AB

			F
			D
		Y	P
B	Y
w			Click
		w
			w.
			A

r	ansf
T
		or
			m
			e
		buy	r
			0
			2
	to		.
here
	&.c
			m
		o
BBYY

O

25

Глава 2.

Дифференциальные уравнения

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

Теоретические вопросы

1.Основные понятия.

2.Уравнения с разделяющимися переменными.

3.Однородные уравнения.

4.Линейные уравнения. Уравнение Бернулли.

5.Уравнения, допускающие понижение порядка.

6.Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

7.Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.

8.Метод вариации произвольных постоянных.

9.Системы дифференциальных уравнений.

4

Литература

1.Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. - СПб.: Иван Федоров, 2003. - 287 с.

2.Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений: Учеб. для вузов. - 8-е изд.,

стер. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 486 с.

3.Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Учеб. пособие. - 7-е изд., доп. - СПб.: Лань, 2002. - 431 с.

4.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие:

в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с. Т.2.- 2002.- 544 с.

AB

			F
			D
		Y	P
B	Y
w			Click
		w
			w.
			A

r	ansf
T
		or
			m
			e
		buy	r
			0
			2
	to		.
here
&.c
			m
		o
BBYY

26

1. Основные понятия

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

Дифференциальным уравнением

называется

уравнение, связывающее

независимую переменную x ,

искомую

функцию y = f (x)

и её производные

¢ ¢¢

(n)

:

y , y ,..., y

¢

¢¢

(n )

) = 0.

(1)

F (x, y, y , y ,..., y

Порядок

наивысшей

производной, входящей

в

данное

уравнение,

называется порядком дифференциального уравнения.

Функция y = j (x) называется решением дифференциального уравнения (1)

на промежутке (a,b) , если уравнение (1) при подстановке в него функции j (x)

вместе со своими производными обращается в тождество:

(

x,j (x ),j¢ x( ,j) ¢¢

)

Î(a, b) .

F

x (,...,)j(n )(x ) º 0 " x

Общим решением дифференциального уравнения (1) называется функция

y = j (x, C1, C 2 ,..., Cn ) ,

(2)

зависящая

от

переменойx

и

n

произвольных

постоянныхC1, C 2 ,..., Cn и

удовлетворяющая следующим условиям:

1)при любых значениях произвольных постоянныхC1 , C2 ,..., Cn функция (2)

является решением уравнения (1);

2)любое решение уравнения (1) может быть получено из функции(2) при соответствующих значениях постоянных C1 , C2 ,..., Cn .

Уравнение F(x, y, C1, C2 ,..., Cn ) = 0 , определяющее общее решение уравнения

(1) как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального

уравнения (1).

O	Задача	нахождения			решения	уравнения(1),		удовлетворяющего
	начальным условиям:
		¢	(x0 ) y1	¢¢	(x0 ) y2 ,..., y	(n-1)	,	=
	y (x0 ) = y0 , y			, y=		= (x0 ) yn-1

где x0 , y0 , y1, y2 ,..., yn-1 - заданные числа называется задачей Коши.

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

27

2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Пусть в уравнении

y¢ = f (x, y )

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

правая часть может быть представлена в виде произведения двух функций,

каждая из которых зависит только от одной переменной: f (x, y) = f1 (x)× f2 ( y ) .

Тогда уравнение можно записать в виде

dy

= f1 (x )× f

2

y(

.)

(3)

dx

Уравнение вида (3) называется

дифференциальным

уравнением с

разделяющимися переменными.

Разделив это уравнение на f2 (y ) ¹ 0 и умножив на dx , придем к уравнению

dy

= f1 (x )dx

.

(4)

f2 (y )

Интегрируя левую часть (4) по y , а правую часть - по x , приходим к общему интегралу дифференциального уравнения (3).

O

Однородные уравнения

Однородным дифференциальным уравнением первого порядка

называется уравнение, которое может быть приведено к виду

y¢

æ y ö

.

(5)

= f ç

÷

è

x ø

С помощью подстановки

y

= u (x )

,

где u (x )

- новая неизвестная функция,

x

однородное

уравнение (5)

может

быть

преобразовано в уравнение с

разделяющимися переменными вида:

du

=

1

é f (u )- uù

.

