umk_econom_yprav_predp_rinok_zennih_bumag / Учебные пособия / УП Рынок ценных бумаг - 2009

41

3. ДЕРИВАТИВЫ

Деривативы – это производные ценные бумаги, выражающие имущественные права (обязательства), возникающие в связи с изменением цены, лежащей в основе данной ценной бумаги биржевого актива. Существуют следующие типы производных финансовых инструментов:

1)форвардные контракты;

2)биржевые опционы;

3)фьючерсные контракты;

4)свопы.

Биржевой опцион – это стандартный биржевой договор на право купить или продать биржевой актив или фьючерсный контракт по цене исполнения до (или на) установленной(ую) даты(у) с уплатой за это право определенной суммы денег, называемой премией. Опционы бывают на покупку (КОЛЛ) или на продажу (ПУТ).

Текущая цена опциона «КОЛЛ» рассчитывается по специальной формуле. Получившая название в честь своих авторов, формула Блэка– Шоулза имеет следующий вид:

V	= N(d ) × P −		E	× N(d		) ,
					2
с	1	a	eRt

d1 = 1n (Pa /E) + (R + 0,5σ2 )× T , G T

d2 = 1n (Pa /E) + (R + 0,5σ2 )× T = d1 − σT , G T

(47)

(48)

(49)

где Vс – текущая цена опциона «КОЛЛ»; Ра – текущая рыночная цена базисного актива; Е – цена исполнения опциона; R – непрерывно начисляемая ставка без риска в расчете на год; Т – время до истечения, представленное в долях в расчете на год; n – натуральный логарифм частного отделения текущей цены актива на цену исполнения опциона; σ – риск базисной обыкновенной акции, измеренный стандартным отклонением доходности акции, представленной как непрерывно начисляемый процент в расчет на год; Е/еRt – дисконтированная стоимость цены исполнения на базе непрерывно начисляемого процента; N(d1) и N(d2) – вероятности того, что при нормальном распределении со средней величиной, равной 0, и стандартным отклонением, равным 1, результат будет соответственно меньше d1 и d2.

42

В качестве примера рассмотрим опцион «КОЛЛ», который истекает через три месяца (Т=0,25) и имеет цену исполнения 40 долл. (Е=40 долл.), текущая цена 36 долл. (Ра=36 долл.), риск базисной обыкновенной акции 50 % (σ=0,5), а ставка без риска равна 5 % (R=0,05).

С помощью уравнений (48), (49) получим следующие значения d1

и d2:

d1 = 1n (36/40) + (0,05 + 0,5(0,52 ) × 0,25 = −0,25 , 0,50,25

d2 = −0,25 − 0,50,25 = −0,50.

По специальной таблице находим величины N(d1) и N(d2):

N(d1) = N(-0,25)=0,4 013.

N(d2)= N(-0,50)=0,3 085.

Используя уравнение (47), получим действительную стоимость опциона «КОЛЛ»:

Vс	= (0,4013 × 36дол ) − (		40 дол	) = 14,45		− 12,19дол.	= 2,26дол .
		e0,05	×0,25 × 0,3085		дол.

Стоимость опциона непосредственно связана со стоимостью базисного актива.

Внутренняя стоимость = рыночная цена актива - цена исполнения	(50)
Временнаястоимость = премия по опционувнутренняястоимость	(51)

Временная стоимость опциона при одном и том же сроке исполнения может существенно отличаться: по мере завершения опциона уменьшается, в начальный момент времени может быть максимальной. Для покупателя опциона, занявшего длинную позицию, каждый день действия опциона сокращает возможность с выгодой для себя его реализовать. Продавцу же ситуация удешевления опциона поможет выгодно его выкупить. Разница между ценой продажи и покупки является прибылью продавца.

Пример. Текущий курс акции равен 10 долл. Цена исполнения 9,8 долл. Премия за опцион «КОЛЛ» была уплачена 0,5 долл. за акцию.

