; 2- нижняя граница медианы для вероятностей Р=0.90
Рис.2.3. Зависимость медианы предела выносливости при переменном изгибе от предела прочности при статическом растяжении для углеродистых (а) и легированных (б) сталей: 1-3 – то же, что на рис.2.1.
В соответствии с ГОСТ 25.504-82 оценка предела выносливости при переменном изгибе может производиться также по следующим нелинейным зависимостям:
а) стали (углеродистые и легированные)
(2.12)
б) высокопрочный чугун (В. Ч.)
(2.13)
в) ковкий чугун (К. Ч.)
(2.14)
г) серый чугун (С. Ч.)
(2.15)