(6)

dx

x

ë

û

Решив уравнение (6), найдем неизвестную функцию u (x ), а, следовательно, и

решение уравнения (5): y = x ×u(x) .

AB

			F
			D
		Y	P
B	Y
w			Click
		w
			w.
			A

r	ansf
T
			or
			m
				e
			buy	r
				0
				2
		to		.
here
				m
			o
			.c
BBOYY

28

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется

уравнение вида

		y¢ + p (x) y = q (x)		,	(7)
где p (x) и q (x) - заданные непрерывные функции.
Замена	y (x) = u (x)×e-P(x)		, где u (x ) - новая неизвестная функция,		P (x) - любая

первообразная функции p (x) , преобразует линейное уравнение (7) в уравнение с разделяющимися переменными вида:

	du	= q (x )×eP(x )	.	(8)
	dx

Решив уравнение (8), найдем неизвестную функцию u (x ), а, следовательно, и

решение уравнения (7): y (x) = u (x)×e-P(x) .

Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение вида:

		y¢ + p (x) y = ymq (x)		,	(9)
где p (x) и q (x)- заданные непрерывные функции, m ¹ 0, m ¹1 .
Замена	y = u (x)e-P(x)		, где u (x )- неизвестная функция, P (x) -		любая

первообразная функции p (x), преобразует уравнение Бернулли в уравнение с разделяющими переменными вида:

	du	= e(1-m)P (x )×q (x )×um	.	(10)
	dx

Решив уравнение (10) найдем неизвестную функцию u (x ), а, следовательно, и

решение уравнения Бернулли (9): y (x) = u (x)×e-P(x) .

	Задание 1. Решить уравнение:	y		=	2x
?			¢		3y2 + 4 y +1 .

Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

here

29

Click

w

m

w

w. .

o

переменными, так как правую

часть уравнения

A BBYY

c

произведения двух функций, каждая из которых

переменной. Перепишем уравнение в виде:

dy

=

2x

dx 3y2 + 4 y +1

можно представить зависит только от

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

here

Click

w

m

w

w.

.

o

в виде

A B BYY

c

одной

и разделим переменные:

(	3y2	)	×dy = 2x ×dx .	(11)
		+ 4 y +1

Интегрируем (11):

ò(3y2 + 4 y +1)×dy =ò2x ×dx ,

и получаем общее решение данного уравнения:

y3 + 2 y2 + y =x2 + C .

?

Задание 2. Решить уравнение: y¢ =

y

+

x

.

x

y

Решение. Данное уравнение является однородным. Сделаем замену

искомой функции:

y

= u (x ), где функция u (x )-

новая искомая функция. Тогда

x

имеем: y¢ = u + x ×u¢ . Подставляя значения

y

и y¢

в исходное уравнение, получим

x

уравнение

u + x ×u¢= u +

1

,

u

или

x ×

du

=

1

.

dx u

Это уравнение является уравнением с

разделяющимисяпеременными.

Разделим переменные:

u ×du =

dx

.

(12)

x

Интегрируем (12):

òu ×du = ò dxx ,

иполучаем общий интеграл уравнения (12):

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

30

u2 = ln | x | +C . 2

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

Возвращаясь к функции y , находим общий интеграл исходного уравнения:

		y2 = 2x2 ln | x | +C .
			1
Задание 3. Решить уравнение: y¢+ y = x .
Решение.	Данное	уравнение	является	линейным. Здесь	p (x) = 1.
Следовательно,	P (x) = x . Сделаем замену y = u (x)×e-P(x) = u (x )×e- x , где u (x )- новая
неизвестная функция. Тогда		y¢ = u¢×e- x -u ×e-x . Подставляя		значения y	и y¢ в

исходное уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменным:

u¢ = x ×ex ,

или

du = x ×ex . dx

Разделив переменные:

du = x ×ex ×dx

и интегрируя

òdu = ò x ×ex ×dx ,

получаем, что

u (x) = x ×ex - ex + C .

Возвращаясь к функции y , находим:

y= (x ×ex - ex + C )×e-x

-общее решение исходного линейного уравнения.

