Практическое занятие по теме № 7 «Выборочное наблюдение. Испытание статистических гипотез»

Цель занятия: Сформировать знания о выборочном наблюдении и испытании статистических гипотез.

Методические указания к проведению занятия

Вопросы для обсуждения:

1. Причины применения выборочного наблюдения.

2. Дискриптивная статистика и статистический вывод.

3. Ошибка выборки.Задачи, решаемые при применении выборочного метода.

4. Распространение данных выборочного наблюдения на генеральную совокупность. Малая выборка.

5. Общие понятиястатистической проверки гипотез.

6. Проверка гипотезы о законе распределения.

7. Проверка гипотезы о связи на основе критерия хи-квадрат.

8. Основы дисперсионного анализа.

Порядок проведения занятия.

Проводится интерактивное занятие по типу тренинга, в котором основное внимание уделяется практической отработке изучаемого материала:

1. Преподаватель сообщает тему занятия, формулирует цель.

2. С помощь моделирования специально составленных заданий, представленных ниже, развить и закрепить необходимые знания и навыки по изучаемой теме, осознать свое отношение к собственному опыту и применяемым в работе подходам.

3. Подводятся итоги занятия.

Контрольные вопросы и задания:

Задание 1. Что произойдет с величиной предельной ошибки выборки,

если вероятность, гарантирующую результат:

а) увеличить с 0,954 до 0,997;

б) уменьшить с 0,954 до 0,683;

в) увеличить с 0,683 до 0,954;

г) уменьшить с 0,997 до 0,954;

д) увеличить с 0,683 до 0,997?

Задание 2. По данным сплошного наблюдения за поварами на заготовочном предприятии общественного питания средние затраты времени на изготовление однотипных изделий оказались равным 26 мин.

Повторным выборочным обследованием установлено, что у 10% поваров средние затраты времени составляют 27 мин., в то время как по данным сплошного наблюдения они равны у отобранных поваров 25 мин. Определите фактические средние затраты времени на изготовление изделий с учетом результатов повторного выборочного обследования.

Задание 3. В каком соотношении находятся при прочих равных условиях

ошибки собственно-случайной бесповторной и повторной выборок при 1%-ном, 5%-ном, 10%-ном и 20%-ном отборе?

Задание 4. Определите, в каких случаях предельная ошибка доли признака в генеральной совокупности будет больше (при прочих равных условиях):

а) при отборе 50 единиц или 50 серий?

б) при отборе 100 единиц или 25 серий, если общая дисперсия в 3,5 раза больше межгрупповой?

Задание 5. При контроле качества выпускаемой продукции (приемочный контроль) на заготовочном предприятии общественного питания из партии готовой продукции методом случайного бесповторного отбора было проверено 70 изделий, из которых 4 оказались некачественными. Можно ли с вероятностью 0,954 утверждать, что доля некачественных изделий во всей партии не превышает 7%, если процент отбора равен 10?

2. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕСИВНЫЙ АНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ

Часто при проведении научных исследований нас интересует связь между двумя метрическими переменными, как, например, между содержанием сухих веществ и сахаров, вязкостью фарша и содержанием жира и т.д. В таких ситуациях наиболее широко используется коэффициент парной корреляции (product moment correlation r), который характеризует степень тесноты связи между двумя метрическими переменными Х и Y. Этот коэффициент используют, чтобы определить, существует ли между переменными линейная зависимость. Он показывает степень, в которой вариация одной переменной X связана с вариацией другой переменной Y, т.е. меру зависимости между переменными Х и Y.

Корреляционно-регрессионный анализ позволяет количественно измерить тесноту (связь отсутствует, слабая, умеренная, сильная), направление связи (связь прямая или обратная), а также установить аналитическое выражение зависимости результата от конкретных факторов при постоянстве остальных действующих на результативный признак факторных признаков (регрессионный анализ).

