Учебник Начерт. геометрия новый

9. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Поверхности вращения и ограничиваемые ими тела имеют весьма широкое применение во всех областях техники. Многие детали можно рассматривать как самостоятельные поверхности вращения, другие поэлементно получаются обработкой заготовок, вращающихся относительно какой-либо оси (токарная обработка) или при помощи режущего инструмента, основанного на принципе вращения: сверла, фрезы и т. д. Поэтому возникает необходимость изучения способов образования таких поверхностей и их сочетания с другими геометрическими объектами.

9.1. Поверхности вращения общего вида

Поверхность вращения общего вида – это поверхность, образо-

ванная плоской кривой, которая называется образующей (g), при ее вращении вокруг неподвижной оси (i), (рис. 9.1).

Рис. 9.1

191

Каждая точка образующей (А, В, С, D, Е) при вращении вокруг оси i описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называют параллелями, а наибольшую и наименьшую параллель – соответственно экватором и горлом (шейкой).

Плоскости α, проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными, а линии, по которым они пересекают по-

верхность, – меридианами.

Меридиональную плоскость α1, параллельную плоскости проек-

ции, принято называть главной меридиональной плоскостью, а линию ее пересечения с поверхностью вращения – главным меридианом.

Задание поверхности вращения на комплексном чертеже проекциями геометрических фигур, входящих в состав его определителя, хотя и однозначно определяет поверхность, но обладает одним недостатком: при таком задании трудно представить форму поверхности. Поэтому при задании поверхности вращения обычно указывают проекции ее оси, главного меридиана и экватора (иногда окружность, по которой поверхность вращения пересекается с плоскостью проекций). При этом указывают только горизонтальную проекцию экватора (или параллели) и фронтальную проекцию главного меридиана.

9.2. Частные виды поверхностей вращения

В технике, в частности в машиностроении, поверхности вращения находят широкое применение. Это объясняется распространенностью вращательного движения и простотой обработки поверхностей вращения на станках. Особенно часто встречаются поверхности, которые имеют в меридиональном сечении кривую второго порядка или две прямые.

Рассмотрим некоторые частные виды поверхностей вращения. Конической поверхностью называется всякая поверхность, по-

рождаемая движением прямой линии (образующей), которая проходит через неподвижную точку – вершину поверхности S (рис. 9.2). Приведем уравнение поверхности:

.

Коническую поверхность можно получить и другим образом, если принять за образующую поверхности конуса окружность, радиус

192

которой пропорционально изменяется с перемещением ее центра вдоль оси вращения. Это говорит о том, что одну и ту же поверхность можно задавать различными способами.

Обычно для решения задач достаточно одной нижней или верхней части конической поверхности. При ее пересечении плоскостью получаем геометрическую поверхность, которую называют конусом вращения (рис. 9.3). Часть плоскости, ограниченная конической поверхностью, называется основанием конуса.

Рис. 9.2

Рис. 9.3

193

Цилиндр вращения получается при пересечении двумя плоскостями поверхности, образующей которой является прямая линия, параллельная оси вращения (рис. 9.4, а). Приведем уравнение поверхно-

сти цилиндра:

x2 + y2 = r2.

а

б

Рис. 9.4

194

Так же, как и коническую поверхность, цилиндрическую можно получить и другим способом, если принять за образующую поверхности окружность, радиус которой не изменяется с перемещением ее центра вдоль оси вращения.

На рис. 9.4, б показан комплексный чертеж цилиндра вращения. Поскольку для деталей требуются тела конечной длины, то на чертеже показаны верхнее и нижнее основания.

Возьмем в качестве образующей окружность. В зависимости от взаимного расположения окружности (или ее дуги) и оси вращения можно получить различные поверхности.

Тором называется поверхность, которая может быть получена при вращении окружности g вокруг оси i, лежащей в плоскости этой окружности.

В зависимости от соотношения радиуса R образующей окружности и расстояния t от центра окружности до оси вращения, разновидности поверхности тора имеют следующие варианты:

открытый тор (или кольцо) – окружность не пересекает ось вращения (рис. 9.5):

(x2 + y2 +z2 + t2 – R2)2 = 4 t2 (x2 + y2), где t > R.

Рис. 9.5

Комплексный чертеж открытого тора представлен на рис. 9.6.

195

Рис. 9.6

Закрытый тор, образующая окружность которого пересекает ось вращения (самопересекающийся тор) или касается ее (рис. 9.7). Уравнение закрытого тора

(x2 + y2 +z2 + t2 – R2)2 = 4 t2 (x2 + y2), где t < R.

Рис. 9.7

196

Комплексный чертеж закрытого тора представлен на рис. 9.8.

Рис. 9.8

Сфера – поверхность, полученная вращением окружности g вокруг оси, принадлежащей оси образующей, т. е. сферу можно рассматривать как частный случай тора, у которого t = 0 (рис. 9.9). Урав-

нение сферы:

x2 + y2 +z2 = R2.

Рис. 9.9

197

Комплексный чертеж сферы показан на рис. 9.10.

Рис. 9.10

Гиперболоид вращения – поверхность, образующая прямая которой g не пересекает ось вращения (рис. 9.11). Уравнение поверхности:

b (x2 + y2) – a2 z2 = a2 b2

Рис. 9.11

198

Комплексный чертеж однополостного гиперболоида представ-

лен на рис. 9.12.

Рис. 9.12

Кроме того, гиперболоид можно получить при вращении вокруг оси гиперболы. Приведем уравнение однополостного гиперболоида

(рис. 9.13):

,

где а и b – действительные полуоси, а с – мнимая полуось.

199

Рис. 9.13

Комплексный чертеж однополостного гиперболоида представлен на рис. 9.14.

Рис. 9.14

Двухполостный гиперболоид (рис. 9.15) задается уравнением

,

где a и b – мнимые полуоси, а c – действительная полуось.

200