&

O	3. Дифференциальные уравнения, допускающие
	понижение порядка
	Уравнение вида y(n) (x) = f (x).
	Общее решение уравнения вида
		y(n) (x) = f (x)		(13)

						F Tran			sf
					D
			Y	P						or	e
	B	Y								m
B									buy		r
											2
											0
A								to			.
							here
					Click
	w										m
			w		w.					o
									.
						A BBYY				c

O

31

получается путем n - кратного интегрирования правой части уравнения:

y = òdxòdx...ò f (x) dx + C1xn-1 + C2 xn-2 +... + Cn .

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

here

Click

w

m

w

w. .

o

исходного

c

A B BYY

Уравнение вида

F (x, y(k ), y(k +1),..., y(n )) = 0

.

Данное уравнение не содержит явно искомую функциюy (x )

и

её

производные до (k -1) -го порядка включительно. С помощью замены y(k )

= z (x) ,

где z (x) - новая неизвестная функция, порядок уравнения может быть понижен

на k

единиц. Действительно, в

силу

замены: y

(k +1)

¢

y

(n )

= z

(n-k )

.

= z , ...,

Следовательно, после

подстановки

значений

производных

в

исходное

уравнение получим уравнение (n - k ) -го порядка:

¢

(n-k )

) = 0 .

F (x, z, z ,..., z

Предположим, что полученное уравнение мы можем решить, и его общее решение имеет вид:

z (x) = j (x, C1 , C2 ,..., Cn-k ) .

Тогда искомую функцию y (x ) находим из уравнения

y(k ) = j (x, C1 , C2 ,..., Cn-k ) ,

которое является уравнением вида (13).

Уравнение вида F (y, y¢,..., y(n )) = 0 .

Данное уравнение не содержитявно независимую переменнуюx . С

помощью		замены	y¢ = p ( y )		,	где	p ( y) - новая неизвестная функция, порядок
уравнения		может	быть понижен				на единицу. Действительно, в силу замены:
	,	y¢¢¢ = p ( p¢ )2 + p2 × p¢¢				и т.д.	Следовательно, после подстановки значений
y¢¢ = p¢× p

производных в исходное уравнение (n -1) -го порядка

F (y, p, p¢,..., p(n-1 ) = 0 .

AB

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

buy

r

2

0

to

.

here

32

Click

w

m

w

w. .

o

Предположим, что полученное уравнение

A BBYY

c

решение имеет вид:

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

here

Click

w

m

w

w. .

o

мы можем решить, и его общее

A B BYY

c

p ( y) = j ( y, C1, C2 ,..., Cn-1 ) .

Тогда искомую функцию y (x ) находим из уравнения

y¢ = j ( y, C1, C2 ,..., Cn -1 ) ,

которое является уравнением с разделяющимися переменными.

?Задание 1. Найти решение уравнения: y¢¢ = x + sin x .

Решение. Общее решение данного уравнения может быть получено в результате 2- кратного интегрирования правой части уравнения. Имеем:

ò(

)

ò

ò

x2

1

y

¢

=

x + sin x =dx

x dx +

sin x=dx

2

- cos x + C .

И далее

y =

ò

æ x2

- cos x + C ö=dx

1

ò

x2

dx -

ò

cos x dx + C

ò

dx=

x3

- sin x + C x + C .

è 2

2

6

ø

1

1

2

ç

1 ÷

Задание 2. Найти решение уравнения: x y¢¢ = y¢ ln y¢ . x

Решение. Данное уравнение не содержит явно искомой функцииy (x ) .

Следовательно, сделаем замену y¢ = z (x), где z (x)- новая неизвестная функция.

	Тогда y¢¢ = z¢(x). Подставим полученные значения y¢ и y¢¢			в исходное уравнение:
	x z¢ = z ln	z		(14)
		x

Уравнение (14) является однородным. Для нахождения его общего решения сделаем замену:

	z	= u	(x ),
	x
или z = x ×u (x) , где u (x )- новая неизвестная функция.
Тогда: z¢ = u + x ×u¢ . Подставим значения z			и z¢ в уравнение (14):

u + x u¢ = u ln u ,

или

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

33

x u¢ = u (ln u -1) .

						F Tran			sf
					D
			Y	P						or	e
	B	Y								m
B									buy		r
											2
											0
A								to			.
							here
					Click
	w										m
(15)			w		w.					o
									.
						A B BYY				c

Уравнение (15)

является

уравнением с разделяющимися переменными.