Внутренняя стоимость одной акции по формуле (50) составит: 10 долл. – 9,8 долл. = 0,2 долл.

43

Тогда временная стоимость согласно формуле (51) будет равна 0,5 долл. – 0,2 долл. = 0,3 долл.

Премия опциона КОЛЛ тем выше, чем больше цена спот базисного актива, время до истечения контакта, ставка без риска и чем меньше цена исполнения.

Премия опциона ПУТ тем выше, чем больше цена исполнения, время до истечения контракта и чем меньше цена спот и ставка без риска.

Ряд операций с производными осуществляют с целью хеджирова-

ния.

Для хеджирования своей позиции с помощью опционных контрактов, вкладчик должен определить требуемое число контрактов. Оно рассчитывается по следующей формуле:

Число опционных = Число единиц хеджируемого / Число единиц

		в опционном
контрактов	актива	контракте

Пример. Инвестор имеет 5 000 акций. Лот биржевого опциона составляет 100 акций.

Тогда число опционных контактов = 5 000 / 100 = 50 шт.

В ряде случаев возникает необходимость хеджировать опционную позицию.

Это можно сделать с помощью показателя дельта.

Дельта – это отношение изменения цены опциона к изменению цены базисного актива.

Дельта показывает, в какой мере изменится цена опциона при изменении цены. Значение дельты говорит о числе единиц актива, которые инвестор должен купить или продать на каждую позицию по опционному контракту. На каждый выписанный опцион КОЛЛ вкладчик должен купить количество базисного актива, равное значению дельта опциона. На каждый купленный опцион КОЛЛ ему следует продать данное количество единиц актива. Покупая опцион ПУТ, инвестор должен купить соответствующее число единиц актива, а продавая опцион ПУТ, – продать данное количество единиц актива.

Пример. Инвестор продал 500 опционов на 500 акций. Дельта опциона равна 0,4. Для хеджирования опционной позиции ему следует купить:

0,4 × 500 акций = 200 акций.

44

Пусть цена акций упала на 1 руб., тогда по акциям вкладчик теряет 200 руб. При этом также падает цена опциона на 0,4 руб. и соответственно стоимость опционной позиции уменьшается на:

0,4 × 5000 опционов = 200 руб.

Проигрыш по акциям компенсируется выигрышем по опционам, так как при закрытии опционной позиции контракты будут выкупаться на 200 руб. дешевле по сравнению с ценой продажи.

Осуществление хеджевых операций при определенном направлении движения цены со стороны инвестора представлено в табл. 3.1.

			Таблица 3.1
Действия инвестора при хеджировании
Хеджирование позиции	Опцион КОЛЛ		Опцион ПУТ
Понижение цены актива	продать		купить
Повышение цены актива	купить		продать

Фьючерсный контракт – это стандартный биржевой договор ку- пли-продажи биржевого актива в определенный момент времени в будущем по цене, установленной сделкой в момент ее заключения.

Математический расчет стоимости фьючерсного контракта зависит от того, какие факторы учитываются. Например, учет постоянных факторов может быть осуществлен по формуле

	Са = Ца + Ца × П ×	Д	,	(52)
	360
где	Са – стоимость фьючерсного контракта на биржевой			актив А;
Ца –	рыночная цена актива А на физическом рынке, ден. ед.; П – бан-

ковский процент по депозитам, %; Д – число дней до окончания срока действия фьючерсного контракта или его закрытия.

Если биржевой актив сам по себе приносит определенный доход, например, дивиденд по акции или процент по облигации, то этот доход следует вычесть из банковской процентной ставки и предыдущая формула примет следующий вид:

Са	= Ца	+ Ца	× (П - Па ) ×	Д		(53)
				360 ,

где Па – средний размер дивиденда по акции или процента по облигации.

Например, Ца=100 руб., П=20 % годовых, Па=10 % (в год), Д=60 дн.