Выборочное уравнение линейной регрессии рассчитывается по формуле:

, (11)

где - выборочное среднее признакаX, (12)

- постоянные коэффициенты уравнения, которые рассчитываются по формулам:

- выборочное среднее признака Y, (13)

(14)

-выборочное стандартное отклонение признака X (15)

- выборочное стандартное отклонение признака Y (16)

- выборочный коэффициент линейной корреляции (17)

Для оценки тесноты связи между признаками X и Y пользуются выборочным коэффициентом линейной корреляции , который обладает следующими свойствами:

• ;

• если , то корреляция междуX и Y является положительной, то есть с ростом величины x из X значение признака Y «в среднем» возрастает;

• если , то корреляция междуX и Y является отрицательной, то есть с ростом величины x из X значение признака Y «в среднем» убывает;

• чем ближе к 1 или -1, тем сильнее корреляция, то есть зависимость междуX и Y близка к линейной. Если в точности равно 1 или -1, то имеет место линейная зависимость между признакамиX и Y.

В качестве примера корреляционно-регрессионного анализа рассмотрим влияние содержания сухих веществ в студнях на основе пюре из ягод смородины на его прочность.

Таблица 7 - Прочность студней на основе пюре из ягод смородины при различном содержании сухих веществ

Содержание сухих веществ в студне, %	64,0	65,0	66,0	67,0	68,0	69,0	70,0	71,0	72,0
Прочность студня, кг	0,240	0,269	0,310	0,352	0,391	0,397	0,459	0,477	0,538

Из представленных данных следует, что прочность студня возрастает с увеличением содержания в нем сухих веществ, что объясняется понижением степени гидратации молекул пектина и, следовательно, улучшением студнеобразования.

Проведем статистическую обработку полученных данных. Для этого построим диаграмму рассеяния, рис. 8.

Для определения выборочного коэффициента корреляции r_xy, составим расчетную таблицу 8 и найдем суммы по всем ее столбцам.

Таблица 8 - Расчетная таблица

Х	Y	Х^2	Y^2	ХY
1	2	3	4	5
64,0	0,240	4096	0,056	15,17
65,0	0,269	4225	0,072	17,49
66,0	0,310	4356	0,100	20,46

Окончание таблицы 8

1	2	3	4	5
67,0	0,352	4489	0,123	21,78
68,0	0,391	4624	0,159	26,59
69,0	0,397	4761	0,158	28,98
70,0	0,459	4900	0,211	32,13
71,0	0,477	5041	0,228	33,87
72,0	0,538	5184	0,289	38,74
Итого:612,0	3,426	41676	1,397	235,21

Рис. 8. Диаграмма рассеяния

Используя полученные результаты, вычислим выборочные средние и выборочные стандартные отклонения признаков Х и Y:

=612,0/9=68,0 (%)

=3,426/9=0,381 (кг)

=(%)

=(кг)

Вычислим выборочный коэффициент корреляции:

Выборочный коэффициент корреляции положителен по знаку и близок к единице. Следовательно, между признаками Х и Y тесная положительно ориентированная связь.

Для уравнения линейной регрессии вычислили параметры , b₀, b₁:

= 68,0

b₀ =0,381

= = 0,033

Найдем выборочное уравнение регрессии:

y_х =0,381+0,033(х-68,0)

y_х =0,033х-1,863

Вычислим y_х при х=67,5. Получим y_х =0,365.

Следовательно, ожидаемое среднее значение студнеобразующей способности пюре из ягод смородины при содержании сухих веществ 67,5% близко к 0,365 кг.

Далее построим прямую линию регрессии на том же рисунке 1, где изображена диаграмма рассеяния. Найдем координаты двух точек прямой регрессии, подставив х₁=67,5 и х₂=70,5 в полученное уравнение регрессии. Получим y₁=0,365 и y₂=0,464.

Анализ полученных данных подтвердил, что между содержанием сухих веществ Х (%) и студнеобразующей способностью пюре Y (%) из ягод смородины для полученных данных наблюдается положительная линейная корреляция. Теснота между признаками высокая r_xy=0,85.