Разделив переменные в предположении, что ln u -1 ¹ 0 , из (15) имеем:

du

=

dx

.

u (ln u -

1)

x

Интегрируя

ò

du

= ò

dx

,

u (ln u -1)

x

получаем, что

ln | ln u -1|

ln |=x | + ln | C1 | .

После преобразования последнего соотношения и обратной замены имеем:

z (x ) = x ×e1+C1x .

(16)

Если теперь предположим, что в (15)

ln u -1 = 0 , то u = e . Следовательно,

z

= e ,

x

или

z (x) = e × x .

(17)

Равенство (17) получается из (16) при C1 = 0 .

Таким образом, мы получили общее решение уравнения (14):

z (x ) = x ×e1+C1x .

Следовательно,

чтобы

найти

искомую

функциюy (x )

нам

надо

проинтегрировать функцию j (x, C1 ) = x ×e1+C1x :

ì

1+C x

1

1+C x

1

1+C x

ï

ò x ×e

1

dx =

x ×e 1

-

e

1

+ C2 ,

C1 ¹ 0

2

ï

C1

C1

y (x )= í

e × x2

ïï

òe × x dx

=

+ C

î

2

Задание 3. Решить уравнение: y¢¢ =

(y¢ )2

.

y

Решение. Данное уравнение не содержит явно независимой переменнойx .

Следовательно,

замена

y¢ = p ( y )позволяет

понизить

порядок

исходного

AB

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

buy

r

2

0

to

.

here

34

Click

w

m

w

w. .

o

уравнения. Действительно, из замены получаем:

A BBYY

c

y¢ и y¢¢ в данное уравнение, имеем:

y¢¢ =

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

here

Click

w

m

p × p¢ . Подставляя значения

w

w. .

o

A B BYY

c

	¢		p2
		=	.		(18)
	p p

y

Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Если в уравнении (18) p = 0 , то y¢ = 0 , т.е. y (x) = C ¹ 0 .

Если p ¹ 0 , то после деления на p2 получаем:

p¢ = 1 , p y

или

dp	=	dy	.	( 19)
p
		y

Интегрируя (19), находим общее решение уравнения (18) в случае p ¹ 0 : ln | p |= ln | y | +ln | C1 | ,

или

p (y ) = C1 y .

Тогда искомая функция y (x ) исходного уравнения ищется как решение уравнения:

y¢ = C1 y ,

которое является уравнением с разделяющимися переменными. Имеем:

dy = C1 dx . y

Интегрируя последнее уравнение, находим:

ln | y |= C1x + C2¢,

или

y (x) = C2eC1x , где C2 = eC2¢ .

Заметим, что в общее решение входят полученные ранее решения y (x) = C .

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P					or	e
B	Y							m
								buy	r
									2
									0
							to		.
						here
				Click
w									m
		w		w.				o
								.
								c
					A BBYY
		&

35

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

4. Линейные дифференциальные уравнения n - го

порядка.

O		Линейное дифференциальное уравнение n - го порядка с постоянными
	коэффициентами имеет вид:
			y(n) + a y(n-1) + a			y	(n-2) +....a	y = f (x) ,
		1			2		n
	(20)
	где ai	, i =1,..., n, - вещественные числа, f (x) - заданная функция.
	Уравнение (20) называется однородным (сокращенно ЛОДУ), если правая
	часть	f (x) º 0 , в противном случае уравнение(20) называется					неоднородным
	(сокращенно ЛНДУ).
	Уравнение
			y(n) + a1 y(n-1) + a2 y(n-2) + ....an y = 0					(21)

называется ЛОДУ, соответствующим данному ЛНДУ (20).

Общее решение уравнения (20) может быть представлено в виде суммы y = y0 + y , где y0 - общее решение соответствующего ЛОДУ, а y - любое частное

решение ЛНДУ.