45

Подставляя эти значения в формулу, рассчитаем стоимость фьючерсного контракта на покупку одной акции по текущей рыночной цене 100 руб. и с ежегодным размером дивиденда в 10 % с поставкой через 60 дней при среднем рыночном проценте 20 % годовых.

С		= 100 руб. + 100 руб× (0,2 - 0,1) ×	60	= 100 руб. + 1,67 руб. = 101,67 руб.
	а
		360

Если в качестве актива выступает облигация, то цена, по которой может быть поставлена облигация, рассчитывается по следующей формуле:

Цена	Котировочная		Коэффициент			(54)
		×			× Накопленные
поставки = цена			конверсии
облигации					проценты
Цена	Котировочная	Коэффициент				(55)
		× конверсии		=	наиболее выгодная цена	,
спот - цена
					покупки

где Цена спот – цена актива на кассовом рынке (расчет в течение установленного времени).

Разница между ценой покупки и ценой поставки будет доходом продавца контракта.

При определении фьючерсной цены облигации с купонными выплатами используется следующее уравнение:

F = (S − J) × (l + r)t ,

(56)

где S – полная цена облигации в момент заключения контракта, ден. ед.; J – приведенная стоимость купона; t – период обращения облигации, лет.

Пример. Определите фьючерсную цену облигации на момент истечения контракта, имея следующие данные. Срок действия контракта – 210 дней. Непрерывно начисляемая ставка без риска – 10 %. Предлагается, что по облигации купон составит 11,5 % при выплате 2 раза в год. Чистая цена «спот» облигации равна 110 000 тыс. долл., коэффициент конверсии – 1,35. Выплата по купону, предшествующая заключению контракта, состоялась 30 дней назад, а следующий будет выплачен через 152 дня.

46

Определим полную цену «спот» облигации на момент заключения контракта. Она равна:

110000 +	6325 × 30	= 111042,5	долл.,
182

где 6 325 – купонная доходность за 182 дня.

Рассчитаем приведенную стоимость купона, который будет вы-

плачен через 152 дня (152:365=0,4164)

6325	= 5515,59 долл.
(1+ 0,1)0,4164

Затем находим полную цену облигации на момент истечения кон-

тракта (210:365=0,5753):

(111042,5 − 5515,59)(1 + 0,1)0,5753 = 111675,7 долл.

В биржевых расчетах используются следующие зависимости:

Доходность актива = 100% - фьючерсная цена (%).

(57)

Пример. Если доходность облигации – 10 %, тогда фьючерсная цена = 100 %-10 %=90 %.

Минимальное изменение цены на один базисный пункт называется шаг и определяется как:

Цена шага =	n	× N × один базисный пункт ,	(58)
	365

где n – срок действия контракта, дней; N – номинал базисного актива, руб.

Число шагов =	F2-F1	,	(59)

шаг цены

где F1 – фьючерсная цена в момент t1; F2 – фьючерсная цена в момент t2.

	число	изменение	(60)
Выигрыш / Потери	= контрактов × числа шагов		× цена одного шага
от сделки

47

Пример. Определите потери для сделки инвестора по фьючерсному контракту сроком 91 день при номинале 100 000 руб., если он приобрел контракт за 90 000 руб., а через несколько дней продал за 89 950 руб. Шаг цены равен одному базисному пункту.

Цена шага = 100000 × 91 × 0,0001 = 2,49 руб. 365

Цена актива по фьючерсу изменилась на 89950 − 90000 = −5 шагов

10

Потери от сделки = 1× 5× 2,49 = 12,45 рублей.

Задача 1. Текущий курс акций корпорации «АвтоВАЗбанк» – 10 000 руб. Первый игрок рассчитывает на снижение, а второй – на повышение курсовой стоимости этих акций. Второй игрок берет на себя обязательство купить акции у первого игрока по курсу 9 200 руб. Премия по контракту установлена 80 руб. за акцию. В процессе торгов курс акций снизился до уровня 8 700 руб. за акцию. Как следует поступить первому игроку?

