Учебник Начерт. геометрия новый

можно применять, когда оси вращения поверхностей пересекаются (способ концентрических сфер) или когда пересекающиеся поверхности имеют общую плоскость симметрии (способ эксцентрических сфер).

10.2.1. Способ концентрических сфер

При совпадении осей вращения двух поверхностей результатом их пересечения будет окружность, так как все точки обеих поверхностей вращаются вокруг одной и той же оси.

Способ концентрических сфер применяют в случае пересекающихся осей вращения поверхностей. Тогда, помещая центр сферыпосредника в точку пересечения осей, получаем на каждой из поверхностей линию пересечения со сферой как плоскую фигуру (окружность), поскольку сфера имеет бесконечное количество осей вращения, проходящих через ее центр.

На рис. 10.5 показано пересечение конуса и цилиндра, оси вращения которых пересекаются.

Рис. 10.5

Линию пересечения обоих тел определяем способом концентрических сфер, в основе которого лежит простота построения линии пе-

231

ресечения сферы с обоими телами. Сферу располагаем таким образом, чтобы при пересечении с конусом она образовывала линию – окружность. Это возможно, если центр сферы расположим на оси вращения конуса. Тогда оси вращения конуса и сферы совпадут (у сферы бесчисленное количество осей вращения, пересекающихся в центре). Точно такое же условие должно быть удовлетворено и для второй поверхности (в данном случае для цилиндра).

Следовательно, центр сферы-посредника должен лежать одновременно на осях вращения обоих тел. Этому условию удовлетворяет точка пересечения осей вращения заданных пересекающихся тел.

На рис. 10.6 построена сфера, центр которой располагается в точке пересечения осей вращения конуса и цилиндра. Для большей наглядности предложены два варианта: рис. 10.6, а – поверхности прозрачные; рис. 10.6, б – поверхности непрозрачные.

На рис. 10.7 показано определение линии пересечение цилиндра

иконуса для фронтальной проекции, которая распадается на две кривые – АВ и DС. Центр сфер-посредников – точка пересечения осей конуса и цилиндра – точка О.

Определим точки верхней кривой (рис. 10.7): точки А и В находим на пересечении главных меридианов (образующих) конуса и цилиндра. Точка А – наивысшая. Впишем в цилиндр сферу, касательную к его поверхности. На этой сфере находится низшая точка верхней линии пересечения и высшая точка на нижней линии пересечения. Пересечение указанной сферы конуса будет по окружностям 1-2 – сверху и 3-4 на нижней части конуса. Эта же сфера коснется цилиндра по точкам 5-6. Пересечение проекций окружностей сферы и цилиндра дают фронтальные проекции точек E и G. Радиус следующей сферы выбран произвольно для нахождения проекций промежуточных точек. Сфера пересечет конус по окружностям 7-8 и 9-10, а цилиндр – 11-12 и 13-14. Это позволит определить проекции точек F, М

иН.

При решения задачи сфера максимального радиуса касается основания конуса. С ее помощью которой определяем фронтальную проекцию точки N. Точка D является самой низшей и находится на продолжении образующих цилиндра и конуса.

Соединяя плавными лекальными кривыми низшие и высшие проекции полученных точек, показываем фронтальные проекции верхней и нижней линии пересечения.

232

а

б

Рис. 10.6

233

Рис. 10.7

На рис. 10.8 показано определение горизонтальных проекций линий пересечения. Эти проекции покажем на поверхности конуса. Причем верхнюю линию определяем при помощи меридианов, а нижнюю линию пересечения на горизонтальной плоскости проекций – при помощи параллелей.

234

Рис. 10.8

Пример 36

Задание: построить линию пересечения конусов (рис. 10.9). Решение. Для определения фронтальной проекции (рис. 10.10)

линии пересечения примем в качестве поверхностей-посредников сферы, центры которых находятся в точке пересечения осей вращения обоих конусов. Показываем опорные точки 1 и 2 – верхнюю и нижнюю (рис. 10.10). Проведем сферу-посредник I. Проекции линий пересечения со сферой I конусов А – (b2) и В – (а2) пересекутся в точке 42, которая будет принадлежать фронтальной проекции линии пересечения конусов. Горизонтальную проекцию этой точки определим по линии связи на горизонтальной проекции линии а1. Аналогичные по-

235

строения для сферы II позволят найти точку 3, принадлежащую линии пересечения конусов.

Рис. 10.9

Рис. 10.10

236

Увеличение количества сфер-посредников позволит более точно построить линии пересечения. Точки 4 и 5 будут точками перехода от видимой части горизонтальной проекции линии пересечения к невидимой, так как принадлежат самой близкой и самой дальней образующим конуса А.

Горизонтальную проекцию линии пересечения можно определить либо по горизонтальным проекциям параллелей соответствующих точек, либо по проекциям меридианов конуса В.

10.2.2. Способ эксцентрических сфер

Как было сказано выше, способ эксцентрических сфер может быть использован для построения линии пересечения двух поверхностей, имеющих общую плоскость симметрии. Сущность способа можно пояснить на следующем примере: построим линию пересечения четверти тора (кольца) с усеченным конусом (рис. 10.11).

Рис. 10.11

Следует напомнить, что образующая тора вращается вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, т. е. любая плоскость, проведенная через ось вращения, будет пересекать тор по окружности (рис. 10.12). Для определения промежуточных точек проводим сферу с центром, расположенным в точке пересечения двух линий:

237

одна – перпендикулярная плоскости окружности, которая расположена на дополнительной плоскости , пересекающей тор (рис. 10.13, а), и проходит через ее центр;

вторая – ось конуса.

Дополнительная сфера-посредник пересечет тор по двум линиям. Интересующая нас линия показана на рис. 10.13, а. Эта же сфера пересечет конус по двум окружностям, так как она расположена на оси конуса. Пересечение последних с линией окружности тора даст нам положение четырех промежуточных точек (А, В и две невидимые, расположенные симметрично плоскости симметрии, проведенной через прямые, определяющие положение центра сферы) (рис. 10.13, б).

Рис. 10.12

Решение задачи, выполненное на комплексном чертеже (рис. 10.14). Показываем фронтальные проекции опорных точек А и В как высшую и низшую линии пересечения соответственно. Промежуточные точки определяем при помощи сфер-посредников, центр которых будет находиться на пересечении оси вращения конуса и перпендикуляра, восстановленного к центру окружности, полученной в результате пересечения вспомогательной фронтально проецирующей плоскости, проведенной через ось вращения тора.

238

а

б

Рис. 10.13

239

Рис. 10.14

Определяем центр сферы-посредника . Через фронтальную проекцию оси вращения тора О2 проводим фронтально проецирующую плоскость , которая пересечет тор по окружности 1–2. Перпен-

240