Алгебраическое уравнение вида

	ln + a1ln-1 +... + an-1l + an = 0		(22)
называется характеристическим уравнением ЛОДУ (21). Левая			часть

уравнения (22) Pn (l ) = ln + a1ln-1 +... + an-1l + an представляет собой полином n - ой

степени		относительно l .		Корни	характеристического		уравнения называются
характеристическими				числами		ЛОДУ. Число	l0 , для	которого
P	(l )= 0, P		¢(l ) ¹ 0 , называется простым корнем уравнения (22). Число l , для
n	0	n	0					0
которого			Pn (l )= l( - l0 )m ×Qn-m (l ),		где	Qn -m (l0 ) ¹ 0 ,	называется	корнем

кратности m уравнения (22).

Рассмотрим сначала ЛОДУ 2-го порядка:

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

36

y¢¢ + a1 y¢+ a2 y = 0

						F Tran			sf
					D
			Y	P						or	e
	B	Y								m
B									buy		r
											2
											0
A								to			.
							here
					Click
	w										m
(23)			w		w.					o
									.
						A B BYY				c

Тогда характеристическое уравнение (22) имеет вид:
l2 + a1l + a2 = 0	(24)

В этом случае общее решение уравнения (23) в зависимости от вида корней

характеристического уравнения (24) имеет следующий вид:

1)

если

l1 , l2

- вещественны и различны (

l1 ¹ l2

), то

y0 = C1el1x + C2el2 x

, то

2)

если

l1 , l2

- вещественны и

l1 = l2

y0 = (C1 + C2 x)el1x

- комплексно сопряженные числа, то

3)

если

l1

= a + b ×i, l=2 a - b ×i

(b ¹ 0)

.

y0 = ea x

(C1 cos b x + C2 sin b x)

В общем случае ЛОДУn - го порядка вид общего решения также

определяется видом корней характеристического уравнения. Если уравнение

(22) имеет k	действительных	корнейl1,..., lk	кратностей r1,..., rk и l пар
комплексно	сопряженных	корнейa1 ± b1 ×i,...,al	± bl ×i	кратностей s1,..., sl ,
(r1 + ... + rk + 2s1 +... + 2sl = n) , то общее решение ЛОДУ (21) имеет вид:

0

1 (

x

)

k (

x

)

elk x +

(

1 (

x

)

1

1 (

x

)

1

)

ea1x +... +

y

(

= P

el1x +... + P

Q

)

cos b x + R

sin b x

+

l (

x

)

l

l (

x

)

l

x

eal x

Q

cos b

x +... + R

sin b

где P (x) - многочлен степени r -1,n =1,..., k , а Q (x), R (x) - многочлены степени

n n m m

sm -1, m =1,..., l , коэффициентами которых являются произвольные постоянные

C1 , C2 ,..., Cn .

Частное решение ЛНДУ (20) в случае, когда правая часть уравнения f (x)

имеет специальный вид:

f (x) = e	ax é	ù	,	(25)
	ëSm (x)cos bx +Tp (x)sin bxû

где Sm (x) и Tp (x) - многочлены степени m и p соответственно, ищется в виде:

		= xg eax ëé		N (x )cos bx +		N (x )sin bxûù	,	(26)
	y		S		T

AB

F Tran

sf

F Tran

sf

D

D

Y

P

or

Y

P

or

e

e

B

Y

m

B

Y

m

buy

r

B

buy

r

2

2

0

0

to

.

A

to

.

here

37

here

Click

Click

w

m

w

w

o

w

w. .

где S N (x )

и T N (x)-

w

A BBYY

c

многочлены степени N = max{m, p} с неопределенными

коэффициентами, а g

- кратность чисел a ± b ×i как корней характеристического

уравнения (22).

+ 4 y = cos 2x , удовлетворяющее

? Задание 1. Найти решение уравнения y

¢¢

условиям:

y (0) = 1, y¢(0) = 0 .

.

A

B

	m
o
.c
BYY

Решение.	Характеристическое	уравнение	данного	дифференциального
уравнения имеет вид:

l2 + 4 = 0

Его корни l1,2 = ±2i - комплексно сопряженные числа. Следовательно, общее решение соответствующего ЛОДУ имеет вид:

y0 = C1 cos 2x + C2 sin 2x .