Задача 2. Текущая курсовая стоимость акции корпорации «Кузбассоцбанк» – 1 200 руб. за акцию при номинале в 1 000 руб. Один инвестор полагает, что курсовая стоимость и дальше будет расти. Он покупает у другого инвестора, который противоположного мнения относительно роста цены данной акции. Опцион на покупку одного лота этих акций по цене 1 250 руб. за акцию. Цена опциона (премия) составляет 15 000 руб. Срок исполнения опциона – через три месяца. В день исполнения контракта курс акций составил 1 380 руб. Как следует поступить первому инвестору и какой финансовый результат его ожидает в случае предъявления опциона к исполнению?

Задача 3. Текущая курсовая стоимость акции корпорации «Западуралбанк» 1 750 руб. при номинале 1 500 руб. Первый инвестор продает опцион на продажу, в котором обязуется продать второму игроку полный лот этих акций по курсу 1 740 руб. за штуку по цене опциона 10 000 руб. Срок исполнения контракта – один месяц. В день исполнения опциона курс акций снизился и составил 1 570 руб. за акцию. Какие действия должен предпринять второй игрок и какой финансовый результат его ожидает в случае предъявления опциона к исполнению?

48

Задача 4. Первый ваучерный инвестиционный фонд приобрел на фондовой бирже 5 000 акций преуспевающей компании «Торговый дом “ Латония”» по курсу 1 350 руб. за акцию при их номинальной стоимости 1 000 руб. В связи с внезапным ухудшением финансовых показателей фирмы ожидается снижение курса этих акций, что грозит существенными потерями для инвесторов инвестиционного фонда.

Менеджер портфеля ценных бумаг инвестиционного фонда страхует вероятные убытки путем выписки 50 опционов на покупку (КОЛЛ) по курсу 1 400 руб. и продает их по цене 10 000 руб. за опцион сроком на один месяц. За это время курс акций ТД «Латония» действительно упал до 1 290 руб. за акцию, но в конце месяца вследствие изменения рыночной конъюнктуры резко возрос до 1 460 руб. Требуется определить финансовый результат от операций с опционами для инвестиционного фонда.

Задача 5. Определите общие затраты на покупку опциона пакета акции «МДМ-Банк», имея следующие данные:

Сумма (величина пакета из 1 000 акций)	100 тыс. руб.
Срок	3 месяца
Цена исполнения опциона (страйк цена)	3 200 руб. за акцию
Премия	100 руб. за 1 акцию
Стиль	европейский

Задача 6. На срочном рынке открыта короткая позиция по фьючерсу на поставку 200 акций через 4 месяца по цене 40 руб. за акцию. Определите результаты от операции продавца, если в момент исполнения контракта рыночная цена акции составила:

а) 45 руб.; б) 40 руб.;

в) 38 руб.

Задача 7. Рассчитайте стоимость фьючерсного контракта на акции КБ «МДМ-Банк», которые на вторичном рынке реализуются по 1 890 руб. при номинале 1 000 руб. До исполнения фьючерса осталось 80 дней. Альтернативное вложение в банк возможно под 25 % годовых.

Сделайте расчет, если: а) начисляется дивиденд 30 % годовых; б) дивиденд не начисляется.

Задача 8. Определите фьючерсную цену облигации с купоном 12 %, выплата по которому происходит 2 раза в год. Чистая цена «спот» облигации составляет 120 000 руб., коэффициент конверсии – 1,4. Выплата по купону, предшествующему заключению контракта, состоялась

49

20 дней назад, а следующий будет выплачен через 162 дня. Срок действия контракта – 240 дней, непрерывно начисляемая ставка без риска –

10 %.

Задача 9. На срочном рынке был реализован один фьючерсный контракт на средневзвешенный курс КГО с исполнением через 2 месяца по цене 81,6 %. Средневзвешенный курс ГКО в этот день составил 68,21 %. На следующей сессии этим же покупателем совершена покупка такого же контракта по цене 80 % при средневзвешенном курсе ГКО 68,63 %. Каков финансовый результат от данных операций, если шаг изменения цены контракта 0,01 % номинала ГКО, а цена шага 100 руб.?

