AB

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

buy

r

2

0

to

.

here

48

Click

w

m

функция, заданная на промежутке [1,

w

o

+ ¥) , положительная, непрерывная и

w. .

A BBYY

c

невозрастающая функция на этом промежутке, такая, что f(1)=c1, f(2)=c2, … , f(n)=cn, ….

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

Тогда:
1)	Если несобственный интеграл
		+¥
		ò f (x )dx	(12)
		1

сходится, то и ряд (6) сходится; 2) Если несобственный интеграл (12) расходится, то расходится и ряд (6).

O	Знакопеременные ряды
	Ряд (1) называется знакопеременным, если среди его членов имеются
	как положительные, так и отрицательные члены.

Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда).

Пусть задан знакопеременный ряд
		a1 + a2 + … +an + ….				(13)
Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда
		|a1| + |a2| + … + |an| +… ,				(14)
сходится, то сходится и данный ряд (13).
Ряд (13) называется абсолютно			сходящимся,	если сходится	ряд(14),
составленный	из	абсолютных	величин	членов (13)ряда. Если		же
знакопеременный	ряд (13) сходится,		а ряд (14)	расходится, то	ряд (13)
называется условно или неабсолютно сходящимся.
Ряд вида
	a1 – a2 + a3 – a4 +… +(-1)n an + ….,					(15)

где an ³ 0, "n , называется знакочередующимся.

Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (15) сходится, если

абсолютные величины его членов не возрастают, общий член стремится к нулю, т.е. если выполняются следующие два условия:

1) a1 ³ a2 ³ ... ³ a n ...

(16)

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

2) lim a n = 0

n®¥

49

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

here

Click

w

m

(17)

w

w.

.

o

A B BYY

c

Замечание 1. При

решении

задач

на

исследование

сходимости ряда

полезно знать особенности поведения следующих рядов:

¥

1)

Ряд, составленный из

членов

å

геометрической прогрессииaqn :

n=1

сходится при

q

<1 и расходится при

q

³1, q – знаменатель прогрессии;

¥

1

2)

Обобщенный

гармонический

рядå

:

сходится

при a >1

и

a

n=1

n

расходится при a £1. В

частном

случае (a =1)

получаем гармонический

ряд

¥

1

å

, который расходится.

n=1

n

Замечание 2. Если ряд (15) удовлетворяет условиям признака Лейбница,

то ошибка, совершаемая при заменеS на Sn, не превосходит по абсолютной

величине первого из отброшенных членов. Это свойство используется для

приближенных вычислений.

¥

æ

1 ön

?

Задание 1. Исследовать на сходимость ряд

åç1 +

÷ .

n=1

è

n ø

Решение. Так как lim a = lim

æ

1

1

ön

e ¹ 0 (второй замечательный предел),

ç

+

=

n

n

÷

n®¥

n®¥

è

ø

то в силу следствия из необходимого признака сходимости ряда получаем, что данный ряд расходится.

¥

1

Задание 2. Исследовать на сходимость ряд

å

.

n

2

n=1

+ n

Решение.

Выясним

поведение

данного

ряда

с

помощью признак

¥

1

сравнения. Для

этого

сравним его

срядом

å

(это

–

обобщенный

2

n=1

n

гармонический ряд, который сходится, так как

a = 2 >1). Имеем:

1

<

1

n2 + n

n2

AB

F Tran

sf

F Tran

sf

D

D

Y

P

or

e

Y

P

or

e

B

Y

m

B

Y

m

buy

r

B

buy

r

2

2

0

0

to

.

A

to

.

here

50

here

Click

Click

w

m

w

m

w

w. .

o

¥

1

w

w. .

o

A B Y

c

A

B Y

c

B

Y

B

Y

и, следовательно, из сходимости ряда å

по признаку сравнения следует

2

n=1

n

сходимость и данного ряда.

¥

3

Задание 3. Исследовать на сходимость ряд

å

.

n=1

4n - 5

Решение. Выясним

поведение

данного

ряда

с помощью предельного

¥

1

признака сравнения. Сравним данный ряд с рядомå

(это - гармонический

n

n=1

ряд, который расходится). Имеем:

3

3n

3

lim

4n - 5

= lim=

> 0

n®¥

1

n®¥ 4n - 5 4

n

¥

1

и, следовательно, ряды å

и данный ведут себя одинаково. Таким образом,

n

n=1

по предельному признаку сравнения исследуемый ряд расходится.

¥ n

Задание 4. Исследовать на сходимость ряд ån=1 (n +1)! .

Решение. Применим к данному ряду признак Даламбера. Имеем:

n

cn = (n +1)!,

n +1

cn+1 = ( )

n + 2 !

n +1

иcn+1 = (n + 2)! cn n

(n +1)!

(	=)	×	(	)		n =1
	n +1		n +1 !			+
	n ×(n + 2)!					n ×(n + 2)

Тогда lim

cn+1

= lim=

n +1

0 <1. Следовательно,

по

признаку Даламбера

×(n +

2)

n®¥ c

n®¥ n

n

данный ряд сходится.

¥

æ

1

ön2

Задание 5. Исследовать на сходимость ряд åç1

-

÷ .

n

n=1

è

ø

Решение. Применим к данному ряду признак Коши. Имеем:

æ

1

ön2

æ

1 ön

1

lim n c

= lim n

1 -

lim

1 -

<1,

n

ç

=

ç

=

n

÷

÷

e

n®¥

n®¥ è

ø

n®¥ è

n ø

AB

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

buy

r

2

0

to

.

here

51

Click

w

m

w

w. .

o

и, следовательно, в силу признака Коши данный ряд сходится.

A BBYY

c

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

¥			1
Задание 6. Исследовать на сходимость ряд å					.
	n
n=2			ln n

Решение. Применим к данному ряду интегральный признак Коши. Имеем:

1

>

1

"n ³ 2 ,

n

(n +1)

ln n

ln (n +1)

что означает,

что члены

данного

ряда

убывают. В качестве

функцииf(x)

возьмем

функцию

f (x) =

1

,

x ³ 2 .

Эта

функция

положительная,

x

ln x

непрерывная

и

убывает

в

области

определения, причем f (n) =

1

.

n

ln n

Рассмотрим несобственный интеграл

¥

dx

b

dx

b

ò

= lim= =

lim 2

ln x

¥

x

ln x

b®¥ ò

x

ln x

b®¥

|2

2

2

Следовательно,

несобственный

интеграл

расходится. Тогда

в

силу

интегрального признака Коши расходится и данный ряд.

¥

n-1

1

Задание 7. Исследовать на сходимость ряд å(-1 )

.

2n -1

n=1

Решение. Данный ряд является знакочередующимся. Ряд, составленный из

¥

1

¥

1

абсолютных

величин å

эквивалентен

рядуå

. Последний

ряд

n=1 2n -1

n=1

n

расходится, следовательно, расходится и ряд, составленный из абсолютных величин исходного ряда. Таким образом, если исходный ряд и сходится, то только условно.

Для исследования исходного ряда на условную сходимость применим к нему признак Лейбница. Имеем:

1)

a =

1

, a

=

1

и очевидно, что

1

>

1

"n

n+1

n

2n -1

2n +1

2n -1 2n +1

2)

lim a

= lim

1

= 0

n

n®¥

n®¥ 2n -1