Найдем теперь частное решение ЛНДУ. Правая часть уравнения имеет

специальный	вид (25):	f (x) = cos 2x .	Следовательно,
a = 0, =b 2,= Sm=(x) = 1, T=p (x) 0, m	p 0 . Тогда	a ± b ×i= ±2i	- простые	корни

характеристического уравнения, то есть g =1. Таким образом, частное решение данного ЛНДУ будем искать в виде (26):

				= x (A cos 2x + B sin 2=x) (=S			N (x )= A,		N (x )	B, N	0).
			y					T
Подставляем		и				¢¢ = (4B - 4 Ax)cos 2x - (4 A + 4Bx)sin 2x				в	исходное ЛНДУ,
	y				y
получаем:
						4B cos 2x - 4 Asin 2x = cos 2x .

Приравнивая коэффициенты при косинусах и синусах, находим:

A = 0, B = 1 . 4

Следовательно,

y= x sin 2x 4

- частное решение ЛНДУ.

Тогда общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

38

y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + x sin 2x . 4

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

Осталось найти решение задачи Коши: y (0) = 1, y¢(0) = 0 . Подставляя начальные

данные x = 0, y =1, y¢ = 0 в формулы для y						и y¢, находим:
		ìC =1
		í	1
		îC2 = 0
Следовательно, решением поставленной задачи Коши будет функция
		y = cos 2x +		x	sin 2x .
			4
В	общем	случае	для			нахождения	решения (20)ЛНДУможно

воспользоваться методом вариации произвольных постоянных. Рассмотрим этот метод сначала на примере.

?Задание 2. Решить уравнение: y¢¢ - 2 y¢ + y = ex .x

Решение.		Найдем			сначала		решение	соответствующего.		ЛОД
Характеристическое уравнение имеет вид:
					l2 - 2l +1 = 0 .
Оно имеет	один	кореньl = 1			кратности 2.		Следовательно,		общее решение
ЛОДУ имеет вид:
		y = C ex + C				x ×ex .
		0		1	2
Функции	y (x) = ex и		y	(x) = xex - линейно независимые					решения ЛОДУ.
	1		2
Общее решение исходного ЛНДУ будем искать в виде:
			y = C1 (x)ex + C2 (x)x ×ex ,						(27)
где C1 (x), C2 (x)- неизвестные функции, которые находятся из системы:

ì	1	(	)	2	(	)		0
	C ¢		x ex + C		¢	x x ×ex =
ï										x .		(28)
í							)		e
ïC ¢ (x )ex + C				¢ (x )		ex + x ×ex		=
									x
î	1		2		(

Система (28) – линейная алгебраическая система с неизвестными C1¢ (x ), C2¢ (x ),

определитель которой равен

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

			39
D		y1	y2=		¹ 0 .
		y ¢	y ¢
		1	2

Решив систему (28), получим:

C1¢ (x )= -1, C2¢ (x )= 1x .

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

Интегрируя последние равенства, находим:

1 (	x	)	1	2	(	)		2
C			= -x + C , C		=x		ln | x | +C .
Подставим найденные функции C1 (x), C2 (x)								в формулу (27). Таким образом,

общее решение исходного уравнения имеет вид:

y= C1ex + C2 xex - xex + xex ln | x | .

Вобщем случае метод вариации произвольных постоянных может применяться к ЛНДУ с произвольными коэффициентами вида:

y(n) + p

(x) y(n-1) +... + p

(x) y = f (x) ,

(29)

1

n

где pi (x)(i =1, 2,..., n)-

непрерывные

функции. Соответствующее

ЛОДУ

имеет

вид:

y

(n) + p

(x) y(n-1) +...+ p

n

(x) y = 0 .

(30)

1 (

)

1

)

(

1

x

, y

2

2 (

x

,..., y

n

n

x

)

называются линейно

зависимыми

Функции y

= j

j=

j=

на промежутке (a, b), если существуют

постоянные C1 , C2 ,..., Cn ,

не

все

равные

нулю, такие, что:

C1 y1 + C2 y2 +... + Cn yn

º 0

при a < x < b .

В противном случае данные функции называютсялинейно независимыми на промежутке (a, b).

Совокупность n линейно независимых решенийy1, y2 ,..., yn ЛОДУ (30)

называется фундаментальной системой решений данного ЛОДУ. Для того,

чтобы n решений ЛОДУ были линейно независимы на промежутке(a, b),

необходимо и достаточно, чтобы определитель