Задача 10. На рынке дивидендов приобретен опцион пут на облигацию с ценой исполнения 80 тыс. руб. Цена опциона (премия), уплаченная при этом продавцу, составила 7 тыс. руб. На момент исполнения опциона курс облигации составил 70 тыс. руб. Определите финансовые результаты операции.

Задача 11. Определите финансовые результаты исполнения опциона «КОЛЛ» на акцию «AVVA» с ценой исполнения 150 тыс. руб., если цена опциона (премия), уплаченная продавцу, составила 15 тыс. руб. На момент погашения опциона курс акции «AVVA» составил 200 тыс. руб.

Задача 12. Инвестором был приобретен фьючерсный контракт на облигации сроком действия 240 дней с купонной ставкой 13 % и выплатой 2 раза в год. Непрерывно начисляемая ставка без риска – 10 %. Чистая цена «спот» облигации составляет 1 200 руб., а коэффициент конверсии – 1,35. Выплата по купону, предшествующему заключению контракта, состоялась 45 дней назад, а следующий будет выплачен через 137 дней. Необходимо определить фьючерсную цену.

Задача 13. Рассчитайте финансовые результаты сделки со фьючерсным контракта сроком на 180 дней и номиналом 10 000 руб. Инвестором данный контракт приобретен за 9 850 руб. и продан через некоторое время по цене 9 625 руб. Считать, что шаг цены равен одному базисному пункту.

Задача 14. Фьючерсный контракт на актив номиналом 10 000 руб. выписан сроком на 60 дней. Инвестор приобретает контракт по 110 000 руб. и перепродает за 115 000 руб. Определите результаты сделки инвестора при условии, что шаг цены равен одному базисному пункту.

50

Задача 15. Рассчитайте общие затраты на покупку опциона пакета акций Х, имея следующие данные:

Сумма (величина пакета из 100 акций	150 тыс. руб.
номиналом 1 000 руб.)
Срок	6 месяцев
Цена исполнения опциона (страйк цена)	2 800 руб. за 1 акцию
Премия	75 руб. за 1 акцию
Стиль	американский

Задача 16. На фондовой бирже заключен фьючерсный контракт на фондовый индекс на 3 месяца. Рыночная процентная ставка равна 10 %. Дивиденды по акциям, составляющим индекс, не выплачиваются. Значение индекса на начало периода равно 10 000 единиц. Рассчитайте цену данного фьючерса.

Задача 17. Определите полугодовой фьючерсный курс валюты, если курс доллара составляет 27 руб., процентная ставка по долларовым депозитам на 6 месяцев – 3,5 % годовых.

Задача 18. Брокер продал КОЛЛ опцион на пакет акций со страйком 20 руб. по цене 0,7 руб. Через 3 месяца к моменту исполнения опциона рыночная цена выросла до 23 руб. Сопоставьте доходы (убытки) брокера для следующих случаев:

а) пакет акций есть в наличии и был куплен по цене 17 руб.; б) пакет акций есть в наличии и был куплен по цене 20,35 руб.; в) пакет акций есть в наличии и был куплен по цене 21,5 руб.; г) акций в наличии нет.

Задача 19. Премия опциона КОЛЛ равна 20 руб., цена спот – 130 руб., цена исполнения – 125 руб. Определите внутреннюю и временную стоимость опциона.

Задача 20 . Брокер продал КОЛЛ-опцион на пакет акций со страйком 20 руб. по цене 0,7 руб. Через 3 месяца к моменту исполнения опциона рыночная цена выросла до 23 руб. Сопоставьте доходы (убытки) брокера для следующих случаев:

а) пакет акций есть в наличии и был куплен по цене 17 руб.; б) пакет акций есть в наличии и был куплен по цене 20,35 руб.; в) пакет акций есть в наличии и был куплен по цене 21,5 руб.; г) акций в наличии нет.