Учебник Начерт. геометрия новый
.pdf
Следующий способ задания плоскости можно получить, если две точки представить в виде одной прямой (отрезка прямой) (рис. 6.4).
Комплексный чертеж задания плоскости в виде отрезка и точки ( (С, [АВ])) показан на рис. 6.4.
а
б
Рис. 6.4
111
Если через точку С провести прямую, параллельную отрезку [АВ], то тогда ту же плоскость можно определить посредством двух параллельных прямых (рис. 6.5).
На основании свойства 6 п. 2.2.3 (проекции параллельных прямых параллельны) комплексный чертеж плоскости общего положения выглядит как проекции параллельных прямых ( (a ׀׀с)) (рис. 6.5, б).
а
б
Рис. 6.5
112
Наконец, через три точки можно провести две пересекающиеся прямые (рис. 6.6), которые будут являться еще одним способом задания плоскостей. Комплексный чертеж плоскости общего положения, заданной в виде двух пересекающихся прямых ( (a ∩ b)), показан на рис. 6.6, б.
а
б
Рис. 6.6
113
Итак, мы рассмотрели четыре способа задания плоскости общего положения, основанных на проекциях трех точек. Именно эти четыре способа подчеркивают свойство плоскости как поверхности первого порядка, что определяется прямыми линиями. Когда мы задаем плоскость тремя точками, то обязательно должно быть пояснение, что это плоскость. В противном случае через три точки можно провести сколько угодно поверхностей, порядок которых будет выше первого.
Плоскости можно задавать на различных проекциях различными способами, как показано на рис. 6.7, где горизонтальная проекция задана параллельными прямыми 1(с1 ׀׀ а1), фронтальная – треугольником 2(∆А2В2С2) и профильная – отрезком прямой и точкой 3(С3,
[А3В3]).
Однако такого рода сочетание нескольких способов задания плоскостей практически не встречается.
Рис. 6.7
Пример 19
Задание: построить три проекции плоскости общего положения (a ∩ b).
Решение. Построим две проекции плоскостей (рис. 6.8). Так как у этих проекций только точка К будет зависеть от линии связи, то,
114
изобразив горизонтальную и фронтальную проекции этой точки и проведя через них пару прямых, получим чертеж плоскости (a ∩ b).
Далее строим третьи проекции точек А и В, выбрав их таким образом, чтобы у этих точек были одинаковыми координаты y (yA = yB). Далее проводим постоянную прямую k через вершину ломаной линии К3К1 и определяем профильные проекции точек А и В.
Рис. 6.8
6.3.2. Плоскости частного положения
Если плоскость расположена особым образом по отношению к плоскостям проекций (параллельно или перпендикулярно), то такие плоскости называют плоскостями частного положения. По аналогии с прямыми частного положения плоскости частного положения мож-
но классифицировать на проецирующие плоскости и плоскости уровня.
Проецирующие плоскости. Плоскости, перпендикулярные плоскости проекций, называются проецирующими (рис. 6.9). Проекция на плоскость проекций, которой перпендикулярна плоскость, выглядит в виде прямой линии. Графическое обозначение такой проекции – часть линии (след плоскости) обычно обозначается утолщенно (рис. 6.9).
Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проек-
ций, называется горизонтально проецирующей плоскостью.
На рис. 6.9 это τ(∆АВС), основными свойствами которой являются проекция на горизонтальную плоскость в виде прямой линии и возмож-
115
ность по горизонтальной проекции определить (без дополнительных построений) углы наклона к фронтальной и профильной плоскостям проекций β и γ соответственно.
а
б
Рис. 6.9
Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проек-
ций, называется фронтально проецирующей плоскостью. На
116
рис. 6.10, а представлено наглядное изображение плоскости, перпендикулярной к фронтальной плоскости проекций – τ(∆АВС), основные свойства которой таковы: на фронтальную плоскость проекций она проецируется в прямую линию, по фронтальной проекции плоскости можно определить (без дополнительных построений) углы наклона к горизонтальной и профильной плоскостям проекций α и γ. Комплексный чертеж фронтально проецирующей плоскости показан на рис. 6.10, б.
а
б
Рис. 6.10
Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций,
называется профильно проецирующей плоскостью, наглядное изобра-
жение которой представлено на рис. 6.11 – τ(∆АВС).
117
а
б
Рис. 6.11
Как видно из рис. 6.11, а и б (последний является комплексным чертежом профильно проецирующей плоскости) плоскость имеет следующие основные свойства: на профильную плоскость проекций она проецируется в прямую линию (часть которой обычно обозначается утолщенно), по профильной проекции можно определить (без
118
дополнительных построений) углы наклона к фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций α и β.
Плоскости уровня. Плоскость, параллельная плоскости проекций, называется плоскостью уровня. Плоскость проекций, которой параллельна плоскость уровня, дает название последней.
Горизонтальной плоскостью уровня называется плоскость, па-
раллельная горизонтальной плоскости проекции (рис. 6.12).
а
б
Рис. 6.12
На рис. 6.12, а показано наглядное изображение этой плоскости, а комплексный чертеж этой плоскости показан на рис. 6.12, б, она обозначена буквой греческого алфавита Г и задана в виде треугольника АВС. Анализируя рис. 6.12, можно сформулировать данной плоскости: проекция горизонтальной плоскости уровня на фронтальную и профильную плоскости проекций изображается в виде прямой линии,
119
а на горизонтальную плоскость проекций все фигуры, расположенные на горизонтальной плоскости уровня, будут проецироваться без искажения.
Фронтальная плоскость уровня (плоскость, параллельная фрон-
тальной плоскости проекций) показана на рис. 6.13 и обозначена как
Ф(∆АВС).
а
б
Рис. 6.13
Она обладает следующими свойствами: проекция на горизонтальную и профильную плоскости проекций изображается в виде прямой линии, все плоские фигуры, расположенные на фронтальной плоскости уровня, будут проецироваться на фронтальную плоскость проекций без искажения. На рис. 6.13, а показано наглядное изобра-
120